[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.25,0:00:01.76,Default,,0000,0000,0000,,我们已知 f(x)
Dialogue: 0,0:00:01.76,0:00:03.41,Default,,0000,0000,0000,,等于无穷级数
Dialogue: 0,0:00:03.41,0:00:05.68,Default,,0000,0000,0000,,从 n = 1 到无穷大
Dialogue: 0,0:00:05.68,0:00:11.06,Default,,0000,0000,0000,,n + 1 除以 4 的 n + 1 次方，乘以 x 的 n 次方
Dialogue: 0,0:00:11.06,0:00:13.08,Default,,0000,0000,0000,,我们要计算的是
Dialogue: 0,0:00:13.08,0:00:17.23,Default,,0000,0000,0000,,f(x) 从 0 到 1 的定积分是多少？
Dialogue: 0,0:00:17.23,0:00:19.59,Default,,0000,0000,0000,,像往常一样，如果你有思路
Dialogue: 0,0:00:19.59,0:00:21.51,Default,,0000,0000,0000,,我鼓励你如果有思路
Dialogue: 0,0:00:21.51,0:00:23.40,Default,,0000,0000,0000,,就暂停视频尝试自己解决
Dialogue: 0,0:00:23.40,0:00:25.29,Default,,0000,0000,0000,,或者视频的任何时候都可以
Dialogue: 0,0:00:25.29,0:00:28.19,Default,,0000,0000,0000,,暂停，然后自己继续做
Dialogue: 0,0:00:28.19,0:00:30.63,Default,,0000,0000,0000,,好的，我们来代入一下
Dialogue: 0,0:00:30.63,0:00:32.18,Default,,0000,0000,0000,,它就等于
Dialogue: 0,0:00:32.18,0:00:34.19,Default,,0000,0000,0000,,从 0 到 1 的积分
Dialogue: 0,0:00:34.19,0:00:38.66,Default,,0000,0000,0000,,f(x) 是这个级数，所以我这么写
Dialogue: 0,0:00:38.66,0:00:43.14,Default,,0000,0000,0000,,从 n = 1 到无穷大求和
Dialogue: 0,0:00:43.14,0:00:47.34,Default,,0000,0000,0000,,n + 1 除以 4 的 n + 1 次方
Dialogue: 0,0:00:47.34,0:00:49.31,Default,,0000,0000,0000,,乘以 x 的 n 次方
Dialogue: 0,0:00:49.31,0:00:51.79,Default,,0000,0000,0000,,我接下来的做法可能
Dialogue: 0,0:00:51.79,0:00:53.99,Default,,0000,0000,0000,,有些人是第一次见
Dialogue: 0,0:00:53.99,0:00:55.50,Default,,0000,0000,0000,,但本质上，我们计算
Dialogue: 0,0:00:55.50,0:00:57.94,Default,,0000,0000,0000,,一些项的和的定积分
Dialogue: 0,0:00:57.94,0:01:00.79,Default,,0000,0000,0000,,等价于计算这些项的
Dialogue: 0,0:01:00.79,0:01:02.66,Default,,0000,0000,0000,,定积分的和
Dialogue: 0,0:01:02.66,0:01:04.04,Default,,0000,0000,0000,,再说明白一点
Dialogue: 0,0:01:04.04,0:01:06.52,Default,,0000,0000,0000,,如果我有，我们说这是一个定积分
Dialogue: 0,0:01:06.52,0:01:10.94,Default,,0000,0000,0000,,从 0 到 1，里面有很多项
Dialogue: 0,0:01:10.94,0:01:12.39,Default,,0000,0000,0000,,或者说很多函数
Dialogue: 0,0:01:12.39,0:01:16.23,Default,,0000,0000,0000,,比如说是 g(x) 加上 h(x)
Dialogue: 0,0:01:16.23,0:01:19.95,Default,,0000,0000,0000,,我不停的加，dx
Dialogue: 0,0:01:19.95,0:01:21.90,Default,,0000,0000,0000,,那么，它就等于积分的和
Dialogue: 0,0:01:21.90,0:01:26.45,Default,,0000,0000,0000,,从 0 到 1 的 g(x) 的积分
Dialogue: 0,0:01:26.45,0:01:32.96,Default,,0000,0000,0000,,g(x) dx 加上从 0 到 1 的 h(x) 的积分
Dialogue: 0,0:01:32.96,0:01:35.70,Default,,0000,0000,0000,,加上，不停的加下去
Dialogue: 0,0:01:35.70,0:01:37.45,Default,,0000,0000,0000,,不论这些项有多少
Dialogue: 0,0:01:37.45,0:01:40.12,Default,,0000,0000,0000,,这就是积分的性质
Dialogue: 0,0:01:40.12,0:01:41.68,Default,,0000,0000,0000,,我们在这里也是同样
Dialogue: 0,0:01:41.68,0:01:44.10,Default,,0000,0000,0000,,尽管用 sigma 符号来表示
Dialogue: 0,0:01:44.10,0:01:47.94,Default,,0000,0000,0000,,它就等于从
Dialogue: 0,0:01:47.94,0:01:52.56,Default,,0000,0000,0000,,n = 1 到无穷大求和
Dialogue: 0,0:01:52.56,0:01:56.45,Default,,0000,0000,0000,,每一项的定积分
Dialogue: 0,0:01:56.45,0:01:58.23,Default,,0000,0000,0000,,我这么写
Dialogue: 0,0:01:58.23,0:02:01.96,Default,,0000,0000,0000,,从 0 到 1 的积分
Dialogue: 0,0:02:01.96,0:02:08.09,Default,,0000,0000,0000,,n + 1 除以 4 的 n + 1 次方
Dialogue: 0,0:02:08.09,0:02:12.56,Default,,0000,0000,0000,,乘以 x 的 n 次方，然后 dx
Dialogue: 0,0:02:12.56,0:02:16.95,Default,,0000,0000,0000,,再次强调，现在我们是求每一项的和
Dialogue: 0,0:02:16.95,0:02:22.39,Default,,0000,0000,0000,,我们来求这一部分的值
Dialogue: 0,0:02:22.39,0:02:25.21,Default,,0000,0000,0000,,它等于，我往后写
Dialogue: 0,0:02:25.21,0:02:28.56,Default,,0000,0000,0000,,它等于从 n = 1 到
Dialogue: 0,0:02:28.56,0:02:31.82,Default,,0000,0000,0000,,无穷大求和，然后
Dialogue: 0,0:02:31.82,0:02:33.83,Default,,0000,0000,0000,,是橙色下划线的部分
Dialogue: 0,0:02:33.83,0:02:34.96,Default,,0000,0000,0000,,它等于，我们看
Dialogue: 0,0:02:34.96,0:02:37.53,Default,,0000,0000,0000,,在这里取反导数
Dialogue: 0,0:02:37.53,0:02:42.51,Default,,0000,0000,0000,,我们得到 x 的 n + 1 次方
Dialogue: 0,0:02:42.51,0:02:44.26,Default,,0000,0000,0000,,然后除以 n + 1
Dialogue: 0,0:02:44.26,0:02:48.48,Default,,0000,0000,0000,,所以有这个原来的 n + 1 除以
Dialogue: 0,0:02:48.48,0:02:52.28,Default,,0000,0000,0000,,4 的 n + 1 次方，这是常数
Dialogue: 0,0:02:52.28,0:02:54.46,Default,,0000,0000,0000,,与 x 无关，每一项都如此
Dialogue: 0,0:02:54.46,0:02:57.05,Default,,0000,0000,0000,,然后我们把指数加 1
Dialogue: 0,0:02:57.05,0:02:59.100,Default,,0000,0000,0000,,再除以加过 1 的指数
Dialogue: 0,0:02:59.100,0:03:02.45,Default,,0000,0000,0000,,这个方法，我一般叫做
Dialogue: 0,0:03:02.45,0:03:06.94,Default,,0000,0000,0000,,反用幂法则，或逆-幂法则
Dialogue: 0,0:03:06.94,0:03:12.29,Default,,0000,0000,0000,,所以等于 x 的 n + 1 次方除以 n + 1
Dialogue: 0,0:03:12.29,0:03:13.83,Default,,0000,0000,0000,,就是求反导数
Dialogue: 0,0:03:13.83,0:03:17.14,Default,,0000,0000,0000,,每一项从 0 到 1 进行求值
Dialogue: 0,0:03:17.14,0:03:18.88,Default,,0000,0000,0000,,在此之前，我们先来化简
Dialogue: 0,0:03:18.88,0:03:21.51,Default,,0000,0000,0000,,我们有 n + 1，有 n + 1
Dialogue: 0,0:03:21.51,0:03:23.93,Default,,0000,0000,0000,,我们重新来写
Dialogue: 0,0:03:23.93,0:03:25.74,Default,,0000,0000,0000,,它就等于
Dialogue: 0,0:03:25.74,0:03:29.18,Default,,0000,0000,0000,,从 n = 1 到无穷大求和
Dialogue: 0,0:03:29.18,0:03:32.29,Default,,0000,0000,0000,,这里面是
Dialogue: 0,0:03:32.29,0:03:37.58,Default,,0000,0000,0000,,当 x 等于 1 时，它是 1
Dialogue: 0,0:03:37.58,0:03:40.12,Default,,0000,0000,0000,,我们写 1 的 n + 1 次方
Dialogue: 0,0:03:40.12,0:03:42.49,Default,,0000,0000,0000,,除以 4 的 n + 1 次方
Dialogue: 0,0:03:42.49,0:03:44.33,Default,,0000,0000,0000,,实际上可以这么写呀
Dialogue: 0,0:03:44.33,0:03:48.44,Default,,0000,0000,0000,,1 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方
Dialogue: 0,0:03:48.44,0:03:51.69,Default,,0000,0000,0000,,减去 0 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方
Dialogue: 0,0:03:51.69,0:03:53.58,Default,,0000,0000,0000,,我们都不用写它
Dialogue: 0,0:03:53.58,0:03:55.63,Default,,0000,0000,0000,,0 的 n + 1 次方
Dialogue: 0,0:03:55.63,0:04:00.57,Default,,0000,0000,0000,,除以 4 的 n + 1 次方，显然是 0
Dialogue: 0,0:04:00.57,0:04:02.51,Default,,0000,0000,0000,,然后是这部分
Dialogue: 0,0:04:02.51,0:04:05.16,Default,,0000,0000,0000,,已经越来越简单了
Dialogue: 0,0:04:05.16,0:04:06.96,Default,,0000,0000,0000,,它就等于
Dialogue: 0,0:04:06.96,0:04:11.61,Default,,0000,0000,0000,,从 n = 1 到无穷大的和
Dialogue: 0,0:04:11.61,0:04:13.49,Default,,0000,0000,0000,,我们快要听到胜利的号角
Dialogue: 0,0:04:13.49,0:04:16.76,Default,,0000,0000,0000,,1/4 的 n + 1 次方
Dialogue: 0,0:04:16.76,0:04:18.54,Default,,0000,0000,0000,,可能你立刻就认出它了
Dialogue: 0,0:04:18.54,0:04:20.98,Default,,0000,0000,0000,,它是无穷等比数列
Dialogue: 0,0:04:20.98,0:04:22.76,Default,,0000,0000,0000,,第一项是什么？
Dialogue: 0,0:04:22.76,0:04:29.26,Default,,0000,0000,0000,,好，第一项是
Dialogue: 0,0:04:29.26,0:04:35.34,Default,,0000,0000,0000,,当 n 等于 1 时，第一项
Dialogue: 0,0:04:35.34,0:04:39.61,Default,,0000,0000,0000,,是 1/4 的二次方
Dialogue: 0,0:04:39.61,0:04:40.67,Default,,0000,0000,0000,,对吗？
Dialogue: 0,0:04:40.67,0:04:41.51,Default,,0000,0000,0000,,对
Dialogue: 0,0:04:41.51,0:04:45.24,Default,,0000,0000,0000,,当 n 等于 1 时，它等于
Dialogue: 0,0:04:45.24,0:04:49.50,Default,,0000,0000,0000,,所以它等于 1/4 的二次方
Dialogue: 0,0:04:49.50,0:04:54.42,Default,,0000,0000,0000,,也就是 1/16，所以这是我们的第一项
Dialogue: 0,0:04:54.42,0:05:00.63,Default,,0000,0000,0000,,然后我们的公比，就是
Dialogue: 0,0:05:00.63,0:05:04.54,Default,,0000,0000,0000,,每项都乘以 1/4
Dialogue: 0,0:05:04.54,0:05:06.89,Default,,0000,0000,0000,,所以我们的公比是 1/4
Dialogue: 0,0:05:06.89,0:05:09.12,Default,,0000,0000,0000,,所以对于一个无穷等比数列
Dialogue: 0,0:05:09.12,0:05:14.27,Default,,0000,0000,0000,,它是——因为公比
Dialogue: 0,0:05:14.27,0:05:16.11,Default,,0000,0000,0000,,的绝对值小于 1
Dialogue: 0,0:05:16.11,0:05:17.89,Default,,0000,0000,0000,,我们知道它是收敛的
Dialogue: 0,0:05:17.89,0:05:19.72,Default,,0000,0000,0000,,并且它将收敛到
Dialogue: 0,0:05:19.72,0:05:24.72,Default,,0000,0000,0000,,第一项，1/16，除以
Dialogue: 0,0:05:24.72,0:05:28.59,Default,,0000,0000,0000,,1 减公比，1 减去 1/4
Dialogue: 0,0:05:28.59,0:05:37.54,Default,,0000,0000,0000,,也就是 3/4，所以等于 1/16 乘以 4/3
Dialogue: 0,0:05:37.54,0:05:40.86,Default,,0000,0000,0000,,等于 1/12
Dialogue: 0,0:05:40.86,0:05:41.95,Default,,0000,0000,0000,,我们完成了
Dialogue: 0,0:05:41.95,0:05:43.72,Default,,0000,0000,0000,,这题一开始看起来真的很可怕
Dialogue: 0,0:05:43.72,0:05:45.10,Default,,0000,0000,0000,,但我们需要意识到
Dialogue: 0,0:05:45.10,0:05:48.26,Default,,0000,0000,0000,,和的积分，无穷项的和也没关系
Dialogue: 0,0:05:48.26,0:05:50.98,Default,,0000,0000,0000,,就等于这些无穷多的积分的和
Dialogue: 0,0:05:50.98,0:05:53.47,Default,,0000,0000,0000,,我们求这无穷多积分的反导数
Dialogue: 0,0:05:53.47,0:05:55.10,Default,,0000,0000,0000,,这个我们很容易处理
Dialogue: 0,0:05:55.10,0:05:58.09,Default,,0000,0000,0000,,使用数学符号的威力
Dialogue: 0,0:05:58.09,0:05:59.66,Default,,0000,0000,0000,,然后我们意识到
Dialogue: 0,0:05:59.66,0:06:01.22,Default,,0000,0000,0000,,这就是无穷几何级数嘛
Dialogue: 0,0:06:01.22,0:06:02.47,Default,,0000,0000,0000,,我们知道求和公式
Dialogue: 0,0:06:02.47,0:06:03.72,Default,,0000,0000,0000,,然后就做完了