-
.
-
Bu videoda fonksiyonlar ile ilgili birkaç örnek çözeceğiz.
-
-
-
Fonksiyonlar, birçok öğrenci için zor görünse de, ne yaptığımızı iyi anlarsanız sizin için çok kolay olacaktır.
-
-
-
-
-
-
-
Bazen bu kadar curcuna ne için diye düşünüyor olabilirsiniz.
-
-
-
Fonksiyonların bütün yaptığı iş iki farklı değişken arasında bir ilişki kurmaktır.
-
-
-
Eğer y değeri, x değerinin fonksiyonuna eşit dersek bunun anlamın bana bir x verdiğinizdir.
-
-
-
Bu fonksiyonun bir anlamda x'i yemek olduğunu hayal edebilirsiniz.
-
Yani bu fonksiyona herhangi bir x değeri koyuyorsunuz.
-
Bu fonksiyon ise belli birtakım kurallardan oluşuyor.
-
Sonuç olarak, bu fonksiyon x değerini aldıktan sonra bu değeri bir y değeri ile eşleştiriyor.
-
-
-
Bunu bir kutu olarak düşünebilirsiniz.
-
-
-
Bu bir fonksiyon.
-
Bir x sayısı verdiğim zaman, bana geriye bir y sayısı verecek.
-
-
-
Bu biraz soyut görünüyor olabilir.
-
Nedir bu x ve y değerleri?
-
Diyelim elimizde kuralı bu olan bir fonksiyon var:
-
-
-
-
-
Bana verdiğiniz her x için, x 0' a eşitse elimde 1 değeri olacak.
-
-
-
Eğer x, 1'e eşitse, elimde 2 olacak.
-
Farklı bir değerseyse de 3.
-
.
-
Böylece, kutunun içinde neler olup bittiğini tarif ettik.
-
Şimdi de, çevreleyen kutuyu çizelim.
-
Bu bizim kutumuz.
-
Bu bizim keyfimize kalmış bir fonksiyon tanımı
-
ama, umarız fonksiyonda neler olup bittiğini anlamanıza yardımcı olacak.
-
-
-
Eğer x için 7 değerini seçersem
-
x'in fonksiyonu kaça eşit olacak?
-
7'nin f'onksiyonu kaça eşit olacak?
-
7'yi kutunun içine alıyoruz.
-
Bunu bir çeşit bilgisayar gibi düşünebilirsiniz.
-
Bilgisayar ilk önce x'e ve daha sonra da kurallarına bakar.
-
Tamam, x 7'dir der.
-
x, 0 değildir. x, 1 değildir.
-
O zaman x diğerleri grubunda.
-
Ve, 3'ü seçiyorum.
-
Böylece 7'nin f'onksiyonu 3'e eşit olur.
-
Ve 7'nin f'onksiyonu 3'e eşittir diye yazarız.
-
f bu fonksiyonun ismi, ya da kurallar sistemi, ilişkilendirmesi, eşleştirmesi olarak adlandırılabilir.
-
-
-
-
-
7 verdiğiniz zaman, o size 3 verecek.
-
Yani fonksiyona 7 koyarsanız o size 3 verecek.
-
Peki fonksiyona 2 verirsek ne elde ederiz?
-
Bu x değerini 7'ye eştilemek yerine, 2'ye eşitlemek olacak.
-
-
-
Daha sonra fonksiyon içindeki küçük bilgisayar x değerinin 2 olduğunu görecek.
-
-
-
Ama hala x'in 0 ya da 1'e eşit olmadığı diğer durumdayım.
-
-
-
Yani fonksiyon bize tekrar 3 sonucunu verecek.
-
-
-
Sonuç olarak 2'nin f değeri, 3'e eşit olacak.
-
Peki x değeri 1' eşit ise ne olacak?
-
-
-
Bu da 1'in fonksiyonu olacak.
-
Kurallara tekrar bakalım.
-
Gördüğünüz gibi x 1'e eşit.
-
Kuralımızı burada kullanabiliriz.
-
X 1'e eşit olduğu zaman, 2 sonucunu üretiyordu fonksiyonumuz.
-
Yani f'in 1 değeri 2'ye eşit olacak.
-
-
-
Bir fonksiyonun basit çalışma süreci işte bu şekilde.
-
Bu basit örneği aklımızda tutarak birkaç örnek problem çözelim.
-
Bizden verilen fonksiyonları verilen noktalar için çözmemiz isteniyor.
-
Bu fonksiyonları da verilen farklı kutularla çözeceğiz.
-
-
-
-
-
İlk olarak a bölümünü yapalım. Buradaki fonksiyonun kutusu yani kuralı verilmiş bize.
-
x'in f'i, eksi 2x artı 3'e (-2x+3) eşit.
-
Fonksiyona yani f'e -3 değeri verdiğimiz zaman sonucun ne olacağını bulmamız gerekiyor.
-
f'in -3 olması bize x ile ne yapmamız gerektiğini söylüyor.
-
-
-
Bu fonksiyon ne üretecek?
-
Basit bir şekilde, x gördüğümüz yerlere -3 değerini yerleştireceğiz.
-
-
-
Bu şekilde yaparsam daha rahat görebileceksiniz.
-
Bu -3 değerini kalın bir şekilde yazacağım.
-
Yani -2 çarpı -3 artı 3 işlemini elde etmiş olacağız.
-
Dikkat ettiyseniz x gördüğüm yerlere -3 koydum.
-
Şimdi kutunun ne üreteceğiniz biliyorum.
-
Sonuç -2 çarpı -3 işlemi 6'ya eşit olacak ve 6 artı 3 işleminden de 9 elde edeceğiz.
-
-
-
Sonuç olarak f'in -3 olması durumu, 9'a eşit olacak.
-
Peki f'in 7 olursa neye eşit olacak?
-
Aynı şeyi bir daha yapalım.
-
7'yi sarı renkte yazalım.
-
f'in 7 değeri, -2 çarpı 7 artı 3'e eşit.
-
.
-
Bu da -14 artı 3 işlemine eşit olacak.
-
Sonucumuz ise -11.
-
Özetlemek gerekirse fonksiyona 7 koyarsak -11 sonucunu alacağız.
-
-
-
Bize verileni yapmış olduk.
-
Kural bunu yapmamız gerektiğini söylüyordu.
-
Bu ilk başta yaptığımızla aynı doğrultuda.
-
Fonksiyonumuzun kuralı bu.
-
Sıradaki iki tanesiyle devam edelim.
-
b bölümünü yapmayacağım.
-
Bu bölümü isterseniz daha sonra çözebilirsiniz.
-
Daha sonra c bölümünü çözeceğim.
-
Şimdi f'in 0 değeriyle devam edelim.
-
-
-
Sanırım şu ana kadar az çok anlamışsınızdır.
-
f'in 0 değeri için, x gördüğümüz her yere 0 yazacağız.
-
Yani -2 çarpı 0 artı 3 işlemini yapacağız.
-
-.
-
Bu işlem 0+3'e eşit olacak.
-
Böylece 0'ın f'i için 3 değerini elde edeceğiz.
-
Sonuncu f değerimiz ise z.
-
Burada daha soyut kalmamızı istemişler.
-
-
-
Elimizde f'in z değeri var.
-
z değerini farklı bir renkte yazalım.
-
-
-
Bu sefer x gördüğümüz her yere z yazacağız.
-
-
-
-2'nin yanına x yerine z yazacağız.
-
-
-
Turuncu bir z koyalım buraya.
-
-2 çarpı z artı 3 işlemini elde ettik.
-
Bu da bizim sonucumuz, z'nin f'i -2z+3' eşittir.
-
f fonksiyonunu bir kutu olarak düşünelim tekrar.
-
Bu kutuya biz z koyuyoruz ve sonuç olarak -2 tane z artı 3 buluyoruz.
-
-
-
Anlatılmak istenen şey de tamamen bu.
-
Biraz daha soyut fakat tamamen aynı yöntem.
-
Şimdi c bölümünü yapalım.
-
Buraları biraz temizleyelim de yer açılsın.
-
-
-
-
-
-
-
Şimdi c bölümünü yapabiliriz.
-
b bölümünü atlıyorum.
-
Onu daha sonra kendiniz çözebilirsiniz.
-
-
-
-
-
-
-
Bu bizim fonksiyonumuzun kuralı:
-
f'in x değeri, 5.(2-x)/11'e eşit olacak.
-
Şimdi bu farklı değerleri f fonksiyonuna yerleştirelim.
-
-
-
Yani f'in -3 değeri 5. [2-(-3)]/11 olacak.
-
x gördüğümüz yerlere daha önce de yaptığımız gibi -3 yerleştireceğiz.
-
-
-
Parantezin içerisi 2 artı 3'e, yani 5'e eşit olacak.
-
-
-
Yani yapmamız gereken işlem 5 çarpı 5 bölü 11 oluyor.
-
Bu da 25 bölü 11'e eşit olacak.
-
Şimdi 7'nin f değerini yapalım.
-
-
-
Bu ikinci fonksiyon, 5.(2-7)/11'e eşit olacak.
-
-
-
-
-
Peki bu neye eşit olacak?
-
2-7, -5'e eşit.
-
Daha sonra ise 5.(-5)/11 işleminden -25 bölü 11 elde ediyoruz.
-
İki tane daha var. Şimdi f'in 0 olduğu fonksiyonu yapalım.
-
Bu da 5.(2-0)/11'e eşit olacak.
-
2-0, 2'ye eşit olduğu için işlemimizin payı 5 çarpı 2'den 10 olacak.
-
Buradan da 10 bölü 11 sonucunu bulacağız.
-
Son bir tane kaldı.
-
f'in z için değeri.
-
x gördüğümüz her yere z yazacağız.
-
-
-
Bu da 5.(2-z)/11'e eşit olacak.
-
Bu aradığımız cevap.
-
5'i parantezin içerisinde dağıtabiliriz.
-
Bu da (10-5z)/11' eşit olacak ki bir önceki hali ile aynı sonuca eşit.
-
Bunu hatta eğim-kesim noktası formu ile bile yazabiliriz.
-
Bu da (-5z/11) + (10/11)'e eşit olacaktır.
-
Bunların hepsi birbirine eşit olacaktır.
-
Bunlar z'nin f değerine eşit olanlar.
-
Şimdi.
-
Dediğimiz gibi bir fonksiyona herhangi bir x değeri verirsek bize bir sonuç verecektir.
-
-
-
Size bir x fonksiyonu vereceğim.
-
Bu bizim fonksiyonumuz, bir x verdiğinizde x için bir f değeri üretir.
-
-
-
Bir x değeri için bize sadece bir tane f(x) değeri üretebilir.
-
Bir fonksiyon bir x için iki farklı f(x) değeri üretemez.
-
-
-
Mesela x'e 0 verdiğiniz zaman hem 3 hem de 4 değerlerini üreten bir fonksiyon olamaz.
-
Bu fonksiyon tanımına ters düşmektedir.
-
-
-
-
-
Çünkü bu durumda f'in 0 değerinin neye eşit olacağını bilemeyiz.
-
f(0) neye eşit olabilir ki?
-
Kurallar bize bunun 3 ama aynı zamanda da 4 olduğunu söylüyor.
-
Bunu bilemeyiz.
-
-
-
-
-
Bu her ne kadar bir fonksiyon gibi gözükse de değildir.
-
-
-
-
-
Sonuç olarak bir x değeri için iki farklı f(x) değerine sahip olamazsınız.
-
Şimdi bu grafiklerin hangilerinin birer fonksiyon olduğuna bakalım.
-
Bunu anlamak için herhangi bir x değeri seçin.
-
Bu x değeri için sadece bir f(x) yani y değeri olmalıdır.
-
Bu y=f(x) grafiği.
-
Bu x değeri için sadece bir y noktamız var.
-
-
-
Bunu anlamak için dikey çizgi testini uygulayabilirsiniz.
-
Her bir dikey çizgi bir x değerini temsil edecektir.
-
-
-
Çizginin üstünde sadece bir y değeriniz olması, çizginin sadece bir kere kesilmesi anlamına geliyor.
-
Yani bu geçerli bir fonksiyon.
-
Dikey bir çizgi çizdiğiniz zaman grafiği sadece bir kere kesecektir.
-
-
-
Yani bu geçerli bir fonksiyon.
-
Peki buna bakalım, bu geçerli mi?
-
Tam bu noktaya dikey bir çizgi çizelim.
-
-
-
Bu x değeri için iki farklı y değerimiz olacaktır.
-
-
-
f(x) bu değer de olabilir öbür değer de.
-
Değil mi?
-
Grafik ile iki kere kesişiyoruz.
-
Yani bu bir fonksiyon değil.
-
Burada tam olarak anlattığım şeyi yaptık.
-
Belli bir x değeri için iki farklı y değerinden bahsedebiliyoruz..
-
-
-
Yani bu bir fonksiyon değil.
-
Burada da aynı şey söz konusu.
-
Buraya dikey bir çizgi çekin.
-
Grafiği iki kere kesiyoruz.
-
Yani bu da bir fonksiyon değil.
-
Bir x değeri için iki farklı y değeri verebiliyoruz.
-
Şimdi bu grafiğe geçelim.
-
Bu biraz garip görünüşlü bir fonksiyon.
-
Bir tik gibi gözüküyor.
-
Ama ne zaman dikey bir çizgi çekseniz grafiği sadece bir kere kesiyoruz.
-
-
-
Yani bu geçerli bir fonksiyon.
-
Her bir x değeri için sadece bir y değerimiz var.
-
-
-
Umarım bu işinize yaramıştır.
Khan Academy
