1
00:00:00,247 --> 00:00:01,755
我们已知 f(x)

2
00:00:01,755 --> 00:00:03,409
等于无穷级数

3
00:00:03,409 --> 00:00:05,678
从 n = 1 到无穷大

4
00:00:05,678 --> 00:00:11,055
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方，乘以 x 的 n 次方

5
00:00:11,055 --> 00:00:13,080
我们要计算的是

6
00:00:13,080 --> 00:00:17,226
f(x) 从 0 到 1 的定积分是多少？

7
00:00:17,226 --> 00:00:19,593
像往常一样，如果你有思路

8
00:00:19,593 --> 00:00:21,509
我鼓励你如果有思路

9
00:00:21,509 --> 00:00:23,399
就暂停视频尝试自己解决

10
00:00:23,399 --> 00:00:25,292
或者视频的任何时候都可以

11
00:00:25,292 --> 00:00:28,193
暂停，然后自己继续做

12
00:00:28,193 --> 00:00:30,627
好的，我们来代入一下

13
00:00:30,627 --> 00:00:32,176
它就等于

14
00:00:32,176 --> 00:00:34,192
从 0 到 1 的积分

15
00:00:34,192 --> 00:00:38,659
f(x) 是这个级数，所以我这么写

16
00:00:38,659 --> 00:00:43,142
从 n = 1 到无穷大求和

17
00:00:43,142 --> 00:00:47,342
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方

18
00:00:47,342 --> 00:00:49,308
乘以 x 的 n 次方

19
00:00:49,308 --> 00:00:51,788
我接下来的做法可能

20
00:00:51,788 --> 00:00:53,991
有些人是第一次见

21
00:00:53,991 --> 00:00:55,500
但本质上，我们计算

22
00:00:55,500 --> 00:00:57,942
一些项的和的定积分

23
00:00:57,942 --> 00:01:00,791
等价于计算这些项的

24
00:01:00,791 --> 00:01:02,657
定积分的和

25
00:01:02,657 --> 00:01:04,041
再说明白一点

26
00:01:04,041 --> 00:01:06,521
如果我有，我们说这是一个定积分

27
00:01:06,521 --> 00:01:10,941
从 0 到 1，里面有很多项

28
00:01:10,941 --> 00:01:12,391
或者说很多函数

29
00:01:12,391 --> 00:01:16,227
比如说是 g(x) 加上 h(x)

30
00:01:16,227 --> 00:01:19,948
我不停的加，dx

31
00:01:19,948 --> 00:01:21,897
那么，它就等于积分的和

32
00:01:21,897 --> 00:01:26,448
从 0 到 1 的 g(x) 的积分

33
00:01:26,448 --> 00:01:32,963
g(x) dx 加上从 0 到 1 的 h(x) 的积分

34
00:01:32,963 --> 00:01:35,696
加上，不停的加下去

35
00:01:35,696 --> 00:01:37,446
不论这些项有多少

36
00:01:37,446 --> 00:01:40,121
这就是积分的性质

37
00:01:40,121 --> 00:01:41,679
我们在这里也是同样

38
00:01:41,679 --> 00:01:44,103
尽管用 sigma 符号来表示

39
00:01:44,103 --> 00:01:47,935
它就等于从

40
00:01:47,935 --> 00:01:52,562
n = 1 到无穷大求和

41
00:01:52,562 --> 00:01:56,446
每一项的定积分

42
00:01:56,446 --> 00:01:58,228
我这么写

43
00:01:58,228 --> 00:02:01,962
从 0 到 1 的积分

44
00:02:01,962 --> 00:02:08,094
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方

45
00:02:08,094 --> 00:02:12,562
乘以 x 的 n 次方，然后 dx

46
00:02:12,562 --> 00:02:16,946
再次强调，现在我们是求每一项的和

47
00:02:16,946 --> 00:02:22,394
我们来求这一部分的值

48
00:02:22,394 --> 00:02:25,211
它等于，我往后写

49
00:02:25,211 --> 00:02:28,564
它等于从 n = 1 到

50
00:02:28,564 --> 00:02:31,821
无穷大求和，然后

51
00:02:31,821 --> 00:02:33,832
是橙色下划线的部分

52
00:02:33,832 --> 00:02:34,965
它等于，我们看

53
00:02:34,965 --> 00:02:37,530
在这里取反导数

54
00:02:37,530 --> 00:02:42,513
我们得到 x 的 n + 1 次方

55
00:02:42,513 --> 00:02:44,263
然后除以 n + 1

56
00:02:44,263 --> 00:02:48,480
所以有这个原来的 n + 1 除以

57
00:02:48,480 --> 00:02:52,280
4 的 n + 1 次方，这是常数

58
00:02:52,280 --> 00:02:54,464
与 x 无关，每一项都如此

59
00:02:54,464 --> 00:02:57,053
然后我们把指数加 1

60
00:02:57,053 --> 00:02:59,997
再除以加过 1 的指数

61
00:02:59,997 --> 00:03:02,446
这个方法，我一般叫做

62
00:03:02,446 --> 00:03:06,945
反用幂法则，或逆-幂法则

63
00:03:06,945 --> 00:03:12,294
所以等于 x 的 n + 1 次方除以 n + 1

64
00:03:12,294 --> 00:03:13,829
就是求反导数

65
00:03:13,829 --> 00:03:17,145
每一项从 0 到 1 进行求值

66
00:03:17,145 --> 00:03:18,884
在此之前，我们先来化简

67
00:03:18,884 --> 00:03:21,511
我们有 n + 1，有 n + 1

68
00:03:21,511 --> 00:03:23,927
我们重新来写

69
00:03:23,927 --> 00:03:25,743
它就等于

70
00:03:25,743 --> 00:03:29,177
从 n = 1 到无穷大求和

71
00:03:29,177 --> 00:03:32,293
这里面是

72
00:03:32,293 --> 00:03:37,577
当 x 等于 1 时，它是 1

73
00:03:37,577 --> 00:03:40,123
我们写 1 的 n + 1 次方

74
00:03:40,123 --> 00:03:42,494
除以 4 的 n + 1 次方

75
00:03:42,494 --> 00:03:44,330
实际上可以这么写呀

76
00:03:44,330 --> 00:03:48,443
1 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方

77
00:03:48,443 --> 00:03:51,693
减去 0 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方

78
00:03:51,693 --> 00:03:53,576
我们都不用写它

79
00:03:53,576 --> 00:03:55,626
0 的 n + 1 次方

80
00:03:55,626 --> 00:04:00,566
除以 4 的 n + 1 次方，显然是 0

81
00:04:00,566 --> 00:04:02,509
然后是这部分

82
00:04:02,509 --> 00:04:05,161
已经越来越简单了

83
00:04:05,161 --> 00:04:06,958
它就等于

84
00:04:06,958 --> 00:04:11,609
从 n = 1 到无穷大的和

85
00:04:11,609 --> 00:04:13,492
我们快要听到胜利的号角

86
00:04:13,492 --> 00:04:16,758
1/4 的 n + 1 次方

87
00:04:16,758 --> 00:04:18,545
可能你立刻就认出它了

88
00:04:18,545 --> 00:04:20,980
它是无穷等比数列

89
00:04:20,980 --> 00:04:22,758
第一项是什么？

90
00:04:22,758 --> 00:04:29,258
好，第一项是

91
00:04:29,258 --> 00:04:35,341
当 n 等于 1 时，第一项

92
00:04:35,341 --> 00:04:39,607
是 1/4 的二次方

93
00:04:39,607 --> 00:04:40,674
对吗？

94
00:04:40,674 --> 00:04:41,507
对

95
00:04:41,507 --> 00:04:45,241
当 n 等于 1 时，它等于

96
00:04:45,241 --> 00:04:49,505
所以它等于 1/4 的二次方

97
00:04:49,505 --> 00:04:54,425
也就是 1/16，所以这是我们的第一项

98
00:04:54,425 --> 00:05:00,629
然后我们的公比，就是

99
00:05:00,629 --> 00:05:04,539
每项都乘以 1/4

100
00:05:04,539 --> 00:05:06,888
所以我们的公比是 1/4

101
00:05:06,888 --> 00:05:09,121
所以对于一个无穷等比数列

102
00:05:09,121 --> 00:05:14,273
它是——因为公比

103
00:05:14,273 --> 00:05:16,107
的绝对值小于 1

104
00:05:16,107 --> 00:05:17,890
我们知道它是收敛的

105
00:05:17,890 --> 00:05:19,719
并且它将收敛到

106
00:05:19,719 --> 00:05:24,718
第一项，1/16，除以

107
00:05:24,718 --> 00:05:28,589
1 减公比，1 减去 1/4

108
00:05:28,589 --> 00:05:37,545
也就是 3/4，所以等于 1/16 乘以 4/3

109
00:05:37,545 --> 00:05:40,858
等于 1/12

110
00:05:40,858 --> 00:05:41,946
我们完成了

111
00:05:41,946 --> 00:05:43,725
这题一开始看起来真的很可怕

112
00:05:43,725 --> 00:05:45,099
但我们需要意识到

113
00:05:45,099 --> 00:05:48,258
和的积分，无穷项的和也没关系

114
00:05:48,258 --> 00:05:50,975
就等于这些无穷多的积分的和

115
00:05:50,975 --> 00:05:53,474
我们求这无穷多积分的反导数

116
00:05:53,474 --> 00:05:55,104
这个我们很容易处理

117
00:05:55,104 --> 00:05:58,091
使用数学符号的威力

118
00:05:58,091 --> 00:05:59,658
然后我们意识到

119
00:05:59,658 --> 00:06:01,221
这就是无穷几何级数嘛

120
00:06:01,221 --> 00:06:02,467
我们知道求和公式

121
00:06:02,467 --> 00:06:03,717
然后就做完了