.
Bu videoda fonksiyonlar ile ilgili birkaç örnek çözeceğiz.
-
Fonksiyonlar, birçok öğrenci için zor görünse de, ne yaptığımızı iyi anlarsanız sizin için çok kolay olacaktır.
-
Bazen bu kadar curcuna ne için diye düşünüyor olabilirsiniz.
-
Fonksiyonların bütün yaptığı iş iki farklı değişken arasında bir ilişki kurmaktır.
-
Eğer y değeri, x değerinin fonksiyonuna eşit dersek bunun anlamın bana bir x verdiğinizdir.
-
Bu fonksiyonun bir anlamda x'i yemek olduğunu hayal edebilirsiniz.
Yani bu fonksiyona herhangi bir x değeri koyuyorsunuz.
Bu fonksiyon ise belli birtakım kurallardan oluşuyor.
Sonuç olarak, bu fonksiyon x değerini aldıktan sonra bu değeri bir y değeri ile eşleştiriyor.
-
Bunu bir kutu olarak düşünebilirsiniz.
-
Bu bir fonksiyon.
Bir x sayısı verdiğim zaman, bana geriye bir y sayısı verecek.
-
Bu biraz soyut görünüyor olabilir.
Nedir bu x ve y değerleri?
Diyelim elimizde kuralı bu olan bir fonksiyon var:
-
Bana verdiğiniz her x için, x 0' a eşitse elimde 1 değeri olacak.
-
Eğer x, 1'e eşitse, elimde 2 olacak.
Farklı bir değerseyse de 3.
.
Böylece, kutunun içinde neler olup bittiğini tarif ettik.
Şimdi de, çevreleyen kutuyu çizelim.
Bu bizim kutumuz.
Bu bizim keyfimize kalmış bir fonksiyon tanımı
ama, umarız fonksiyonda neler olup bittiğini anlamanıza yardımcı olacak.
-
Eğer x için 7 değerini seçersem
x'in fonksiyonu kaça eşit olacak?
7'nin f'onksiyonu kaça eşit olacak?
7'yi kutunun içine alıyoruz.
Bunu bir çeşit bilgisayar gibi düşünebilirsiniz.
Bilgisayar ilk önce x'e ve daha sonra da kurallarına bakar.
Tamam, x 7'dir der.
x, 0 değildir. x, 1 değildir.
O zaman x diğerleri grubunda.
Ve, 3'ü seçiyorum.
Böylece 7'nin f'onksiyonu 3'e eşit olur.
Ve 7'nin f'onksiyonu 3'e eşittir diye yazarız.
f bu fonksiyonun ismi, ya da kurallar sistemi, ilişkilendirmesi, eşleştirmesi olarak adlandırılabilir.
-
7 verdiğiniz zaman, o size 3 verecek.
Yani fonksiyona 7 koyarsanız o size 3 verecek.
Peki fonksiyona 2 verirsek ne elde ederiz?
Bu x değerini 7'ye eştilemek yerine, 2'ye eşitlemek olacak.
-
Daha sonra fonksiyon içindeki küçük bilgisayar x değerinin 2 olduğunu görecek.
-
Ama hala x'in 0 ya da 1'e eşit olmadığı diğer durumdayım.
-
Yani fonksiyon bize tekrar 3 sonucunu verecek.
-
Sonuç olarak 2'nin f değeri, 3'e eşit olacak.
Peki x değeri 1' eşit ise ne olacak?
-
Bu da 1'in fonksiyonu olacak.
Kurallara tekrar bakalım.
Gördüğünüz gibi x 1'e eşit.
Kuralımızı burada kullanabiliriz.
X 1'e eşit olduğu zaman, 2 sonucunu üretiyordu fonksiyonumuz.
Yani f'in 1 değeri 2'ye eşit olacak.
-
Bir fonksiyonun basit çalışma süreci işte bu şekilde.
Bu basit örneği aklımızda tutarak birkaç örnek problem çözelim.
Bizden verilen fonksiyonları verilen noktalar için çözmemiz isteniyor.
Bu fonksiyonları da verilen farklı kutularla çözeceğiz.
-
İlk olarak a bölümünü yapalım. Buradaki fonksiyonun kutusu yani kuralı verilmiş bize.
x'in f'i, eksi 2x artı 3'e (-2x+3) eşit.
Fonksiyona yani f'e -3 değeri verdiğimiz zaman sonucun ne olacağını bulmamız gerekiyor.
f'in -3 olması bize x ile ne yapmamız gerektiğini söylüyor.
-
Bu fonksiyon ne üretecek?
Basit bir şekilde, x gördüğümüz yerlere -3 değerini yerleştireceğiz.
-
Bu şekilde yaparsam daha rahat görebileceksiniz.
Bu -3 değerini kalın bir şekilde yazacağım.
Yani -2 çarpı -3 artı 3 işlemini elde etmiş olacağız.
Dikkat ettiyseniz x gördüğüm yerlere -3 koydum.
Şimdi kutunun ne üreteceğiniz biliyorum.
Sonuç -2 çarpı -3 işlemi 6'ya eşit olacak ve 6 artı 3 işleminden de 9 elde edeceğiz.
-
Sonuç olarak f'in -3 olması durumu, 9'a eşit olacak.
Peki f'in 7 olursa neye eşit olacak?
Aynı şeyi bir daha yapalım.
7'yi sarı renkte yazalım.
f'in 7 değeri, -2 çarpı 7 artı 3'e eşit.
.
Bu da -14 artı 3 işlemine eşit olacak.
Sonucumuz ise -11.
Özetlemek gerekirse fonksiyona 7 koyarsak -11 sonucunu alacağız.
-
Bize verileni yapmış olduk.
Kural bunu yapmamız gerektiğini söylüyordu.
Bu ilk başta yaptığımızla aynı doğrultuda.
Fonksiyonumuzun kuralı bu.
Sıradaki iki tanesiyle devam edelim.
b bölümünü yapmayacağım.
Bu bölümü isterseniz daha sonra çözebilirsiniz.
Daha sonra c bölümünü çözeceğim.
Şimdi f'in 0 değeriyle devam edelim.
-
Sanırım şu ana kadar az çok anlamışsınızdır.
f'in 0 değeri için, x gördüğümüz her yere 0 yazacağız.
Yani -2 çarpı 0 artı 3 işlemini yapacağız.
-.
Bu işlem 0+3'e eşit olacak.
Böylece 0'ın f'i için 3 değerini elde edeceğiz.
Sonuncu f değerimiz ise z.
Burada daha soyut kalmamızı istemişler.
-
Elimizde f'in z değeri var.
z değerini farklı bir renkte yazalım.
-
Bu sefer x gördüğümüz her yere z yazacağız.
-
-2'nin yanına x yerine z yazacağız.
-
Turuncu bir z koyalım buraya.
-2 çarpı z artı 3 işlemini elde ettik.
Bu da bizim sonucumuz, z'nin f'i -2z+3' eşittir.
f fonksiyonunu bir kutu olarak düşünelim tekrar.
Bu kutuya biz z koyuyoruz ve sonuç olarak -2 tane z artı 3 buluyoruz.
-
Anlatılmak istenen şey de tamamen bu.
Biraz daha soyut fakat tamamen aynı yöntem.
Şimdi c bölümünü yapalım.
Buraları biraz temizleyelim de yer açılsın.
-
Şimdi c bölümünü yapabiliriz.
b bölümünü atlıyorum.
Onu daha sonra kendiniz çözebilirsiniz.
-
Bu bizim fonksiyonumuzun kuralı:
f'in x değeri, 5.(2-x)/11'e eşit olacak.
Şimdi bu farklı değerleri f fonksiyonuna yerleştirelim.
-
Yani f'in -3 değeri 5. [2-(-3)]/11 olacak.
x gördüğümüz yerlere daha önce de yaptığımız gibi -3 yerleştireceğiz.
-
Parantezin içerisi 2 artı 3'e, yani 5'e eşit olacak.
-
Yani yapmamız gereken işlem 5 çarpı 5 bölü 11 oluyor.
Bu da 25 bölü 11'e eşit olacak.
Şimdi 7'nin f değerini yapalım.
-
Bu ikinci fonksiyon, 5.(2-7)/11'e eşit olacak.
-
Peki bu neye eşit olacak?
2-7, -5'e eşit.
Daha sonra ise 5.(-5)/11 işleminden -25 bölü 11 elde ediyoruz.
İki tane daha var. Şimdi f'in 0 olduğu fonksiyonu yapalım.
Bu da 5.(2-0)/11'e eşit olacak.
2-0, 2'ye eşit olduğu için işlemimizin payı 5 çarpı 2'den 10 olacak.
Buradan da 10 bölü 11 sonucunu bulacağız.
Son bir tane kaldı.
f'in z için değeri.
x gördüğümüz her yere z yazacağız.
-
Bu da 5.(2-z)/11'e eşit olacak.
Bu aradığımız cevap.
5'i parantezin içerisinde dağıtabiliriz.
Bu da (10-5z)/11' eşit olacak ki bir önceki hali ile aynı sonuca eşit.
Bunu hatta eğim-kesim noktası formu ile bile yazabiliriz.
Bu da (-5z/11) + (10/11)'e eşit olacaktır.
Bunların hepsi birbirine eşit olacaktır.
Bunlar z'nin f değerine eşit olanlar.
Şimdi.
Dediğimiz gibi bir fonksiyona herhangi bir x değeri verirsek bize bir sonuç verecektir.
-
Size bir x fonksiyonu vereceğim.
Bu bizim fonksiyonumuz, bir x verdiğinizde x için bir f değeri üretir.
-
Bir x değeri için bize sadece bir tane f(x) değeri üretebilir.
Bir fonksiyon bir x için iki farklı f(x) değeri üretemez.
-
Mesela x'e 0 verdiğiniz zaman hem 3 hem de 4 değerlerini üreten bir fonksiyon olamaz.
Bu fonksiyon tanımına ters düşmektedir.
-
Çünkü bu durumda f'in 0 değerinin neye eşit olacağını bilemeyiz.
f(0) neye eşit olabilir ki?
Kurallar bize bunun 3 ama aynı zamanda da 4 olduğunu söylüyor.
Bunu bilemeyiz.
-
Bu her ne kadar bir fonksiyon gibi gözükse de değildir.
-
Sonuç olarak bir x değeri için iki farklı f(x) değerine sahip olamazsınız.
Şimdi bu grafiklerin hangilerinin birer fonksiyon olduğuna bakalım.
Bunu anlamak için herhangi bir x değeri seçin.
Bu x değeri için sadece bir f(x) yani y değeri olmalıdır.
Bu y=f(x) grafiği.
Bu x değeri için sadece bir y noktamız var.
-
Bunu anlamak için dikey çizgi testini uygulayabilirsiniz.
Her bir dikey çizgi bir x değerini temsil edecektir.
-
Çizginin üstünde sadece bir y değeriniz olması, çizginin sadece bir kere kesilmesi anlamına geliyor.
Yani bu geçerli bir fonksiyon.
Dikey bir çizgi çizdiğiniz zaman grafiği sadece bir kere kesecektir.
-
Yani bu geçerli bir fonksiyon.
Peki buna bakalım, bu geçerli mi?
Tam bu noktaya dikey bir çizgi çizelim.
-
Bu x değeri için iki farklı y değerimiz olacaktır.
-
f(x) bu değer de olabilir öbür değer de.
Değil mi?
Grafik ile iki kere kesişiyoruz.
Yani bu bir fonksiyon değil.
Burada tam olarak anlattığım şeyi yaptık.
Belli bir x değeri için iki farklı y değerinden bahsedebiliyoruz..
-
Yani bu bir fonksiyon değil.
Burada da aynı şey söz konusu.
Buraya dikey bir çizgi çekin.
Grafiği iki kere kesiyoruz.
Yani bu da bir fonksiyon değil.
Bir x değeri için iki farklı y değeri verebiliyoruz.
Şimdi bu grafiğe geçelim.
Bu biraz garip görünüşlü bir fonksiyon.
Bir tik gibi gözüküyor.
Ama ne zaman dikey bir çizgi çekseniz grafiği sadece bir kere kesiyoruz.
-
Yani bu geçerli bir fonksiyon.
Her bir x değeri için sadece bir y değerimiz var.
-
Umarım bu işinize yaramıştır.