A háromszög, amit itt látunk, derékszögű.
Azért derékszögű, mert van egy 90°-os szöge,
van benne egy derékszög.
Egy derékszögű háromszög leghosszabb oldalát,
ezt az oldalt, amit tehát
mondhatunk a derékszögű háromszög leghosszabb oldalának,
vagy a 90°-os szöggel szemközti oldalnak, ez az átfogó.
Meglehetősen különös ez az elnevezése nnek az egyszerű fogalomnak,
mint egy derékszögű háromszög leghosszabb oldala,
vagy a 90°-os szögével szmközti oldal.
Azért mégiscsak jó, ha ismerjük,
ha valaki hivatkozik az átfogóra.
Akkor mindjárt tudni fogjuk, hogy erre az oldalra gondol,
a leghosszabb oldalra, avagy a 90°-kal szemköztire.
Ebben a videóban
egy nagyon híres összefüggést szeretnék bizonyítani.
Talán már látod is,mire utalok,
egy igazán ismert összefüggésre,
amely egy derékszögű háromszög oldalai között áll fenn.
Legyen az AC oldal (nagy A és nagy C) hossza 'a',
a BC oldalé 'b'.
Nagybetűket fogok használni a csúcsoknál, és kisbetűket az oldalak hosszánál.
És akkor legyen az átfogó, az AB oldal hossza 'c'.
És vizsgáljuk meg, hogy fel tudunk-e írni valamilyen összefüggést
'a', 'b' és 'c' között.
Ehhez létre fogok hozni
egy másik szakaszt, vagy úgy is mondhatjuk, hogy
egy másik idomot a C és az átfogó között.
Úgy fogom csinálni,
hogy a metszés derékszögben legyen.
Ezt mindig megtehetjük.
Ezt a metszéspontot nevezzük D-nek.
És ha csodálkoznál azon, hogy vajon miért lehet ezt bármikor megtenni,
egyszerűen képzeld el, ahogy elforgatjuk ezt az egész háromszöget.
Ez most nem egy precíz bizonyítás,
de ad egy általános benyomást
arról, hogy ez a pont mindig létrehozható forgatással.
Most legyen itt vízszintesen az átfogónk,
ez itt a B csúcspont, ez meg az A csúcspont.
Körbeforgatjuk az egész dolgot.
Ez a C csúcspont, és azt el tudod képzelni,
hogy ledobunk egy madzagra kötött követ a C pontból,
és akkor az derékszögben fog leérkezni az átfogóra.
Ezt csináltuk tehát, amikor megalkottuk a CD szakaszt,
ahogy a D pontot képeztük.
És ezt azért tettük, mert így
mindenféle érdekes összefüggést
tudunk felírni hasonló háromszögek között.
Itt ugyanis három háromszögünk lesz,
ADC háromszög, DBC háromszög,
és persze az eredeti nagyobb háromszög.
És remélhetőleg találunk majd
hasonlóságokat ezek között a háromszögek között.
Először kimutatjuk, hogy az ADC hasonló a nagyobb háromszöghöz.
Mindkettőnek van egy derékszöge,
ADC-nek itt van a derékszöge,
hiszen ha ez itt 90°, akkor nyilván ez is 90° lesz,
mivel ezek kiegészítő szögei egymásnak,
együttesen 180°-ot kell kiadniuk.
Tehát mindkettőben van egy derékszög,
a kisebbikben is van egy derékszög,
a nagyobbikban pedig nyilván van,
hiszen ebből indultunk ki.
Ezenkívül mindkettőben szerepel ez a szög,
a DAC vagy BAC szög,
ahogy épp hivatkozunk rá.
Így tehát felírhatjuk a következőt:
a kisebbik ADC-vel kezdem,
be is satírozom,
hogy mutassam, erről a háromszögről van szó,
az ADC háromszögről.
Kiindultam a kék szögből és haladtam a derékszög felé,
majd a jelöletlen szög felé.
Ez a derékszög itt nem játszik szerepet,
ez a nagyobb háromszöghöz tartozik.
Tehát azt mondhatjuk, hogy az ADC háromszög hasonló
– és most megint a kék színű, A szögből indulunk,
ezután mentünk a derékszög felé,
tehát most is a derékszög következik,
ez az ACB.
És mivel ezek hasonlóak,
felírhatunk egy összefüggést az oldalaik arányai között.
Például ismerjük a megfelelő oldalaik aránya