< Return to Video

A Pitagorasz-tétel bizonyítása hasonlósággal | Pitagorasz-tétel | Geometria | Khan Academy

  • 0:01 - 0:04
    A háromszög, amit itt látunk,
    derékszögű.
  • 0:04 - 0:07
    Azért derékszögű, mert
    van egy 90°-os szöge,
  • 0:07 - 0:09
    van benne egy derékszög.
  • 0:09 - 0:13
    Egy derékszögű háromszög
    leghosszabb oldalát,
  • 0:13 - 0:15
    ezt az oldalt, amit tehát
  • 0:15 - 0:17
    mondhatunk a derékszögű
    háromszög leghosszabb oldalának,
  • 0:17 - 0:21
    vagy a 90°-os szöggel szemközti oldalnak,
    ez az átfogó.
  • 0:21 - 0:24
    Meglehetősen különös ez az elnevezése
    nnek az egyszerű fogalomnak,
  • 0:24 - 0:26
    mint egy derékszögű háromszög
    leghosszabb oldala,
  • 0:26 - 0:28
    vagy a 90°-os szögével szmközti oldal.
  • 0:28 - 0:30
    Azért mégiscsak jó, ha ismerjük,
  • 0:30 - 0:30
    ha valaki hivatkozik az átfogóra.
  • 0:30 - 0:33
    Akkor mindjárt tudni fogjuk,
    hogy erre az oldalra gondol,
  • 0:33 - 0:37
    a leghosszabb oldalra,
    avagy a 90°-kal szemköztire.
  • 0:37 - 0:39
    Ebben a videóban
  • 0:39 - 0:42
    egy nagyon híres összefüggést
    szeretnék bizonyítani.
  • 0:42 - 0:44
    Talán már látod is,mire utalok,
  • 0:44 - 0:46
    egy igazán ismert összefüggésre,
  • 0:46 - 0:49
    amely egy derékszögű háromszög
    oldalai között áll fenn.
  • 0:49 - 0:53
    Legyen az AC oldal (nagy A és nagy C)
    hossza 'a',
  • 0:56 - 1:00
    a BC oldalé 'b'.
  • 1:00 - 1:03
    Nagybetűket fogok használni a csúcsoknál,
    és kisbetűket az oldalak hosszánál.
  • 1:03 - 1:07
    És akkor legyen az átfogó,
    az AB oldal hossza 'c'.
  • 1:08 - 1:10
    És vizsgáljuk meg, hogy fel tudunk-e írni
    valamilyen összefüggést
  • 1:10 - 1:13
    'a', 'b' és 'c' között.
  • 1:13 - 1:15
    Ehhez létre fogok hozni
  • 1:15 - 1:16
    egy másik szakaszt, vagy
    úgy is mondhatjuk, hogy
  • 1:16 - 1:20
    egy másik idomot
    a C és az átfogó között.
  • 1:20 - 1:22
    Úgy fogom csinálni,
  • 1:22 - 1:24
    hogy a metszés derékszögben legyen.
  • 1:24 - 1:25
    Ezt mindig megtehetjük.
  • 1:25 - 1:27
    Ezt a metszéspontot nevezzük D-nek.
  • 1:28 - 1:31
    És ha csodálkoznál azon, hogy vajon
    miért lehet ezt bármikor megtenni,
  • 1:31 - 1:34
    egyszerűen képzeld el, ahogy
    elforgatjuk ezt az egész háromszöget.
  • 1:34 - 1:36
    Ez most nem egy precíz bizonyítás,
  • 1:36 - 1:38
    de ad egy általános benyomást
  • 1:38 - 1:40
    arról, hogy ez a pont mindig
    létrehozható forgatással.
  • 1:41 - 1:45
    Most legyen itt vízszintesen az átfogónk,
  • 1:45 - 1:48
    ez itt a B csúcspont, ez meg az A csúcspont.
  • 1:48 - 1:51
    Körbeforgatjuk az egész dolgot.
  • 1:51 - 1:53
    Ez a C csúcspont,
    és azt el tudod képzelni,
  • 1:53 - 1:56
    hogy ledobunk egy madzagra
    kötött követ a C pontból,
  • 1:56 - 1:59
    és akkor az derékszögben fog leérkezni
    az átfogóra.
  • 1:59 - 2:03
    Ezt csináltuk tehát, amikor
    megalkottuk a CD szakaszt,
  • 2:03 - 2:06
    ahogy a D pontot képeztük.
  • 2:06 - 2:07
    És ezt azért tettük, mert így
  • 2:07 - 2:09
    mindenféle érdekes összefüggést
  • 2:09 - 2:10
    tudunk felírni hasonló háromszögek között.
  • 2:10 - 2:12
    Itt ugyanis három háromszögünk lesz,
  • 2:12 - 2:16
    ADC háromszög, DBC háromszög,
  • 2:16 - 2:18
    és persze az eredeti nagyobb háromszög.
  • 2:18 - 2:20
    És remélhetőleg találunk majd
  • 2:20 - 2:22
    hasonlóságokat ezek között
    a háromszögek között.
  • 2:22 - 2:28
    Először kimutatjuk, hogy az ADC
    hasonló a nagyobb háromszöghöz.
  • 2:28 - 2:30
    Mindkettőnek van egy derékszöge,
  • 2:30 - 2:32
    ADC-nek itt van a derékszöge,
  • 2:32 - 2:34
    hiszen ha ez itt 90°, akkor
    nyilván ez is 90° lesz,
  • 2:36 - 2:37
    mivel ezek kiegészítő szögei egymásnak,
  • 2:37 - 2:39
    együttesen 180°-ot kell kiadniuk.
  • 2:39 - 2:40
    Tehát mindkettőben van egy derékszög,
  • 2:40 - 2:42
    a kisebbikben is van egy derékszög,
  • 2:42 - 2:44
    a nagyobbikban pedig nyilván van,
  • 2:44 - 2:45
    hiszen ebből indultunk ki.
  • 2:45 - 2:49
    Ezenkívül mindkettőben
    szerepel ez a szög,
  • 2:49 - 2:52
    a DAC vagy BAC szög,
  • 2:52 - 2:54
    ahogy épp hivatkozunk rá.
  • 2:54 - 2:57
    Így tehát felírhatjuk a következőt:
  • 2:57 - 3:00
    a kisebbik ADC-vel kezdem,
  • 3:00 - 3:02
    be is satírozom,
  • 3:02 - 3:04
    hogy mutassam, erről a
    háromszögről van szó,
  • 3:04 - 3:05
    az ADC háromszögről.
  • 3:05 - 3:07
    Kiindultam a kék szögből és
    haladtam a derékszög felé,
  • 3:07 - 3:11
    majd a jelöletlen szög felé.
  • 3:11 - 3:14
    Ez a derékszög itt nem játszik szerepet,
  • 3:14 - 3:16
    ez a nagyobb háromszöghöz tartozik.
  • 3:16 - 3:25
    Tehát azt mondhatjuk,
    hogy az ADC háromszög hasonló
  • 3:25 - 3:27
    – és most megint a kék színű,
    A szögből indulunk,
  • 3:27 - 3:30
    ezután mentünk a derékszög felé,
  • 3:30 - 3:32
    tehát most is a derékszög következik,
  • 3:32 - 3:33
    ez az ACB.
  • 3:37 - 3:39
    És mivel ezek hasonlóak,
  • 3:39 - 3:42
    felírhatunk egy összefüggést az oldalaik
    arányai között.
  • 3:42 - 3:45
    Például ismerjük a megfelelő
    oldalaik aránya
  • 3:45 - 3:47
  • 3:47 - 3:49
  • 3:49 - 3:50
  • 3:50 - 3:54
  • 3:54 - 3:55
  • 3:55 - 3:57
  • 3:57 - 4:01
  • 4:01 - 4:10
  • 4:10 - 4:14
  • 4:14 - 4:17
  • 4:17 - 4:24
  • 4:24 - 4:26
  • 4:26 - 4:30
  • 4:30 - 4:31
  • 4:31 - 4:35
  • 4:35 - 4:38
  • 4:38 - 4:39
  • 4:39 - 4:41
  • 4:41 - 4:44
  • 4:44 - 4:47
  • 4:47 - 4:50
  • 4:50 - 4:52
  • 4:52 - 4:57
  • 4:57 - 4:59
  • 4:59 - 5:02
  • 5:02 - 5:07
  • 5:07 - 5:11
  • 5:11 - 5:17
  • 5:17 - 5:19
  • 5:19 - 5:21
  • 5:21 - 5:24
  • 5:24 - 5:27
  • 5:27 - 5:30
  • 5:30 - 5:34
  • 5:34 - 5:36
  • 5:36 - 5:39
  • 5:39 - 5:42
  • 5:42 - 5:44
  • 5:44 - 5:48
  • 5:48 - 5:51
  • 5:51 - 5:53
  • 5:53 - 5:55
  • 5:55 - 5:56
  • 5:56 - 5:58
  • 5:58 - 5:59
  • 5:59 - 6:01
  • 6:01 - 6:04
  • 6:04 - 6:07
  • 6:07 - 6:08
  • 6:08 - 6:11
  • 6:11 - 6:13
  • 6:13 - 6:20
  • 6:20 - 6:22
  • 6:22 - 6:23
  • 6:23 - 6:26
  • 6:26 - 6:26
  • 6:29 - 6:32
  • 6:32 - 6:35
  • 6:35 - 6:37
  • 6:37 - 6:38
  • 6:38 - 6:41
  • 6:41 - 6:45
  • 6:45 - 6:50
  • 6:50 - 6:53
  • 6:53 - 7:01
  • 7:01 - 7:03
  • 7:03 - 7:03
  • 7:03 - 7:05
  • 7:05 - 7:06
  • 7:06 - 7:07
  • 7:07 - 7:10
  • 7:10 - 7:13
  • 7:13 - 7:15
  • 7:15 - 7:18
  • 7:18 - 7:20
  • 7:20 - 7:23
  • 7:26 - 7:30
  • 7:30 - 7:31
  • 7:31 - 7:33
  • 7:33 - 7:38
  • 7:38 - 7:40
  • 7:40 - 7:43
  • 7:43 - 7:48
  • 7:48 - 7:50
  • 7:50 - 7:51
  • 7:51 - 7:53
  • 7:53 - 7:56
  • 7:56 - 7:58
  • 7:58 - 8:02
  • 8:02 - 8:09
  • 8:13 - 8:15
  • 8:15 - 8:16
  • 8:16 - 8:20
  • 8:20 - 8:23
  • 8:23 - 8:30
  • 8:30 - 8:31
  • 8:31 - 8:34
  • 8:34 - 8:37
  • 8:37 - 8:38
  • 8:38 - 8:41
  • 8:41 - 8:43
  • 8:43 - 8:46
  • 8:46 - 8:51
  • 8:51 - 8:53
  • 8:53 - 8:54
  • 8:54 - 8:59
  • 8:59 - 9:02
  • 9:02 - 9:07
  • 9:07 - 9:09
  • 9:09 - 9:11
  • 9:11 - 9:14
  • 9:14 - 9:17
  • 9:17 - 9:20
  • 9:20 - 9:23
  • 9:23 - 9:26
  • 9:26 - 9:27
  • 9:27 - 9:30
  • 9:30 - 9:32
  • 9:38 - 9:41
  • 9:41 - 9:44
  • 9:44 - 9:46
  • 9:46 - 9:46
  • 9:46 - 9:48
  • 9:48 - 9:49
  • 9:49 - 9:52
Title:
A Pitagorasz-tétel bizonyítása hasonlósággal | Pitagorasz-tétel | Geometria | Khan Academy
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:53

Hungarian subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.