A Pitagorasz-tétel bizonyítása hasonlósággal | Pitagorasz-tétel | Geometria | Khan Academy

A háromszög, amit itt látunk,
derékszögű.

Azért derékszögű, mert
van egy 90°-os szöge,

van benne egy derékszög.

Egy derékszögű háromszög
leghosszabb oldalát,

ezt az oldalt, amit tehát

mondhatunk a derékszögű
háromszög leghosszabb oldalának,

vagy a 90°-os szöggel szemközti oldalnak,
átfogónak nevezzük.

Meglehetősen különös ez az elnevezése
ennek az egyszerű fogalomnak,

mint egy derékszögű háromszög
leghosszabb oldala,

vagy a 90°-os szögével szemközti oldal.

Azért mégiscsak jó, ha ismerjük,
ha valaki hivatkozik az átfogóra,

akkor mindjárt tudni fogjuk,
hogy erre az oldalra gondol,

a leghosszabb oldalra,
avagy a 90°-kal szemköztire.

Ebben a videóban

egy nagyon híres összefüggést
szeretnék bizonyítani.

Talán már látod is, mire utalok,

egy igazán ismert összefüggésre,

amely egy derékszögű háromszög
oldalai között áll fenn.

Legyen az AC oldal (nagy A és nagy C)
és ennek a hossza 'a',

a BC oldalé 'b'.

Nagybetűket fogok használni a csúcsoknál,
és kisbetűket az oldalak hosszánál.

És akkor legyen az átfogó,
az AB oldal hossza 'c'.

Vizsgáljuk meg, hogy fel tudunk-e írni
valamilyen összefüggést

'a', 'b' és 'c' között.

Ehhez behúzok

egy másik egyenes,
pontosabban egy szakaszt

a C és az átfogó között.

Úgy fogom csinálni,

hogy a szakasz derékszögben
metssze az átfogót.

Ezt mindig megtehetjük.

Ezt a metszéspontot nevezzük D-nek.

És ha csodálkoznál azon, hogy vajon
miért lehet ezt bármikor megtenni,

egyszerűen képzeld el, ahogy
elforgatjuk ezt az egész háromszöget.

Ez most nem egy precíz bizonyítás,

de világosan látni fogod,

hogy ez a pont mindig
megszerkeszthető forgatással.

Most legyen itt vízszintesen az átfogónk,

ez itt a B csúcspont, ez meg az A csúcspont.

Körbeforgatjuk az egész dolgot.

Ez a C csúcspont,
és azt el tudod képzelni,

hogy ledobunk egy madzagra
kötött követ a C pontból,

és akkor az derékszögben fog leérkezni
az átfogóra.

Ezt csináltuk tehát, amikor
létrehoztuk a CD szakaszt,

ahogy a D pontot képeztük.

És ezt azért tettük, mert így

mindenféle érdekes összefüggést
tudunk felírni

hasonló háromszögek között.

Itt ugyanis három háromszögünk lesz,

ADC háromszög, DBC háromszög,

és persze az eredeti nagyobb háromszög.

És remélhetőleg találunk majd

hasonlóakat ezek között
a háromszögek között.

Először belátjuk, hogy az ADC
hasonló a nagyobb háromszöghöz.

Mindkettőnek van egy derékszöge,

ADC-nek itt van a derékszöge,

hiszen ha ez itt 90°, akkor
nyilván ez is 90° lesz,

mivel ezek kiegészítő szögei egymásnak,

együttesen 180°-ot kell kiadniuk.

Tehát mindkettőben van egy derékszög,

a kisebbikben is van egy derékszög,

a nagyobbikban pedig nyilván van,

hiszen ebből indultunk ki.

Ezenkívül mindkettőben
szerepel ez a szög,

a DAC vagy BAC szög,

ahogy épp hivatkozunk rá.

Így tehát felírhatjuk a következőt:

a kisebbik ADC-vel kezdem,

be is satírozom,

hogy mutassam, erről a
háromszögről van szó,

az ADC háromszögről.

Kiindultam a kék szögből és
haladtam a derékszög felé,

majd a jelöletlen szög felé.

Ez a derékszög itt nem játszik szerepet,

ez a nagyobb háromszöghöz tartozik.

Tehát azt mondhatjuk,
hogy az ADC háromszög hasonló

– és most megint a kék színű,
A szögből indulunk,

ezután mentünk a derékszög felé,

tehát most is a derékszög következik,

ez az ACB.

És mivel ezek hasonlóak,

felírhatunk egy összefüggést az oldalaik
arányai között.

Például – tudjuk ugye, hogy a hasonló
háromszögekben

a megfelelő oldalaik aránya

egy konstans –

tehát vehetjük a kisebb háromszög
átfogóját,

ez az átfogó az AC,

és ezt arányítjuk a nagyobb háromszög
átfogójához, ami AB,

vagyis AC/AB meg fog egyezni

AD, az egyik befogó

– és itt mutatom, hogy a két háromszögből

a megfelelő oldalakat veszem –
tehát AD/AC-vel.

Te magad is megvizsgálhatod
ezeket a háromszögeket,

és láthatod, hogy

az AD oldal a kék szög és a
derékszög között helyezkedik el,

és az AC oldal is a kék szög és a
derékszög között van

a nagyobb háromszögben.

Szóval ezt a kettőt a nagyobbik
háromszögből vesszük.

Ezek pedig a kisebbik háromszög
megfelelő oldalai.

És ha nehezedre esne mindezt
a rajzot nézve megérteni,

ha helyesen írtuk fel a hasonlóságot,

itt is egyszerűen megtalálhatod a megfelelő
csúcspontokat.

AC megfelel a nagyobb háromszögben
AB-nek,

a kisebb háromszög AD oldala

megfelel a nagyobb háromszög AC oldalának.

És ezt át is írhatjuk, AC megfelel 'a'-nak.

AC az 'a' és itt is AC 'a' lesz.

AD-re és AB-re nincs külön címkénk,

ja, bocs, AB-re persze, hogy van,

ez a 'c',

csak az AD-re nem volt címkénk,

de akkor legyen ez 'd'.

'd' felel meg ennek a résznek,

és 'c' felel meg ennek a teljes hossznak.

A DB szakaszt pedig nevezzük 'e'-nek,

ez így egy kicsit egyszerűbb lesz.

AD-t tehát átírjuk 'd'-vé.

És akkor azt kapjuk, hogy
a/c = d/a

Ha keresztbe felszorzunk, azt kapjuk, hogy a・a,

azaz a² = c・d, azaz cd.

Ez most egy érdekes eredmény.

Nézzük akkor, mit tudunk
kezdeni a másik háromszöggel.

Erről a háromszögről van szó.

Mégegyszer, van ennek egy
derékszöge,

a nagyobbnak is van egy derékszöge,

és osztoznak ezen a szögön.

Így a szög-szög hasonlóság alapján

a két háromszög hasonló.

Azt mondhatjuk tehát,
hogy a BDC háromszög

– a rózsaszínűtől megyünk a derékszögig,
majd a jelzetlenig –

tehát a BDC háromszög hasonló lesz
– most a nagyobb háromszöget vizsgáljuk,

a rózsaszínű szögtől indulunk,
azaz B-től,

haladunk a derékszög felé,

ami a C, és aztán A.

BCA.

Rózsaszín – derékszög – jelöletlen szög.

Ebben az esetben nem jelöljük,

korábban ez volt a kék szög.

Állítsunk akkor fel valamilyen
kapcsolatot ezek között.

A kisebb háromszögből vett BC oldallal

BC/BA – és figyelem,

mindkét háromszögben az átfogót nézzük –

BC/BA egyenlő lesz

(ezt egy másik színnel jelölöm)

BD, ami az egyik befogó,

a rajzom szerint ez a rövidebb befogó,

tehát BD/BC.

A megfelelő csúcsokat követtem,

BD/BC.

BC az ugye nem más, mint 'b',

BA pedig 'c',

és BD-ről azt mondtuk, hogy az az 'e'.

Felszorzunk keresztbe és azt kapjuk,

hogy b・b, (ahogy azt már sokszor

említettem korábban, a keresztbe való
felszorzás azt jelenti,

hogy mindkét oldalt megszorozzuk
mindkét nevezővel)

vagyis b² = c・e, azaz ce.

Most pedig valami érdekeset fogunk csinálni:

összeadjuk ezt a két kifejezést.

Ideírom a másik kifejezést,

b² = ce.

Ha összeadjuk a bal oldalakat, azt kapjuk,

a² + b² = cd + ce.

Mivel a 'c' mindkét tényezőben
szerepel,

ki tudjuk emelni,

ez tehát c (d + e) lesz.

Na és mennyi ez a (d + e)?

'd' ez a szakasz, 'e' ez a szakasz,

tehát d + e az nem más, mint c.

Ez tehát itt c,

c・c, ami nem más, mint c².

Na és ez egy érdekes összefüggés.

Azt kaptuk, hogy a² + b² = c²,

Hadd írjam ezt le újra

egy új színnel:

Most mutattuk meg, hogy

a² + b² = c².

És ez egy tetszőlegesen választott
derékszögű háromszög volt,

ez bármilyen derékszögű háromszögre igaz.

Épp most bizonyítottuk be, hogy

a befogók négyzeteinek összege
megegyezik az átfogó négyzetével.

És ez valószínűleg az egyik

legismertebb tétele a matematikának,

amely Pitagoraszról kapta a nevét.

Nem teljesen biztos, hogy ő volt
az első, aki ezt megfogalmazta,

mi mindenesetre Pitagorasz-tételnek hívjuk.

És ez alapjául fog szolgálni csaknem

az egész geometriának, amivel
foglalkozni fogunk.

És ez az alapja nagyon sok mindennek
a trigonometriában is.

És az mindig hasznos lesz, ha tudod,

hogy ha ismered egy derékszögű
háromszög két oldalát,

akkor mindig meg tudod határozni
a harmadikat.