0:00:00.247,0:00:01.755
我们已知 f(x)

0:00:01.755,0:00:03.409
等于无穷级数

0:00:03.409,0:00:05.678
从 n = 1 到无穷大

0:00:05.678,0:00:11.055
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方，乘以 x 的 n 次方

0:00:11.055,0:00:13.080
我们要计算的是

0:00:13.080,0:00:17.226
f(x) 从 0 到 1 的定积分是多少？

0:00:17.226,0:00:19.593
像往常一样，如果你有思路

0:00:19.593,0:00:21.509
我鼓励你如果有思路

0:00:21.509,0:00:23.399
就暂停视频尝试自己解决

0:00:23.399,0:00:25.292
或者视频的任何时候都可以

0:00:25.292,0:00:28.193
暂停，然后自己继续做

0:00:28.193,0:00:30.627
好的，我们来代入一下

0:00:30.627,0:00:32.176
它就等于

0:00:32.176,0:00:34.192
从 0 到 1 的积分

0:00:34.192,0:00:38.659
f(x) 是这个级数，所以我这么写

0:00:38.659,0:00:43.142
从 n = 1 到无穷大求和

0:00:43.142,0:00:47.342
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方

0:00:47.342,0:00:49.308
乘以 x 的 n 次方

0:00:49.308,0:00:51.788
我接下来的做法可能

0:00:51.788,0:00:53.991
有些人是第一次见

0:00:53.991,0:00:55.500
但本质上，我们计算

0:00:55.500,0:00:57.942
一些项的和的定积分

0:00:57.942,0:01:00.791
等价于计算这些项的

0:01:00.791,0:01:02.657
定积分的和

0:01:02.657,0:01:04.041
再说明白一点

0:01:04.041,0:01:06.521
如果我有，我们说这是一个定积分

0:01:06.521,0:01:10.941
从 0 到 1，里面有很多项

0:01:10.941,0:01:12.391
或者说很多函数

0:01:12.391,0:01:16.227
比如说是 g(x) 加上 h(x)

0:01:16.227,0:01:19.948
我不停的加，dx

0:01:19.948,0:01:21.897
那么，它就等于积分的和

0:01:21.897,0:01:26.448
从 0 到 1 的 g(x) 的积分

0:01:26.448,0:01:32.963
g(x) dx 加上从 0 到 1 的 h(x) 的积分

0:01:32.963,0:01:35.696
加上，不停的加下去

0:01:35.696,0:01:37.446
不论这些项有多少

0:01:37.446,0:01:40.121
这就是积分的性质

0:01:40.121,0:01:41.679
我们在这里也是同样

0:01:41.679,0:01:44.103
尽管用 sigma 符号来表示

0:01:44.103,0:01:47.935
它就等于从

0:01:47.935,0:01:52.562
n = 1 到无穷大求和

0:01:52.562,0:01:56.446
每一项的定积分

0:01:56.446,0:01:58.228
我这么写

0:01:58.228,0:02:01.962
从 0 到 1 的积分

0:02:01.962,0:02:08.094
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方

0:02:08.094,0:02:12.562
乘以 x 的 n 次方，然后 dx

0:02:12.562,0:02:16.946
再次强调，现在我们是求每一项的和

0:02:16.946,0:02:22.394
我们来求这一部分的值

0:02:22.394,0:02:25.211
它等于，我往后写

0:02:25.211,0:02:28.564
它等于从 n = 1 到

0:02:28.564,0:02:31.821
无穷大求和，然后

0:02:31.821,0:02:33.832
是橙色下划线的部分

0:02:33.832,0:02:34.965
它等于，我们看

0:02:34.965,0:02:37.530
在这里取反导数

0:02:37.530,0:02:42.513
我们得到 x 的 n + 1 次方

0:02:42.513,0:02:44.263
然后除以 n + 1

0:02:44.263,0:02:48.480
所以有这个原来的 n + 1 除以

0:02:48.480,0:02:52.280
4 的 n + 1 次方，这是常数

0:02:52.280,0:02:54.464
与 x 无关，每一项都如此

0:02:54.464,0:02:57.053
然后我们把指数加 1

0:02:57.053,0:02:59.997
再除以加过 1 的指数

0:02:59.997,0:03:02.446
这个方法，我一般叫做

0:03:02.446,0:03:06.945
反用幂法则，或逆-幂法则

0:03:06.945,0:03:12.294
所以等于 x 的 n + 1 次方除以 n + 1

0:03:12.294,0:03:13.829
就是求反导数

0:03:13.829,0:03:17.145
每一项从 0 到 1 进行求值

0:03:17.145,0:03:18.884
在此之前，我们先来化简

0:03:18.884,0:03:21.511
我们有 n + 1，有 n + 1

0:03:21.511,0:03:23.927
我们重新来写

0:03:23.927,0:03:25.743
它就等于

0:03:25.743,0:03:29.177
从 n = 1 到无穷大求和

0:03:29.177,0:03:32.293
这里面是

0:03:32.293,0:03:37.577
当 x 等于 1 时，它是 1

0:03:37.577,0:03:40.123
我们写 1 的 n + 1 次方

0:03:40.123,0:03:42.494
除以 4 的 n + 1 次方

0:03:42.494,0:03:44.330
实际上可以这么写呀

0:03:44.330,0:03:48.443
1 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方

0:03:48.443,0:03:51.693
减去 0 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方

0:03:51.693,0:03:53.576
我们都不用写它

0:03:53.576,0:03:55.626
0 的 n + 1 次方

0:03:55.626,0:04:00.566
除以 4 的 n + 1 次方，显然是 0

0:04:00.566,0:04:02.509
然后是这部分

0:04:02.509,0:04:05.161
已经越来越简单了

0:04:05.161,0:04:06.958
它就等于

0:04:06.958,0:04:11.609
从 n = 1 到无穷大的和

0:04:11.609,0:04:13.492
我们快要听到胜利的号角

0:04:13.492,0:04:16.758
1/4 的 n + 1 次方

0:04:16.758,0:04:18.545
可能你立刻就认出它了

0:04:18.545,0:04:20.980
它是无穷等比数列

0:04:20.980,0:04:22.758
第一项是什么？

0:04:22.758,0:04:29.258
好，第一项是

0:04:29.258,0:04:35.341
当 n 等于 1 时，第一项

0:04:35.341,0:04:39.607
是 1/4 的二次方

0:04:39.607,0:04:40.674
对吗？

0:04:40.674,0:04:41.507
对

0:04:41.507,0:04:45.241
当 n 等于 1 时，它等于

0:04:45.241,0:04:49.505
所以它等于 1/4 的二次方

0:04:49.505,0:04:54.425
也就是 1/16，所以这是我们的第一项

0:04:54.425,0:05:00.629
然后我们的公比，就是

0:05:00.629,0:05:04.539
每项都乘以 1/4

0:05:04.539,0:05:06.888
所以我们的公比是 1/4

0:05:06.888,0:05:09.121
所以对于一个无穷等比数列

0:05:09.121,0:05:14.273
它是——因为公比

0:05:14.273,0:05:16.107
的绝对值小于 1

0:05:16.107,0:05:17.890
我们知道它是收敛的

0:05:17.890,0:05:19.719
并且它将收敛到

0:05:19.719,0:05:24.718
第一项，1/16，除以

0:05:24.718,0:05:28.589
1 减公比，1 减去 1/4

0:05:28.589,0:05:37.545
也就是 3/4，所以等于 1/16 乘以 4/3

0:05:37.545,0:05:40.858
等于 1/12

0:05:40.858,0:05:41.946
我们完成了

0:05:41.946,0:05:43.725
这题一开始看起来真的很可怕

0:05:43.725,0:05:45.099
但我们需要意识到

0:05:45.099,0:05:48.258
和的积分，无穷项的和也没关系

0:05:48.258,0:05:50.975
就等于这些无穷多的积分的和

0:05:50.975,0:05:53.474
我们求这无穷多积分的反导数

0:05:53.474,0:05:55.104
这个我们很容易处理

0:05:55.104,0:05:58.091
使用数学符号的威力

0:05:58.091,0:05:59.658
然后我们意识到

0:05:59.658,0:06:01.221
这就是无穷几何级数嘛

0:06:01.221,0:06:02.467
我们知道求和公式

0:06:02.467,0:06:03.717
然后就做完了