WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:01.000 . 00:00:00.000 --> 00:00:02.460 Bu videoda fonksiyonlar ile ilgili birkaç örnek çözeceğiz. 00:00:02.460 --> 00:00:03.800 - 00:00:03.800 --> 00:00:06.570 Fonksiyonlar, birçok öğrenci için zor görünse de, ne yaptığımızı iyi anlarsanız sizin için çok kolay olacaktır. 00:00:06.570 --> 00:00:09.230 - 00:00:09.230 --> 00:00:11.070 - 00:00:11.070 --> 00:00:12.240 - 00:00:12.240 --> 00:00:13.710 Bazen bu kadar curcuna ne için diye düşünüyor olabilirsiniz. 00:00:13.710 --> 00:00:14.880 - 00:00:14.880 --> 00:00:16.720 Fonksiyonların bütün yaptığı iş iki farklı değişken arasında bir ilişki kurmaktır. 00:00:16.720 --> 00:00:19.830 - 00:00:19.830 --> 00:00:25.540 Eğer y değeri, x değerinin fonksiyonuna eşit dersek bunun anlamın bana bir x verdiğinizdir. 00:00:25.540 --> 00:00:28.260 - 00:00:28.260 --> 00:00:31.660 Bu fonksiyonun bir anlamda x'i yemek olduğunu hayal edebilirsiniz. 00:00:31.660 --> 00:00:34.190 Yani bu fonksiyona herhangi bir x değeri koyuyorsunuz. 00:00:34.190 --> 00:00:36.480 Bu fonksiyon ise belli birtakım kurallardan oluşuyor. 00:00:36.480 --> 00:00:39.150 Sonuç olarak, bu fonksiyon x değerini aldıktan sonra bu değeri bir y değeri ile eşleştiriyor. 00:00:39.150 --> 00:00:41.230 - 00:00:41.230 --> 00:00:42.945 Bunu bir kutu olarak düşünebilirsiniz. 00:00:42.945 --> 00:00:45.900 - 00:00:45.900 --> 00:00:47.990 Bu bir fonksiyon. 00:00:47.990 --> 00:00:53.830 Bir x sayısı verdiğim zaman, bana geriye bir y sayısı verecek. 00:00:53.830 --> 00:00:56.990 - 00:00:56.990 --> 00:00:58.160 Bu biraz soyut görünüyor olabilir. 00:00:58.160 --> 00:00:59.360 Nedir bu x ve y değerleri? 00:00:59.360 --> 00:01:02.830 Diyelim elimizde kuralı bu olan bir fonksiyon var: 00:01:02.830 --> 00:01:04.190 - 00:01:04.190 --> 00:01:05.720 - 00:01:05.720 --> 00:01:11.770 Bana verdiğiniz her x için, x 0' a eşitse elimde 1 değeri olacak. 00:01:11.770 --> 00:01:14.440 - 00:01:14.440 --> 00:01:18.730 Eğer x, 1'e eşitse, elimde 2 olacak. 00:01:18.730 --> 00:01:21.320 Farklı bir değerseyse de 3. 00:01:21.320 --> 00:01:24.790 . 00:01:24.790 --> 00:01:28.720 Böylece, kutunun içinde neler olup bittiğini tarif ettik. 00:01:28.720 --> 00:01:31.630 Şimdi de, çevreleyen kutuyu çizelim. 00:01:31.630 --> 00:01:33.650 Bu bizim kutumuz. 00:01:33.650 --> 00:01:35.940 Bu bizim keyfimize kalmış bir fonksiyon tanımı 00:01:35.940 --> 00:01:37.760 ama, umarız fonksiyonda neler olup bittiğini anlamanıza yardımcı olacak. 00:01:37.760 --> 00:01:40.070 - 00:01:40.070 --> 00:01:47.500 Eğer x için 7 değerini seçersem 00:01:47.500 --> 00:01:52.480 x'in fonksiyonu kaça eşit olacak? 00:01:52.480 --> 00:01:56.400 7'nin f'onksiyonu kaça eşit olacak? 00:01:56.400 --> 00:01:58.020 7'yi kutunun içine alıyoruz. 00:01:58.020 --> 00:01:59.700 Bunu bir çeşit bilgisayar gibi düşünebilirsiniz. 00:01:59.700 --> 00:02:02.770 Bilgisayar ilk önce x'e ve daha sonra da kurallarına bakar. 00:02:02.770 --> 00:02:04.060 Tamam, x 7'dir der. 00:02:04.060 --> 00:02:06.270 x, 0 değildir. x, 1 değildir. 00:02:06.270 --> 00:02:08.229 O zaman x diğerleri grubunda. 00:02:08.229 --> 00:02:10.100 Ve, 3'ü seçiyorum. 00:02:10.100 --> 00:02:12.040 Böylece 7'nin f'onksiyonu 3'e eşit olur. 00:02:12.040 --> 00:02:15.320 Ve 7'nin f'onksiyonu 3'e eşittir diye yazarız. 00:02:15.320 --> 00:02:18.760 f bu fonksiyonun ismi, ya da kurallar sistemi, ilişkilendirmesi, eşleştirmesi olarak adlandırılabilir. 00:02:18.760 --> 00:02:21.310 - 00:02:21.310 --> 00:02:22.190 - 00:02:22.190 --> 00:02:24.350 7 verdiğiniz zaman, o size 3 verecek. 00:02:24.350 --> 00:02:27.460 Yani fonksiyona 7 koyarsanız o size 3 verecek. 00:02:27.460 --> 00:02:31.240 Peki fonksiyona 2 verirsek ne elde ederiz? 00:02:31.240 --> 00:02:34.690 Bu x değerini 7'ye eştilemek yerine, 2'ye eşitlemek olacak. 00:02:34.690 --> 00:02:36.420 - 00:02:36.420 --> 00:02:38.550 Daha sonra fonksiyon içindeki küçük bilgisayar x değerinin 2 olduğunu görecek. 00:02:38.550 --> 00:02:42.550 - 00:02:42.550 --> 00:02:44.410 Ama hala x'in 0 ya da 1'e eşit olmadığı diğer durumdayım. 00:02:44.410 --> 00:02:45.910 - 00:02:45.910 --> 00:02:50.800 Yani fonksiyon bize tekrar 3 sonucunu verecek. 00:02:50.800 --> 00:02:53.470 - 00:02:53.470 --> 00:02:56.970 Sonuç olarak 2'nin f değeri, 3'e eşit olacak. 00:02:56.970 --> 00:03:03.200 Peki x değeri 1' eşit ise ne olacak? 00:03:03.200 --> 00:03:05.100 - 00:03:05.100 --> 00:03:07.990 Bu da 1'in fonksiyonu olacak. 00:03:07.990 --> 00:03:10.080 Kurallara tekrar bakalım. 00:03:10.080 --> 00:03:11.620 Gördüğünüz gibi x 1'e eşit. 00:03:11.620 --> 00:03:13.350 Kuralımızı burada kullanabiliriz. 00:03:13.350 --> 00:03:15.520 X 1'e eşit olduğu zaman, 2 sonucunu üretiyordu fonksiyonumuz. 00:03:15.520 --> 00:03:18.750 Yani f'in 1 değeri 2'ye eşit olacak. 00:03:18.750 --> 00:03:22.290 - 00:03:22.290 --> 00:03:24.420 Bir fonksiyonun basit çalışma süreci işte bu şekilde. 00:03:24.420 --> 00:03:29.120 Bu basit örneği aklımızda tutarak birkaç örnek problem çözelim. 00:03:29.120 --> 00:03:31.620 Bizden verilen fonksiyonları verilen noktalar için çözmemiz isteniyor. 00:03:31.620 --> 00:03:35.010 Bu fonksiyonları da verilen farklı kutularla çözeceğiz. 00:03:35.010 --> 00:03:37.570 - 00:03:37.570 --> 00:03:39.070 - 00:03:39.070 --> 00:03:42.800 İlk olarak a bölümünü yapalım. Buradaki fonksiyonun kutusu yani kuralı verilmiş bize. 00:03:42.800 --> 00:03:47.880 x'in f'i, eksi 2x artı 3'e (-2x+3) eşit. 00:03:47.880 --> 00:03:51.790 Fonksiyona yani f'e -3 değeri verdiğimiz zaman sonucun ne olacağını bulmamız gerekiyor. 00:03:51.790 --> 00:03:54.300 f'in -3 olması bize x ile ne yapmamız gerektiğini söylüyor. 00:03:54.300 --> 00:03:55.430 - 00:03:55.430 --> 00:03:57.110 Bu fonksiyon ne üretecek? 00:03:57.110 --> 00:04:00.060 Basit bir şekilde, x gördüğümüz yerlere -3 değerini yerleştireceğiz. 00:04:00.060 --> 00:04:02.060 - 00:04:02.060 --> 00:04:04.780 Bu şekilde yaparsam daha rahat görebileceksiniz. 00:04:04.780 --> 00:04:06.520 Bu -3 değerini kalın bir şekilde yazacağım. 00:04:06.520 --> 00:04:13.130 Yani -2 çarpı -3 artı 3 işlemini elde etmiş olacağız. 00:04:13.130 --> 00:04:16.149 Dikkat ettiyseniz x gördüğüm yerlere -3 koydum. 00:04:16.149 --> 00:04:19.250 Şimdi kutunun ne üreteceğiniz biliyorum. 00:04:19.250 --> 00:04:21.600 Sonuç -2 çarpı -3 işlemi 6'ya eşit olacak ve 6 artı 3 işleminden de 9 elde edeceğiz. 00:04:21.600 --> 00:04:25.640 - 00:04:25.640 --> 00:04:29.470 Sonuç olarak f'in -3 olması durumu, 9'a eşit olacak. 00:04:29.470 --> 00:04:32.130 Peki f'in 7 olursa neye eşit olacak? 00:04:32.130 --> 00:04:36.340 Aynı şeyi bir daha yapalım. 00:04:36.340 --> 00:04:43.120 7'yi sarı renkte yazalım. 00:04:43.120 --> 00:04:47.650 f'in 7 değeri, -2 çarpı 7 artı 3'e eşit. 00:04:47.650 --> 00:04:50.480 . 00:04:50.480 --> 00:04:55.140 Bu da -14 artı 3 işlemine eşit olacak. 00:04:55.140 --> 00:04:57.260 Sonucumuz ise -11. 00:04:57.260 --> 00:05:03.940 Özetlemek gerekirse fonksiyona 7 koyarsak -11 sonucunu alacağız. 00:05:03.940 --> 00:05:11.060 - 00:05:11.060 --> 00:05:13.310 Bize verileni yapmış olduk. 00:05:13.310 --> 00:05:14.760 Kural bunu yapmamız gerektiğini söylüyordu. 00:05:14.760 --> 00:05:18.470 Bu ilk başta yaptığımızla aynı doğrultuda. 00:05:18.470 --> 00:05:20.980 Fonksiyonumuzun kuralı bu. 00:05:20.980 --> 00:05:24.430 Sıradaki iki tanesiyle devam edelim. 00:05:24.430 --> 00:05:25.200 b bölümünü yapmayacağım. 00:05:25.200 --> 00:05:26.330 Bu bölümü isterseniz daha sonra çözebilirsiniz. 00:05:26.330 --> 00:05:29.650 Daha sonra c bölümünü çözeceğim. 00:05:29.650 --> 00:05:32.540 Şimdi f'in 0 değeriyle devam edelim. 00:05:32.540 --> 00:05:33.810 - 00:05:33.810 --> 00:05:35.300 Sanırım şu ana kadar az çok anlamışsınızdır. 00:05:35.300 --> 00:05:37.500 f'in 0 değeri için, x gördüğümüz her yere 0 yazacağız. 00:05:37.500 --> 00:05:40.005 Yani -2 çarpı 0 artı 3 işlemini yapacağız. 00:05:40.005 --> 00:05:43.100 -. 00:05:43.100 --> 00:05:44.345 Bu işlem 0+3'e eşit olacak. 00:05:44.345 --> 00:05:47.300 Böylece 0'ın f'i için 3 değerini elde edeceğiz. 00:05:47.300 --> 00:05:49.000 Sonuncu f değerimiz ise z. 00:05:49.000 --> 00:05:51.720 Burada daha soyut kalmamızı istemişler. 00:05:51.720 --> 00:05:52.780 - 00:05:52.780 --> 00:05:55.800 Elimizde f'in z değeri var. 00:05:55.800 --> 00:05:59.150 z değerini farklı bir renkte yazalım. 00:05:59.150 --> 00:06:00.900 - 00:06:00.900 --> 00:06:06.210 Bu sefer x gördüğümüz her yere z yazacağız. 00:06:06.210 --> 00:06:07.750 - 00:06:07.750 --> 00:06:09.240 -2'nin yanına x yerine z yazacağız. 00:06:09.240 --> 00:06:12.040 - 00:06:12.040 --> 00:06:13.860 Turuncu bir z koyalım buraya. 00:06:13.860 --> 00:06:19.760 -2 çarpı z artı 3 işlemini elde ettik. 00:06:19.760 --> 00:06:24.330 Bu da bizim sonucumuz, z'nin f'i -2z+3' eşittir. 00:06:24.330 --> 00:06:28.110 f fonksiyonunu bir kutu olarak düşünelim tekrar. 00:06:28.110 --> 00:06:38.130 Bu kutuya biz z koyuyoruz ve sonuç olarak -2 tane z artı 3 buluyoruz. 00:06:38.130 --> 00:06:43.480 - 00:06:43.480 --> 00:06:44.520 Anlatılmak istenen şey de tamamen bu. 00:06:44.520 --> 00:06:47.830 Biraz daha soyut fakat tamamen aynı yöntem. 00:06:47.830 --> 00:06:52.030 Şimdi c bölümünü yapalım. 00:06:52.030 --> 00:06:53.330 Buraları biraz temizleyelim de yer açılsın. 00:06:53.330 --> 00:06:55.820 - 00:06:55.820 --> 00:06:59.102 - 00:06:59.102 --> 00:07:02.910 - 00:07:02.910 --> 00:07:03.810 Şimdi c bölümünü yapabiliriz. 00:07:03.810 --> 00:07:05.370 b bölümünü atlıyorum. 00:07:05.370 --> 00:07:07.710 Onu daha sonra kendiniz çözebilirsiniz. 00:07:07.710 --> 00:07:10.830 - 00:07:10.830 --> 00:07:13.430 - 00:07:13.430 --> 00:07:16.680 - 00:07:16.680 --> 00:07:18.610 Bu bizim fonksiyonumuzun kuralı: 00:07:18.610 --> 00:07:26.300 f'in x değeri, 5.(2-x)/11'e eşit olacak. 00:07:26.300 --> 00:07:29.440 Şimdi bu farklı değerleri f fonksiyonuna yerleştirelim. 00:07:29.440 --> 00:07:32.620 - 00:07:32.620 --> 00:07:39.900 Yani f'in -3 değeri 5. [2-(-3)]/11 olacak. 00:07:39.900 --> 00:07:42.250 x gördüğümüz yerlere daha önce de yaptığımız gibi -3 yerleştireceğiz. 00:07:42.250 --> 00:07:45.620 - 00:07:45.620 --> 00:07:48.700 Parantezin içerisi 2 artı 3'e, yani 5'e eşit olacak. 00:07:48.700 --> 00:07:50.870 - 00:07:50.870 --> 00:07:53.260 Yani yapmamız gereken işlem 5 çarpı 5 bölü 11 oluyor. 00:07:53.260 --> 00:07:57.120 Bu da 25 bölü 11'e eşit olacak. 00:07:57.120 --> 00:07:57.850 Şimdi 7'nin f değerini yapalım. 00:07:57.850 --> 00:07:59.990 - 00:07:59.990 --> 00:08:06.680 Bu ikinci fonksiyon, 5.(2-7)/11'e eşit olacak. 00:08:06.680 --> 00:08:11.160 - 00:08:11.160 --> 00:08:14.360 - 00:08:14.360 --> 00:08:15.540 Peki bu neye eşit olacak? 00:08:15.540 --> 00:08:18.250 2-7, -5'e eşit. 00:08:18.250 --> 00:08:23.780 Daha sonra ise 5.(-5)/11 işleminden -25 bölü 11 elde ediyoruz. 00:08:23.780 --> 00:08:27.410 İki tane daha var. Şimdi f'in 0 olduğu fonksiyonu yapalım. 00:08:27.410 --> 00:08:35.000 Bu da 5.(2-0)/11'e eşit olacak. 00:08:35.000 --> 00:08:36.130 2-0, 2'ye eşit olduğu için işlemimizin payı 5 çarpı 2'den 10 olacak. 00:08:36.130 --> 00:08:38.850 Buradan da 10 bölü 11 sonucunu bulacağız. 00:08:38.850 --> 00:08:39.840 Son bir tane kaldı. 00:08:39.840 --> 00:08:42.059 f'in z için değeri. 00:08:42.059 --> 00:08:43.299 x gördüğümüz her yere z yazacağız. 00:08:43.299 --> 00:08:44.490 - 00:08:44.490 --> 00:08:49.960 Bu da 5.(2-z)/11'e eşit olacak. 00:08:49.960 --> 00:08:50.630 Bu aradığımız cevap. 00:08:50.630 --> 00:08:51.910 5'i parantezin içerisinde dağıtabiliriz. 00:08:51.910 --> 00:08:57.210 Bu da (10-5z)/11' eşit olacak ki bir önceki hali ile aynı sonuca eşit. 00:08:57.210 --> 00:09:00.260 Bunu hatta eğim-kesim noktası formu ile bile yazabiliriz. 00:09:00.260 --> 00:09:06.000 Bu da (-5z/11) + (10/11)'e eşit olacaktır. 00:09:06.000 --> 00:09:06.990 Bunların hepsi birbirine eşit olacaktır. 00:09:06.990 --> 00:09:10.430 Bunlar z'nin f değerine eşit olanlar. 00:09:10.430 --> 00:09:11.590 Şimdi. 00:09:11.590 --> 00:09:15.510 Dediğimiz gibi bir fonksiyona herhangi bir x değeri verirsek bize bir sonuç verecektir. 00:09:15.510 --> 00:09:16.470 - 00:09:16.470 --> 00:09:19.120 Size bir x fonksiyonu vereceğim. 00:09:19.120 --> 00:09:23.040 Bu bizim fonksiyonumuz, bir x verdiğinizde x için bir f değeri üretir. 00:09:23.040 --> 00:09:26.550 - 00:09:26.550 --> 00:09:29.680 Bir x değeri için bize sadece bir tane f(x) değeri üretebilir. 00:09:29.680 --> 00:09:32.840 Bir fonksiyon bir x için iki farklı f(x) değeri üretemez. 00:09:32.840 --> 00:09:34.700 - 00:09:34.700 --> 00:09:37.540 Mesela x'e 0 verdiğiniz zaman hem 3 hem de 4 değerlerini üreten bir fonksiyon olamaz. 00:09:37.540 --> 00:09:42.790 Bu fonksiyon tanımına ters düşmektedir. 00:09:42.790 --> 00:09:45.230 - 00:09:45.230 --> 00:09:49.240 - 00:09:49.240 --> 00:09:53.170 Çünkü bu durumda f'in 0 değerinin neye eşit olacağını bilemeyiz. 00:09:53.170 --> 00:09:54.090 f(0) neye eşit olabilir ki? 00:09:54.090 --> 00:09:56.330 Kurallar bize bunun 3 ama aynı zamanda da 4 olduğunu söylüyor. 00:09:56.330 --> 00:09:57.310 Bunu bilemeyiz. 00:09:57.310 --> 00:09:57.830 - 00:09:57.830 --> 00:09:58.190 - 00:09:58.190 --> 00:10:01.550 Bu her ne kadar bir fonksiyon gibi gözükse de değildir. 00:10:01.550 --> 00:10:02.800 - 00:10:02.800 --> 00:10:07.700 - 00:10:07.700 --> 00:10:12.250 Sonuç olarak bir x değeri için iki farklı f(x) değerine sahip olamazsınız. 00:10:12.250 --> 00:10:16.020 Şimdi bu grafiklerin hangilerinin birer fonksiyon olduğuna bakalım. 00:10:16.020 --> 00:10:18.390 Bunu anlamak için herhangi bir x değeri seçin. 00:10:18.390 --> 00:10:21.850 Bu x değeri için sadece bir f(x) yani y değeri olmalıdır. 00:10:21.850 --> 00:10:25.090 Bu y=f(x) grafiği. 00:10:25.090 --> 00:10:28.950 Bu x değeri için sadece bir y noktamız var. 00:10:28.950 --> 00:10:30.550 - 00:10:30.550 --> 00:10:32.970 Bunu anlamak için dikey çizgi testini uygulayabilirsiniz. 00:10:32.970 --> 00:10:35.720 Her bir dikey çizgi bir x değerini temsil edecektir. 00:10:35.720 --> 00:10:37.570 - 00:10:37.570 --> 00:10:41.920 Çizginin üstünde sadece bir y değeriniz olması, çizginin sadece bir kere kesilmesi anlamına geliyor. 00:10:41.920 --> 00:10:43.630 Yani bu geçerli bir fonksiyon. 00:10:43.630 --> 00:10:46.240 Dikey bir çizgi çizdiğiniz zaman grafiği sadece bir kere kesecektir. 00:10:46.240 --> 00:10:47.610 - 00:10:47.610 --> 00:10:50.410 Yani bu geçerli bir fonksiyon. 00:10:50.410 --> 00:10:52.220 Peki buna bakalım, bu geçerli mi? 00:10:52.220 --> 00:10:53.960 Tam bu noktaya dikey bir çizgi çizelim. 00:10:53.960 --> 00:10:55.230 - 00:10:55.230 --> 00:10:58.650 Bu x değeri için iki farklı y değerimiz olacaktır. 00:10:58.650 --> 00:11:00.860 - 00:11:00.860 --> 00:11:04.550 f(x) bu değer de olabilir öbür değer de. 00:11:04.550 --> 00:11:05.270 Değil mi? 00:11:05.270 --> 00:11:07.520 Grafik ile iki kere kesişiyoruz. 00:11:07.520 --> 00:11:08.840 Yani bu bir fonksiyon değil. 00:11:08.840 --> 00:11:11.150 Burada tam olarak anlattığım şeyi yaptık. 00:11:11.150 --> 00:11:15.090 Belli bir x değeri için iki farklı y değerinden bahsedebiliyoruz.. 00:11:15.090 --> 00:11:16.800 - 00:11:16.800 --> 00:11:19.220 Yani bu bir fonksiyon değil. 00:11:19.220 --> 00:11:20.830 Burada da aynı şey söz konusu. 00:11:20.830 --> 00:11:22.310 Buraya dikey bir çizgi çekin. 00:11:22.310 --> 00:11:24.540 Grafiği iki kere kesiyoruz. 00:11:24.540 --> 00:11:26.000 Yani bu da bir fonksiyon değil. 00:11:26.000 --> 00:11:30.590 Bir x değeri için iki farklı y değeri verebiliyoruz. 00:11:30.590 --> 00:11:31.490 Şimdi bu grafiğe geçelim. 00:11:31.490 --> 00:11:33.160 Bu biraz garip görünüşlü bir fonksiyon. 00:11:33.160 --> 00:11:34.750 Bir tik gibi gözüküyor. 00:11:34.750 --> 00:11:37.020 Ama ne zaman dikey bir çizgi çekseniz grafiği sadece bir kere kesiyoruz. 00:11:37.020 --> 00:11:38.720 - 00:11:38.720 --> 00:11:40.420 Yani bu geçerli bir fonksiyon. 00:11:40.420 --> 00:11:43.470 Her bir x değeri için sadece bir y değerimiz var. 00:11:43.470 --> 00:11:46.450 - 00:11:46.450 --> 00:11:48.960 Umarım bu işinize yaramıştır.