幂级数的积分 | 级数 | AP微积分BC | 可汗学院

0:00 - 0:02

我们已知 f(x)
0:02 - 0:03

等于无穷级数
0:03 - 0:06

从 n = 1 到无穷大
0:06 - 0:10

n + 1 除以 4 的 n + 1 次方，乘以 x 的 n 次方
0:11 - 0:13

我们要计算的是
0:13 - 0:17

f(x) 从 0 到 1 的定积分是多少？
0:17 - 0:20

像往常一样，如果你有思路
0:20 - 0:22

我鼓励你如果有思路
0:22 - 0:23

就暂停视频尝试自己解决
0:23 - 0:25

或者视频的任何时候都可以
0:25 - 0:28

暂停，然后自己继续做
0:28 - 0:31

好的，我们来改写一下
0:31 - 0:32

它就等于
0:32 - 0:34

从 0 到 1 的积分
0:34 - 0:39

f(x) 是这个级数，所以我这么写
0:39 - 0:42

从 n = 1 到无穷大求和
0:43 - 0:47

n + 1 除以 4 的 n + 1 次方
0:47 - 0:49

乘以 x 的 n 次方
0:49 - 0:51

我接下来的做法可能
0:51 - 0:54

有些人是第一次见
0:54 - 0:55

但本质上，我们计算
0:55 - 0:58

一些项的和的定积分
0:58 - 1:01

等价于计算这些项的
1:01 - 1:03

定积分的和
1:03 - 1:04

再说明白一点
1:04 - 1:06

如果我有，我们说这是一个定积分
1:06 - 1:11

从 0 到 1，里面有很多项
1:11 - 1:12

甚至说很多函数
1:12 - 1:16

比如说是 g(x) 加上 h(x)
1:16 - 1:20

我不停的加，dx
1:20 - 1:22

那么，它就等于积分的和
1:22 - 1:26

从 0 到 1 的 g(x) 的积分
1:26 - 1:31

g(x) dx 加上从 0 到 1 的 h(x) 的积分
1:33 - 1:36

加上，不停的加下去
1:36 - 1:37

不论这些项有多少
1:37 - 1:40

这就是从积分的性质来的
1:40 - 1:42

我们在这里也是同样
1:42 - 1:44

尽管我们用 sigma 符号来表示
1:44 - 1:47

它就等于从
1:49 - 1:52

n = 1 到无穷大求和
1:53 - 1:56

每一项的定积分
1:56 - 1:58

我这么写
1:58 - 2:02

从 0 到 1 的积分
2:02 - 2:06

n + 1 除以 4 的 n + 1 次方
2:08 - 2:11

乘以 x 的 n 次方，然后 dx
2:13 - 2:17

再次强调，现在我们是求每一项的和
2:17 - 2:21

我们在这里来求值
2:23 - 2:25

它等于，我继续写
2:25 - 2:29

它等于从 n = 1 到
2:29 - 2:32

无穷大求和，然后
2:32 - 2:34

是橙色下划线的部分
2:34 - 2:35

它等于，我们看看
2:35 - 2:38

在这里取反导数
2:38 - 2:41

我们得到 x 的 n + 1 次方
2:43 - 2:44

然后除以 n + 1
2:44 - 2:48

所以有这个原来的 n + 1 除以
2:48 - 2:52

4 的 n + 1 次方，这是常数
2:52 - 2:54

与 x 无关，每一项都如此
2:54 - 2:57

然后我们把指数加 1
2:57 - 3:00

再除以加过 1 的指数
3:00 - 3:02

这个方法，我一般叫做
3:02 - 3:07

反用幂法则，或逆-幂法则
3:07 - 3:11

所以等于 x 的 n + 1 次方除以 n + 1
3:12 - 3:14

就是求反导数
3:14 - 3:17

每一项从 0 到 1 进行求值
3:17 - 3:18

在此之前，我们先来化简
3:18 - 3:22

我们有 n + 1，有 n + 1
3:22 - 3:24

我们重新来写
3:24 - 3:26

它就等于
3:26 - 3:29

从 n = 1 到无穷大求和
3:29 - 3:32

这里面是
3:32 - 3:35

当 x 等于 1 时，它是 1
3:38 - 3:40

我们写 1 的 n + 1 次方
3:40 - 3:42

除以 4 的 n + 1 次方
3:42 - 3:44

实际上，对，可以这么写呀
3:44 - 3:48

1 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方
3:48 - 3:52

减去 0 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方
3:52 - 3:54

我们都不用写它
3:54 - 3:56

0 的 n + 1 次方
3:56 - 4:01

除以 4 的 n + 1 次方，显然是 0
4:01 - 4:03

然后是这部分
4:03 - 4:05

已经越来越简单了
4:05 - 4:07

它就等于
4:07 - 4:10

从 n = 1 到无穷大的和
4:12 - 4:13

我们快要听到胜利的号角
4:13 - 4:17

1/4 的 n + 1 次方
4:17 - 4:18

现在你可能马上能认出它
4:18 - 4:21

它是无穷等比数列
4:21 - 4:23

第一项是什么？
4:23 - 4:25

好，第一项是
4:29 - 4:33

当 n 等于 1 时，第一项
4:35 - 4:39

是 1/4 的二次方
4:40 - 4:41

对吗？
4:41 - 4:42

对
4:42 - 4:45

当 n 等于 1 时，它等于
4:45 - 4:50

所以它等于 1/4 的二次方
4:50 - 4:54

也就是 1/16，所以这是我们的第一项
4:54 - 4:59

然后我们的公比，就是
5:02 - 5:05

每项都乘以 1/4
5:05 - 5:07

所以我们的公比是 1/4
5:07 - 5:09

所以对于一个无穷等比数列
5:09 - 5:12

它是——因为公比
5:14 - 5:16

的绝对值小于 1
5:16 - 5:18

我们知道它是收敛的
5:18 - 5:20

并且它将收敛到
5:20 - 5:23

第一项，1/16，除以
5:25 - 5:29

1 减公比，1 减去 1/4
5:29 - 5:33

也就是 3/4，所以等于 1/16 乘以 4/3
5:38 - 5:41

等于 1/12
5:41 - 5:42

我们完成了
5:42 - 5:44

这题一开始看起来真的很可怕
5:44 - 5:45

但我们需要意识到
5:45 - 5:48

和的积分，无穷项的和也没关系
5:48 - 5:51

就等于这些无穷多的积分的和
5:51 - 5:53

我们求这无穷多积分的反导数
5:53 - 5:55

这个我们很容易处理
5:55 - 5:58

使用数学符号的威力
5:58 - 6:00

然后我们意识到
6:00 - 6:01

这就是无穷几何级数嘛
6:01 - 6:02

我们知道求和公式
6:02 - 6:04

然后就做完了

Title:: 幂级数的积分 | 级数 | AP微积分BC | 可汗学院
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Video Language:: English
Team:: Khan Academy
Duration:: 06:05

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