幂级数的积分 | 级数 | AP微积分BC | 可汗学院

Not Synced

我们已知 f(x)
Not Synced

等于无穷级数
Not Synced

从 n = 1 到无穷大
Not Synced

n + 1 除以 4 的 n + 1 次方，乘以 x 的 n 次方
Not Synced

我们要计算的是
Not Synced

f(x) 从 0 到 1 的定积分是多少？
Not Synced

像往常一样，如果你有思路
Not Synced

我鼓励你如果有思路
Not Synced

就暂停视频尝试自己解决
Not Synced

或者视频的任何时候都可以
Not Synced

暂停，然后自己继续做
Not Synced

好的，我们来改写一下
Not Synced

它就等于
Not Synced

从 0 到 1 的积分
Not Synced

f(x) 是这个级数，所以我这么写
Not Synced

从 n = 1 到无穷大求和
Not Synced

n + 1 除以 4 的 n + 1 次方
Not Synced

乘以 x 的 n 次方
Not Synced

我接下来的做法可能
Not Synced

有些人是第一次见
Not Synced

但本质上，我们计算
Not Synced

一些项的和的定积分
Not Synced

等价于计算这些项的
Not Synced

定积分的和
Not Synced

再说明白一点
Not Synced

如果我有，我们说这是一个定积分
Not Synced

从 0 到 1，里面有很多项
Not Synced

甚至说很多函数
Not Synced

比如说是 g(x) 加上 h(x)
Not Synced

我不停的加，dx
Not Synced

那么，它就等于积分的和
Not Synced

从 0 到 1 的 g(x) 的积分
Not Synced

g(x) dx 加上从 0 到 1 的 h(x) 的积分
Not Synced

加上，不停的加下去
Not Synced

不论这些项有多少
Not Synced

这就是从积分的性质来的
Not Synced

我们在这里也是同样
Not Synced

尽管我们用 sigma 符号来表示
Not Synced

它就等于从
Not Synced

n = 1 到无穷大求和
Not Synced

每一项的定积分
Not Synced

我这么写
Not Synced

从 0 到 1 的积分
Not Synced

n + 1 除以 4 的 n + 1 次方
Not Synced

乘以 x 的 n 次方，然后 dx
Not Synced

再次强调，现在我们是求每一项的和
Not Synced

我们在这里来求值
Not Synced

它等于，我继续写
Not Synced

它等于从 n = 1 到
Not Synced

无穷大求和，然后
Not Synced

是橙色下划线的部分
Not Synced

它等于，我们看看
Not Synced

在这里取反导数
Not Synced

我们得到 x 的 n + 1 次方
Not Synced

然后除以 n + 1
Not Synced

所以有这个原来的 n + 1 除以
Not Synced

4 的 n + 1 次方，这是常数
Not Synced

与 x 无关，每一项都如此
Not Synced

然后我们把指数加 1
Not Synced

再除以加过 1 的指数
Not Synced

这个方法，我一般叫做
Not Synced

反用幂法则，或逆-幂法则
Not Synced

所以等于 x 的 n + 1 次方除以 n + 1
Not Synced

就是求反导数
Not Synced

每一项从 0 到 1 进行求值
Not Synced

在此之前，我们先来化简
Not Synced

我们有 n + 1，有 n + 1
Not Synced

我们重新来写
Not Synced

它就等于
Not Synced

从 n = 1 到无穷大求和
Not Synced

这里面是
Not Synced

当 x 等于 1 时，它是 1
Not Synced

我们写 1 的 n + 1 次方
Not Synced

除以 4 的 n + 1 次方
Not Synced

实际上，对，可以这么写呀
Not Synced

1 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方
Not Synced

减去 0 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方
Not Synced

我们都不用写它
Not Synced

0 的 n + 1 次方
Not Synced

除以 4 的 n + 1 次方，显然是 0
Not Synced

然后是这部分
Not Synced

已经越来越简单了
Not Synced

它就等于
Not Synced

从 n = 1 到无穷大的和
Not Synced

我们快要听到胜利的号角
Not Synced

1/4 的 n + 1 次方
Not Synced

现在你可能马上能认出它
Not Synced

它是无穷等比数列
Not Synced

第一项是什么？
Not Synced

好，第一项是
Not Synced

当 n 等于 1 时，第一项
Not Synced

是 1/4 的二次方
Not Synced

对吗？
Not Synced

对
Not Synced

当 n 等于 1 时，它等于
Not Synced

所以它等于 1/4 的二次方
Not Synced

也就是 1/16，所以这是我们的第一项
Not Synced

然后我们的公比，就是
Not Synced

每项都乘以 1/4
Not Synced

所以我们的公比是 1/4
Not Synced

所以对于一个无穷等比数列
Not Synced

它是——因为公比
Not Synced

的绝对值小于 1
Not Synced

我们知道它是收敛的
Not Synced

并且它将收敛到
Not Synced

第一项，1/16，除以
Not Synced

1 减公比，1 减去 1/4
Not Synced

也就是 3/4，所以等于 1/16 乘以 4/3
Not Synced

等于 1/12
Not Synced

我们完成了
Not Synced

这题一开始看起来真的很可怕
Not Synced

但我们需要意识到
Not Synced

和的积分，无穷项的和也没关系
Not Synced

就等于这些无穷多的积分的和
Not Synced

我们求这无穷多积分的反导数
Not Synced

这个我们很容易处理
Not Synced

使用数学符号的威力
Not Synced

然后我们意识到
Not Synced

这就是无穷几何级数嘛
Not Synced

我们知道求和公式
Not Synced

然后就做完了

Title:: 幂级数的积分 | 级数 | AP微积分BC | 可汗学院
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Video Language:: English
Team:: Khan Academy
Duration:: 06:05

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