0:00:00.000,0:00:01.000 . 0:00:00.000,0:00:02.460 Bu videoda fonksiyonlar ile ilgili birkaç örnek çözeceğiz. 0:00:02.460,0:00:03.800 - 0:00:03.800,0:00:06.570 Fonksiyonlar, birçok öğrenci için zor görünse de, ne yaptığımızı iyi anlarsanız sizin için çok kolay olacaktır. 0:00:06.570,0:00:09.230 - 0:00:09.230,0:00:11.070 - 0:00:11.070,0:00:12.240 - 0:00:12.240,0:00:13.710 Bazen bu kadar curcuna ne için diye düşünüyor olabilirsiniz. 0:00:13.710,0:00:14.880 - 0:00:14.880,0:00:16.720 Fonksiyonların bütün yaptığı iş iki farklı değişken arasında bir ilişki kurmaktır. 0:00:16.720,0:00:19.830 - 0:00:19.830,0:00:25.540 Eğer y değeri, x değerinin fonksiyonuna eşit dersek bunun anlamın bana bir x verdiğinizdir. 0:00:25.540,0:00:28.260 - 0:00:28.260,0:00:31.660 Bu fonksiyonun bir anlamda x'i yemek olduğunu hayal edebilirsiniz. 0:00:31.660,0:00:34.190 Yani bu fonksiyona herhangi bir x değeri koyuyorsunuz. 0:00:34.190,0:00:36.480 Bu fonksiyon ise belli birtakım kurallardan oluşuyor. 0:00:36.480,0:00:39.150 Sonuç olarak, bu fonksiyon x değerini aldıktan sonra bu değeri bir y değeri ile eşleştiriyor. 0:00:39.150,0:00:41.230 - 0:00:41.230,0:00:42.945 Bunu bir kutu olarak düşünebilirsiniz. 0:00:42.945,0:00:45.900 - 0:00:45.900,0:00:47.990 Bu bir fonksiyon. 0:00:47.990,0:00:53.830 Bir x sayısı verdiğim zaman, bana geriye bir y sayısı verecek. 0:00:53.830,0:00:56.990 - 0:00:56.990,0:00:58.160 Bu biraz soyut görünüyor olabilir. 0:00:58.160,0:00:59.360 Nedir bu x ve y değerleri? 0:00:59.360,0:01:02.830 Diyelim elimizde kuralı bu olan bir fonksiyon var: 0:01:02.830,0:01:04.190 - 0:01:04.190,0:01:05.720 - 0:01:05.720,0:01:11.770 Bana verdiğiniz her x için, x 0' a eşitse elimde 1 değeri olacak. 0:01:11.770,0:01:14.440 - 0:01:14.440,0:01:18.730 Eğer x, 1'e eşitse, elimde 2 olacak. 0:01:18.730,0:01:21.320 Farklı bir değerseyse de 3. 0:01:21.320,0:01:24.790 . 0:01:24.790,0:01:28.720 Böylece, kutunun içinde neler olup bittiğini tarif ettik. 0:01:28.720,0:01:31.630 Şimdi de, çevreleyen kutuyu çizelim. 0:01:31.630,0:01:33.650 Bu bizim kutumuz. 0:01:33.650,0:01:35.940 Bu bizim keyfimize kalmış bir fonksiyon tanımı 0:01:35.940,0:01:37.760 ama, umarız fonksiyonda neler olup bittiğini anlamanıza yardımcı olacak. 0:01:37.760,0:01:40.070 - 0:01:40.070,0:01:47.500 Eğer x için 7 değerini seçersem 0:01:47.500,0:01:52.480 x'in fonksiyonu kaça eşit olacak? 0:01:52.480,0:01:56.400 7'nin f'onksiyonu kaça eşit olacak? 0:01:56.400,0:01:58.020 7'yi kutunun içine alıyoruz. 0:01:58.020,0:01:59.700 Bunu bir çeşit bilgisayar gibi düşünebilirsiniz. 0:01:59.700,0:02:02.770 Bilgisayar ilk önce x'e ve daha sonra da kurallarına bakar. 0:02:02.770,0:02:04.060 Tamam, x 7'dir der. 0:02:04.060,0:02:06.270 x, 0 değildir. x, 1 değildir. 0:02:06.270,0:02:08.229 O zaman x diğerleri grubunda. 0:02:08.229,0:02:10.100 Ve, 3'ü seçiyorum. 0:02:10.100,0:02:12.040 Böylece 7'nin f'onksiyonu 3'e eşit olur. 0:02:12.040,0:02:15.320 Ve 7'nin f'onksiyonu 3'e eşittir diye yazarız. 0:02:15.320,0:02:18.760 f bu fonksiyonun ismi, ya da kurallar sistemi, ilişkilendirmesi, eşleştirmesi olarak adlandırılabilir. 0:02:18.760,0:02:21.310 - 0:02:21.310,0:02:22.190 - 0:02:22.190,0:02:24.350 7 verdiğiniz zaman, o size 3 verecek. 0:02:24.350,0:02:27.460 Yani fonksiyona 7 koyarsanız o size 3 verecek. 0:02:27.460,0:02:31.240 Peki fonksiyona 2 verirsek ne elde ederiz? 0:02:31.240,0:02:34.690 Bu x değerini 7'ye eştilemek yerine, 2'ye eşitlemek olacak. 0:02:34.690,0:02:36.420 - 0:02:36.420,0:02:38.550 Daha sonra fonksiyon içindeki küçük bilgisayar x değerinin 2 olduğunu görecek. 0:02:38.550,0:02:42.550 - 0:02:42.550,0:02:44.410 Ama hala x'in 0 ya da 1'e eşit olmadığı diğer durumdayım. 0:02:44.410,0:02:45.910 - 0:02:45.910,0:02:50.800 Yani fonksiyon bize tekrar 3 sonucunu verecek. 0:02:50.800,0:02:53.470 - 0:02:53.470,0:02:56.970 Sonuç olarak 2'nin f değeri, 3'e eşit olacak. 0:02:56.970,0:03:03.200 Peki x değeri 1' eşit ise ne olacak? 0:03:03.200,0:03:05.100 - 0:03:05.100,0:03:07.990 Bu da 1'in fonksiyonu olacak. 0:03:07.990,0:03:10.080 Kurallara tekrar bakalım. 0:03:10.080,0:03:11.620 Gördüğünüz gibi x 1'e eşit. 0:03:11.620,0:03:13.350 Kuralımızı burada kullanabiliriz. 0:03:13.350,0:03:15.520 X 1'e eşit olduğu zaman, 2 sonucunu üretiyordu fonksiyonumuz. 0:03:15.520,0:03:18.750 Yani f'in 1 değeri 2'ye eşit olacak. 0:03:18.750,0:03:22.290 - 0:03:22.290,0:03:24.420 Bir fonksiyonun basit çalışma süreci işte bu şekilde. 0:03:24.420,0:03:29.120 Bu basit örneği aklımızda tutarak birkaç örnek problem çözelim. 0:03:29.120,0:03:31.620 Bizden verilen fonksiyonları verilen noktalar için çözmemiz isteniyor. 0:03:31.620,0:03:35.010 Bu fonksiyonları da verilen farklı kutularla çözeceğiz. 0:03:35.010,0:03:37.570 - 0:03:37.570,0:03:39.070 - 0:03:39.070,0:03:42.800 İlk olarak a bölümünü yapalım. Buradaki fonksiyonun kutusu yani kuralı verilmiş bize. 0:03:42.800,0:03:47.880 x'in f'i, eksi 2x artı 3'e (-2x+3) eşit. 0:03:47.880,0:03:51.790 Fonksiyona yani f'e -3 değeri verdiğimiz zaman sonucun ne olacağını bulmamız gerekiyor. 0:03:51.790,0:03:54.300 f'in -3 olması bize x ile ne yapmamız gerektiğini söylüyor. 0:03:54.300,0:03:55.430 - 0:03:55.430,0:03:57.110 Bu fonksiyon ne üretecek? 0:03:57.110,0:04:00.060 Basit bir şekilde, x gördüğümüz yerlere -3 değerini yerleştireceğiz. 0:04:00.060,0:04:02.060 - 0:04:02.060,0:04:04.780 Bu şekilde yaparsam daha rahat görebileceksiniz. 0:04:04.780,0:04:06.520 Bu -3 değerini kalın bir şekilde yazacağım. 0:04:06.520,0:04:13.130 Yani -2 çarpı -3 artı 3 işlemini elde etmiş olacağız. 0:04:13.130,0:04:16.149 Dikkat ettiyseniz x gördüğüm yerlere -3 koydum. 0:04:16.149,0:04:19.250 Şimdi kutunun ne üreteceğiniz biliyorum. 0:04:19.250,0:04:21.600 Sonuç -2 çarpı -3 işlemi 6'ya eşit olacak ve 6 artı 3 işleminden de 9 elde edeceğiz. 0:04:21.600,0:04:25.640 - 0:04:25.640,0:04:29.470 Sonuç olarak f'in -3 olması durumu, 9'a eşit olacak. 0:04:29.470,0:04:32.130 Peki f'in 7 olursa neye eşit olacak? 0:04:32.130,0:04:36.340 Aynı şeyi bir daha yapalım. 0:04:36.340,0:04:43.120 7'yi sarı renkte yazalım. 0:04:43.120,0:04:47.650 f'in 7 değeri, -2 çarpı 7 artı 3'e eşit. 0:04:47.650,0:04:50.480 . 0:04:50.480,0:04:55.140 Bu da -14 artı 3 işlemine eşit olacak. 0:04:55.140,0:04:57.260 Sonucumuz ise -11. 0:04:57.260,0:05:03.940 Özetlemek gerekirse fonksiyona 7 koyarsak -11 sonucunu alacağız. 0:05:03.940,0:05:11.060 - 0:05:11.060,0:05:13.310 Bize verileni yapmış olduk. 0:05:13.310,0:05:14.760 Kural bunu yapmamız gerektiğini söylüyordu. 0:05:14.760,0:05:18.470 Bu ilk başta yaptığımızla aynı doğrultuda. 0:05:18.470,0:05:20.980 Fonksiyonumuzun kuralı bu. 0:05:20.980,0:05:24.430 Sıradaki iki tanesiyle devam edelim. 0:05:24.430,0:05:25.200 b bölümünü yapmayacağım. 0:05:25.200,0:05:26.330 Bu bölümü isterseniz daha sonra çözebilirsiniz. 0:05:26.330,0:05:29.650 Daha sonra c bölümünü çözeceğim. 0:05:29.650,0:05:32.540 Şimdi f'in 0 değeriyle devam edelim. 0:05:32.540,0:05:33.810 - 0:05:33.810,0:05:35.300 Sanırım şu ana kadar az çok anlamışsınızdır. 0:05:35.300,0:05:37.500 f'in 0 değeri için, x gördüğümüz her yere 0 yazacağız. 0:05:37.500,0:05:40.005 Yani -2 çarpı 0 artı 3 işlemini yapacağız. 0:05:40.005,0:05:43.100 -. 0:05:43.100,0:05:44.345 Bu işlem 0+3'e eşit olacak. 0:05:44.345,0:05:47.300 Böylece 0'ın f'i için 3 değerini elde edeceğiz. 0:05:47.300,0:05:49.000 Sonuncu f değerimiz ise z. 0:05:49.000,0:05:51.720 Burada daha soyut kalmamızı istemişler. 0:05:51.720,0:05:52.780 - 0:05:52.780,0:05:55.800 Elimizde f'in z değeri var. 0:05:55.800,0:05:59.150 z değerini farklı bir renkte yazalım. 0:05:59.150,0:06:00.900 - 0:06:00.900,0:06:06.210 Bu sefer x gördüğümüz her yere z yazacağız. 0:06:06.210,0:06:07.750 - 0:06:07.750,0:06:09.240 -2'nin yanına x yerine z yazacağız. 0:06:09.240,0:06:12.040 - 0:06:12.040,0:06:13.860 Turuncu bir z koyalım buraya. 0:06:13.860,0:06:19.760 -2 çarpı z artı 3 işlemini elde ettik. 0:06:19.760,0:06:24.330 Bu da bizim sonucumuz, z'nin f'i -2z+3' eşittir. 0:06:24.330,0:06:28.110 f fonksiyonunu bir kutu olarak düşünelim tekrar. 0:06:28.110,0:06:38.130 Bu kutuya biz z koyuyoruz ve sonuç olarak -2 tane z artı 3 buluyoruz. 0:06:38.130,0:06:43.480 - 0:06:43.480,0:06:44.520 Anlatılmak istenen şey de tamamen bu. 0:06:44.520,0:06:47.830 Biraz daha soyut fakat tamamen aynı yöntem. 0:06:47.830,0:06:52.030 Şimdi c bölümünü yapalım. 0:06:52.030,0:06:53.330 Buraları biraz temizleyelim de yer açılsın. 0:06:53.330,0:06:55.820 - 0:06:55.820,0:06:59.102 - 0:06:59.102,0:07:02.910 - 0:07:02.910,0:07:03.810 Şimdi c bölümünü yapabiliriz. 0:07:03.810,0:07:05.370 b bölümünü atlıyorum. 0:07:05.370,0:07:07.710 Onu daha sonra kendiniz çözebilirsiniz. 0:07:07.710,0:07:10.830 - 0:07:10.830,0:07:13.430 - 0:07:13.430,0:07:16.680 - 0:07:16.680,0:07:18.610 Bu bizim fonksiyonumuzun kuralı: 0:07:18.610,0:07:26.300 f'in x değeri, 5.(2-x)/11'e eşit olacak. 0:07:26.300,0:07:29.440 Şimdi bu farklı değerleri f fonksiyonuna yerleştirelim. 0:07:29.440,0:07:32.620 - 0:07:32.620,0:07:39.900 Yani f'in -3 değeri 5. [2-(-3)]/11 olacak. 0:07:39.900,0:07:42.250 x gördüğümüz yerlere daha önce de yaptığımız gibi -3 yerleştireceğiz. 0:07:42.250,0:07:45.620 - 0:07:45.620,0:07:48.700 Parantezin içerisi 2 artı 3'e, yani 5'e eşit olacak. 0:07:48.700,0:07:50.870 - 0:07:50.870,0:07:53.260 Yani yapmamız gereken işlem 5 çarpı 5 bölü 11 oluyor. 0:07:53.260,0:07:57.120 Bu da 25 bölü 11'e eşit olacak. 0:07:57.120,0:07:57.850 Şimdi 7'nin f değerini yapalım. 0:07:57.850,0:07:59.990 - 0:07:59.990,0:08:06.680 Bu ikinci fonksiyon, 5.(2-7)/11'e eşit olacak. 0:08:06.680,0:08:11.160 - 0:08:11.160,0:08:14.360 - 0:08:14.360,0:08:15.540 Peki bu neye eşit olacak? 0:08:15.540,0:08:18.250 2-7, -5'e eşit. 0:08:18.250,0:08:23.780 Daha sonra ise 5.(-5)/11 işleminden -25 bölü 11 elde ediyoruz. 0:08:23.780,0:08:27.410 İki tane daha var. Şimdi f'in 0 olduğu fonksiyonu yapalım. 0:08:27.410,0:08:35.000 Bu da 5.(2-0)/11'e eşit olacak. 0:08:35.000,0:08:36.130 2-0, 2'ye eşit olduğu için işlemimizin payı 5 çarpı 2'den 10 olacak. 0:08:36.130,0:08:38.850 Buradan da 10 bölü 11 sonucunu bulacağız. 0:08:38.850,0:08:39.840 Son bir tane kaldı. 0:08:39.840,0:08:42.059 f'in z için değeri. 0:08:42.059,0:08:43.299 x gördüğümüz her yere z yazacağız. 0:08:43.299,0:08:44.490 - 0:08:44.490,0:08:49.960 Bu da 5.(2-z)/11'e eşit olacak. 0:08:49.960,0:08:50.630 Bu aradığımız cevap. 0:08:50.630,0:08:51.910 5'i parantezin içerisinde dağıtabiliriz. 0:08:51.910,0:08:57.210 Bu da (10-5z)/11' eşit olacak ki bir önceki hali ile aynı sonuca eşit. 0:08:57.210,0:09:00.260 Bunu hatta eğim-kesim noktası formu ile bile yazabiliriz. 0:09:00.260,0:09:06.000 Bu da (-5z/11) + (10/11)'e eşit olacaktır. 0:09:06.000,0:09:06.990 Bunların hepsi birbirine eşit olacaktır. 0:09:06.990,0:09:10.430 Bunlar z'nin f değerine eşit olanlar. 0:09:10.430,0:09:11.590 Şimdi. 0:09:11.590,0:09:15.510 Dediğimiz gibi bir fonksiyona herhangi bir x değeri verirsek bize bir sonuç verecektir. 0:09:15.510,0:09:16.470 - 0:09:16.470,0:09:19.120 Size bir x fonksiyonu vereceğim. 0:09:19.120,0:09:23.040 Bu bizim fonksiyonumuz, bir x verdiğinizde x için bir f değeri üretir. 0:09:23.040,0:09:26.550 - 0:09:26.550,0:09:29.680 Bir x değeri için bize sadece bir tane f(x) değeri üretebilir. 0:09:29.680,0:09:32.840 Bir fonksiyon bir x için iki farklı f(x) değeri üretemez. 0:09:32.840,0:09:34.700 - 0:09:34.700,0:09:37.540 Mesela x'e 0 verdiğiniz zaman hem 3 hem de 4 değerlerini üreten bir fonksiyon olamaz. 0:09:37.540,0:09:42.790 Bu fonksiyon tanımına ters düşmektedir. 0:09:42.790,0:09:45.230 - 0:09:45.230,0:09:49.240 - 0:09:49.240,0:09:53.170 Çünkü bu durumda f'in 0 değerinin neye eşit olacağını bilemeyiz. 0:09:53.170,0:09:54.090 f(0) neye eşit olabilir ki? 0:09:54.090,0:09:56.330 Kurallar bize bunun 3 ama aynı zamanda da 4 olduğunu söylüyor. 0:09:56.330,0:09:57.310 Bunu bilemeyiz. 0:09:57.310,0:09:57.830 - 0:09:57.830,0:09:58.190 - 0:09:58.190,0:10:01.550 Bu her ne kadar bir fonksiyon gibi gözükse de değildir. 0:10:01.550,0:10:02.800 - 0:10:02.800,0:10:07.700 - 0:10:07.700,0:10:12.250 Sonuç olarak bir x değeri için iki farklı f(x) değerine sahip olamazsınız. 0:10:12.250,0:10:16.020 Şimdi bu grafiklerin hangilerinin birer fonksiyon olduğuna bakalım. 0:10:16.020,0:10:18.390 Bunu anlamak için herhangi bir x değeri seçin. 0:10:18.390,0:10:21.850 Bu x değeri için sadece bir f(x) yani y değeri olmalıdır. 0:10:21.850,0:10:25.090 Bu y=f(x) grafiği. 0:10:25.090,0:10:28.950 Bu x değeri için sadece bir y noktamız var. 0:10:28.950,0:10:30.550 - 0:10:30.550,0:10:32.970 Bunu anlamak için dikey çizgi testini uygulayabilirsiniz. 0:10:32.970,0:10:35.720 Her bir dikey çizgi bir x değerini temsil edecektir. 0:10:35.720,0:10:37.570 - 0:10:37.570,0:10:41.920 Çizginin üstünde sadece bir y değeriniz olması, çizginin sadece bir kere kesilmesi anlamına geliyor. 0:10:41.920,0:10:43.630 Yani bu geçerli bir fonksiyon. 0:10:43.630,0:10:46.240 Dikey bir çizgi çizdiğiniz zaman grafiği sadece bir kere kesecektir. 0:10:46.240,0:10:47.610 - 0:10:47.610,0:10:50.410 Yani bu geçerli bir fonksiyon. 0:10:50.410,0:10:52.220 Peki buna bakalım, bu geçerli mi? 0:10:52.220,0:10:53.960 Tam bu noktaya dikey bir çizgi çizelim. 0:10:53.960,0:10:55.230 - 0:10:55.230,0:10:58.650 Bu x değeri için iki farklı y değerimiz olacaktır. 0:10:58.650,0:11:00.860 - 0:11:00.860,0:11:04.550 f(x) bu değer de olabilir öbür değer de. 0:11:04.550,0:11:05.270 Değil mi? 0:11:05.270,0:11:07.520 Grafik ile iki kere kesişiyoruz. 0:11:07.520,0:11:08.840 Yani bu bir fonksiyon değil. 0:11:08.840,0:11:11.150 Burada tam olarak anlattığım şeyi yaptık. 0:11:11.150,0:11:15.090 Belli bir x değeri için iki farklı y değerinden bahsedebiliyoruz.. 0:11:15.090,0:11:16.800 - 0:11:16.800,0:11:19.220 Yani bu bir fonksiyon değil. 0:11:19.220,0:11:20.830 Burada da aynı şey söz konusu. 0:11:20.830,0:11:22.310 Buraya dikey bir çizgi çekin. 0:11:22.310,0:11:24.540 Grafiği iki kere kesiyoruz. 0:11:24.540,0:11:26.000 Yani bu da bir fonksiyon değil. 0:11:26.000,0:11:30.590 Bir x değeri için iki farklı y değeri verebiliyoruz. 0:11:30.590,0:11:31.490 Şimdi bu grafiğe geçelim. 0:11:31.490,0:11:33.160 Bu biraz garip görünüşlü bir fonksiyon. 0:11:33.160,0:11:34.750 Bir tik gibi gözüküyor. 0:11:34.750,0:11:37.020 Ama ne zaman dikey bir çizgi çekseniz grafiği sadece bir kere kesiyoruz. 0:11:37.020,0:11:38.720 - 0:11:38.720,0:11:40.420 Yani bu geçerli bir fonksiyon. 0:11:40.420,0:11:43.470 Her bir x değeri için sadece bir y değerimiz var. 0:11:43.470,0:11:46.450 - 0:11:46.450,0:11:48.960 Umarım bu işinize yaramıştır.