1
00:00:00,000 --> 00:00:01,000
.

2
00:00:00,000 --> 00:00:02,460
Bu videoda fonksiyonlar ile ilgili birkaç örnek çözeceğiz.

3
00:00:02,460 --> 00:00:03,800
-

4
00:00:03,800 --> 00:00:06,570
Fonksiyonlar, birçok öğrenci için zor görünse de, ne yaptığımızı iyi anlarsanız sizin için çok kolay olacaktır.

5
00:00:06,570 --> 00:00:09,230
-

6
00:00:09,230 --> 00:00:11,070
-

7
00:00:11,070 --> 00:00:12,240
-

8
00:00:12,240 --> 00:00:13,710
Bazen bu kadar curcuna ne için diye düşünüyor olabilirsiniz.

9
00:00:13,710 --> 00:00:14,880
-

10
00:00:14,880 --> 00:00:16,720
Fonksiyonların bütün yaptığı iş iki farklı değişken arasında bir ilişki kurmaktır.

11
00:00:16,720 --> 00:00:19,830
-

12
00:00:19,830 --> 00:00:25,540
Eğer y değeri, x değerinin fonksiyonuna eşit dersek bunun anlamın bana bir x verdiğinizdir.

13
00:00:25,540 --> 00:00:28,260
-

14
00:00:28,260 --> 00:00:31,660
Bu fonksiyonun bir anlamda x'i yemek olduğunu hayal edebilirsiniz.

15
00:00:31,660 --> 00:00:34,190
Yani bu fonksiyona herhangi bir x değeri koyuyorsunuz.

16
00:00:34,190 --> 00:00:36,480
Bu fonksiyon ise belli birtakım kurallardan oluşuyor.

17
00:00:36,480 --> 00:00:39,150
Sonuç olarak, bu fonksiyon x değerini aldıktan sonra bu değeri bir y değeri ile eşleştiriyor.

18
00:00:39,150 --> 00:00:41,230
-

19
00:00:41,230 --> 00:00:42,945
Bunu bir kutu olarak düşünebilirsiniz.

20
00:00:42,945 --> 00:00:45,900
-

21
00:00:45,900 --> 00:00:47,990
Bu bir fonksiyon.

22
00:00:47,990 --> 00:00:53,830
Bir x sayısı verdiğim zaman, bana geriye bir y sayısı verecek.

23
00:00:53,830 --> 00:00:56,990
-

24
00:00:56,990 --> 00:00:58,160
Bu biraz soyut görünüyor olabilir.

25
00:00:58,160 --> 00:00:59,360
Nedir bu x ve y değerleri?

26
00:00:59,360 --> 00:01:02,830
Diyelim elimizde kuralı bu olan bir fonksiyon var:

27
00:01:02,830 --> 00:01:04,190
-

28
00:01:04,190 --> 00:01:05,720
-

29
00:01:05,720 --> 00:01:11,770
Bana verdiğiniz her x için, x 0' a eşitse elimde 1 değeri olacak.

30
00:01:11,770 --> 00:01:14,440
-

31
00:01:14,440 --> 00:01:18,730
Eğer x, 1'e eşitse, elimde 2 olacak.

32
00:01:18,730 --> 00:01:21,320
Farklı bir değerseyse de 3.

33
00:01:21,320 --> 00:01:24,790
.

34
00:01:24,790 --> 00:01:28,720
Böylece, kutunun içinde neler olup bittiğini tarif ettik.

35
00:01:28,720 --> 00:01:31,630
Şimdi de, çevreleyen kutuyu çizelim.

36
00:01:31,630 --> 00:01:33,650
Bu bizim kutumuz.

37
00:01:33,650 --> 00:01:35,940
Bu bizim keyfimize kalmış bir fonksiyon tanımı

38
00:01:35,940 --> 00:01:37,760
ama, umarız fonksiyonda neler olup bittiğini anlamanıza yardımcı olacak.

39
00:01:37,760 --> 00:01:40,070
-

40
00:01:40,070 --> 00:01:47,500
Eğer x için 7 değerini seçersem

41
00:01:47,500 --> 00:01:52,480
x'in fonksiyonu kaça eşit olacak?

42
00:01:52,480 --> 00:01:56,400
7'nin f'onksiyonu kaça eşit olacak?

43
00:01:56,400 --> 00:01:58,020
7'yi kutunun içine alıyoruz.

44
00:01:58,020 --> 00:01:59,700
Bunu bir çeşit bilgisayar gibi düşünebilirsiniz.

45
00:01:59,700 --> 00:02:02,770
Bilgisayar ilk önce x'e ve daha sonra da kurallarına bakar.

46
00:02:02,770 --> 00:02:04,060
Tamam, x 7'dir der.

47
00:02:04,060 --> 00:02:06,270
x, 0 değildir. x, 1 değildir.

48
00:02:06,270 --> 00:02:08,229
O zaman x diğerleri grubunda.

49
00:02:08,229 --> 00:02:10,100
Ve, 3'ü seçiyorum.

50
00:02:10,100 --> 00:02:12,040
Böylece 7'nin f'onksiyonu 3'e eşit olur.

51
00:02:12,040 --> 00:02:15,320
Ve 7'nin f'onksiyonu 3'e eşittir diye yazarız.

52
00:02:15,320 --> 00:02:18,760
f bu fonksiyonun ismi, ya da kurallar sistemi, ilişkilendirmesi, eşleştirmesi olarak adlandırılabilir.

53
00:02:18,760 --> 00:02:21,310
-

54
00:02:21,310 --> 00:02:22,190
-

55
00:02:22,190 --> 00:02:24,350
7 verdiğiniz zaman, o size 3 verecek.

56
00:02:24,350 --> 00:02:27,460
Yani fonksiyona 7 koyarsanız o size 3 verecek.

57
00:02:27,460 --> 00:02:31,240
Peki fonksiyona 2 verirsek ne elde ederiz?

58
00:02:31,240 --> 00:02:34,690
Bu x değerini 7'ye eştilemek yerine, 2'ye eşitlemek olacak.

59
00:02:34,690 --> 00:02:36,420
-

60
00:02:36,420 --> 00:02:38,550
Daha sonra fonksiyon içindeki küçük bilgisayar x değerinin 2 olduğunu görecek.

61
00:02:38,550 --> 00:02:42,550
-

62
00:02:42,550 --> 00:02:44,410
Ama hala x'in 0 ya da 1'e eşit olmadığı diğer durumdayım.

63
00:02:44,410 --> 00:02:45,910
-

64
00:02:45,910 --> 00:02:50,800
Yani fonksiyon bize tekrar 3 sonucunu verecek.

65
00:02:50,800 --> 00:02:53,470
-

66
00:02:53,470 --> 00:02:56,970
Sonuç olarak 2'nin f değeri, 3'e eşit olacak.

67
00:02:56,970 --> 00:03:03,200
Peki x değeri 1' eşit ise ne olacak?

68
00:03:03,200 --> 00:03:05,100
-

69
00:03:05,100 --> 00:03:07,990
Bu da 1'in fonksiyonu olacak.

70
00:03:07,990 --> 00:03:10,080
Kurallara tekrar bakalım.

71
00:03:10,080 --> 00:03:11,620
Gördüğünüz gibi x 1'e eşit.

72
00:03:11,620 --> 00:03:13,350
Kuralımızı burada kullanabiliriz.

73
00:03:13,350 --> 00:03:15,520
X 1'e eşit olduğu zaman, 2 sonucunu üretiyordu fonksiyonumuz.

74
00:03:15,520 --> 00:03:18,750
Yani f'in 1 değeri 2'ye eşit olacak.

75
00:03:18,750 --> 00:03:22,290
-

76
00:03:22,290 --> 00:03:24,420
Bir fonksiyonun basit çalışma süreci işte bu şekilde.

77
00:03:24,420 --> 00:03:29,120
Bu basit örneği aklımızda tutarak birkaç örnek problem çözelim.

78
00:03:29,120 --> 00:03:31,620
Bizden verilen fonksiyonları verilen noktalar için çözmemiz isteniyor.

79
00:03:31,620 --> 00:03:35,010
Bu fonksiyonları da verilen farklı kutularla çözeceğiz.

80
00:03:35,010 --> 00:03:37,570
-

81
00:03:37,570 --> 00:03:39,070
-

82
00:03:39,070 --> 00:03:42,800
İlk olarak a bölümünü yapalım. Buradaki fonksiyonun kutusu yani kuralı verilmiş bize.

83
00:03:42,800 --> 00:03:47,880
x'in f'i, eksi 2x artı 3'e (-2x+3) eşit.

84
00:03:47,880 --> 00:03:51,790
Fonksiyona yani f'e -3 değeri verdiğimiz zaman sonucun ne olacağını bulmamız gerekiyor.

85
00:03:51,790 --> 00:03:54,300
f'in -3 olması bize x ile ne yapmamız gerektiğini söylüyor.

86
00:03:54,300 --> 00:03:55,430
-

87
00:03:55,430 --> 00:03:57,110
Bu fonksiyon ne üretecek?

88
00:03:57,110 --> 00:04:00,060
Basit bir şekilde, x gördüğümüz yerlere -3 değerini yerleştireceğiz.

89
00:04:00,060 --> 00:04:02,060
-

90
00:04:02,060 --> 00:04:04,780
Bu şekilde yaparsam daha rahat görebileceksiniz.

91
00:04:04,780 --> 00:04:06,520
Bu -3 değerini kalın bir şekilde yazacağım.

92
00:04:06,520 --> 00:04:13,130
Yani -2 çarpı -3 artı 3 işlemini elde etmiş olacağız.

93
00:04:13,130 --> 00:04:16,149
Dikkat ettiyseniz x gördüğüm yerlere -3 koydum.

94
00:04:16,149 --> 00:04:19,250
Şimdi kutunun ne üreteceğiniz biliyorum.

95
00:04:19,250 --> 00:04:21,600
Sonuç -2 çarpı -3 işlemi 6'ya eşit olacak ve 6 artı 3 işleminden de 9 elde edeceğiz.

96
00:04:21,600 --> 00:04:25,640
-

97
00:04:25,640 --> 00:04:29,470
Sonuç olarak f'in -3 olması durumu, 9'a eşit olacak.

98
00:04:29,470 --> 00:04:32,130
Peki f'in 7 olursa neye eşit olacak?

99
00:04:32,130 --> 00:04:36,340
Aynı şeyi bir daha yapalım.

100
00:04:36,340 --> 00:04:43,120
7'yi sarı renkte yazalım.

101
00:04:43,120 --> 00:04:47,650
f'in 7 değeri, -2 çarpı 7 artı 3'e eşit.

102
00:04:47,650 --> 00:04:50,480
.

103
00:04:50,480 --> 00:04:55,140
Bu da -14 artı 3 işlemine eşit olacak.

104
00:04:55,140 --> 00:04:57,260
Sonucumuz ise -11.

105
00:04:57,260 --> 00:05:03,940
Özetlemek gerekirse fonksiyona 7 koyarsak -11 sonucunu alacağız.

106
00:05:03,940 --> 00:05:11,060
-

107
00:05:11,060 --> 00:05:13,310
Bize verileni yapmış olduk.

108
00:05:13,310 --> 00:05:14,760
Kural bunu yapmamız gerektiğini söylüyordu.

109
00:05:14,760 --> 00:05:18,470
Bu ilk başta yaptığımızla aynı doğrultuda.

110
00:05:18,470 --> 00:05:20,980
Fonksiyonumuzun kuralı bu.

111
00:05:20,980 --> 00:05:24,430
Sıradaki iki tanesiyle devam edelim.

112
00:05:24,430 --> 00:05:25,200
b bölümünü yapmayacağım.

113
00:05:25,200 --> 00:05:26,330
Bu bölümü isterseniz daha sonra çözebilirsiniz.

114
00:05:26,330 --> 00:05:29,650
Daha sonra c bölümünü çözeceğim.

115
00:05:29,650 --> 00:05:32,540
Şimdi f'in 0 değeriyle devam edelim.

116
00:05:32,540 --> 00:05:33,810
-

117
00:05:33,810 --> 00:05:35,300
Sanırım şu ana kadar az çok anlamışsınızdır.

118
00:05:35,300 --> 00:05:37,500
f'in 0 değeri için, x gördüğümüz her yere 0 yazacağız.

119
00:05:37,500 --> 00:05:40,005
Yani -2 çarpı 0 artı 3 işlemini yapacağız.

120
00:05:40,005 --> 00:05:43,100
-.

121
00:05:43,100 --> 00:05:44,345
Bu işlem 0+3'e eşit olacak.

122
00:05:44,345 --> 00:05:47,300
Böylece 0'ın f'i için 3 değerini elde edeceğiz.

123
00:05:47,300 --> 00:05:49,000
Sonuncu f değerimiz ise z.

124
00:05:49,000 --> 00:05:51,720
Burada daha soyut kalmamızı istemişler.

125
00:05:51,720 --> 00:05:52,780
-

126
00:05:52,780 --> 00:05:55,800
Elimizde f'in z değeri var.

127
00:05:55,800 --> 00:05:59,150
z değerini farklı bir renkte yazalım.

128
00:05:59,150 --> 00:06:00,900
-

129
00:06:00,900 --> 00:06:06,210
Bu sefer x gördüğümüz her yere z yazacağız.

130
00:06:06,210 --> 00:06:07,750
-

131
00:06:07,750 --> 00:06:09,240
-2'nin yanına x yerine z yazacağız.

132
00:06:09,240 --> 00:06:12,040
-

133
00:06:12,040 --> 00:06:13,860
Turuncu bir z koyalım buraya.

134
00:06:13,860 --> 00:06:19,760
-2 çarpı z artı 3 işlemini elde ettik.

135
00:06:19,760 --> 00:06:24,330
Bu da bizim sonucumuz, z'nin f'i -2z+3' eşittir.

136
00:06:24,330 --> 00:06:28,110
f fonksiyonunu bir kutu olarak düşünelim tekrar.

137
00:06:28,110 --> 00:06:38,130
Bu kutuya biz z koyuyoruz ve sonuç olarak -2 tane z artı 3 buluyoruz.

138
00:06:38,130 --> 00:06:43,480
-

139
00:06:43,480 --> 00:06:44,520
Anlatılmak istenen şey de tamamen bu.

140
00:06:44,520 --> 00:06:47,830
Biraz daha soyut fakat tamamen aynı yöntem.

141
00:06:47,830 --> 00:06:52,030
Şimdi c bölümünü yapalım.

142
00:06:52,030 --> 00:06:53,330
Buraları biraz temizleyelim de yer açılsın.

143
00:06:53,330 --> 00:06:55,820
-

144
00:06:55,820 --> 00:06:59,102
-

145
00:06:59,102 --> 00:07:02,910
-

146
00:07:02,910 --> 00:07:03,810
Şimdi c bölümünü yapabiliriz.

147
00:07:03,810 --> 00:07:05,370
b bölümünü atlıyorum.

148
00:07:05,370 --> 00:07:07,710
Onu daha sonra kendiniz çözebilirsiniz.

149
00:07:07,710 --> 00:07:10,830
-

150
00:07:10,830 --> 00:07:13,430
-

151
00:07:13,430 --> 00:07:16,680
-

152
00:07:16,680 --> 00:07:18,610
Bu bizim fonksiyonumuzun kuralı:

153
00:07:18,610 --> 00:07:26,300
f'in x değeri, 5.(2-x)/11'e eşit olacak.

154
00:07:26,300 --> 00:07:29,440
Şimdi bu farklı değerleri f fonksiyonuna yerleştirelim.

155
00:07:29,440 --> 00:07:32,620
-

156
00:07:32,620 --> 00:07:39,900
Yani f'in -3 değeri 5. [2-(-3)]/11 olacak.

157
00:07:39,900 --> 00:07:42,250
x gördüğümüz yerlere daha önce de yaptığımız gibi -3 yerleştireceğiz.

158
00:07:42,250 --> 00:07:45,620
-

159
00:07:45,620 --> 00:07:48,700
Parantezin içerisi 2 artı 3'e, yani 5'e eşit olacak.

160
00:07:48,700 --> 00:07:50,870
-

161
00:07:50,870 --> 00:07:53,260
Yani yapmamız gereken işlem 5 çarpı 5 bölü 11 oluyor.

162
00:07:53,260 --> 00:07:57,120
Bu da 25 bölü 11'e eşit olacak.

163
00:07:57,120 --> 00:07:57,850
Şimdi 7'nin f değerini yapalım.

164
00:07:57,850 --> 00:07:59,990
-

165
00:07:59,990 --> 00:08:06,680
Bu ikinci fonksiyon, 5.(2-7)/11'e eşit olacak.

166
00:08:06,680 --> 00:08:11,160
-

167
00:08:11,160 --> 00:08:14,360
-

168
00:08:14,360 --> 00:08:15,540
Peki bu neye eşit olacak?

169
00:08:15,540 --> 00:08:18,250
2-7, -5'e eşit.

170
00:08:18,250 --> 00:08:23,780
Daha sonra ise 5.(-5)/11 işleminden -25 bölü 11 elde ediyoruz.

171
00:08:23,780 --> 00:08:27,410
İki tane daha var. Şimdi f'in 0 olduğu fonksiyonu yapalım.

172
00:08:27,410 --> 00:08:35,000
Bu da 5.(2-0)/11'e eşit olacak.

173
00:08:35,000 --> 00:08:36,130
2-0, 2'ye eşit olduğu için işlemimizin payı 5 çarpı 2'den 10 olacak.

174
00:08:36,130 --> 00:08:38,850
Buradan da 10 bölü 11 sonucunu bulacağız.

175
00:08:38,850 --> 00:08:39,840
Son bir tane kaldı.

176
00:08:39,840 --> 00:08:42,059
f'in z için değeri.

177
00:08:42,059 --> 00:08:43,299
x gördüğümüz her yere z yazacağız.

178
00:08:43,299 --> 00:08:44,490
-

179
00:08:44,490 --> 00:08:49,960
Bu da 5.(2-z)/11'e eşit olacak.

180
00:08:49,960 --> 00:08:50,630
Bu aradığımız cevap.

181
00:08:50,630 --> 00:08:51,910
5'i parantezin içerisinde dağıtabiliriz.

182
00:08:51,910 --> 00:08:57,210
Bu da (10-5z)/11' eşit olacak ki bir önceki hali ile aynı sonuca eşit.

183
00:08:57,210 --> 00:09:00,260
Bunu hatta eğim-kesim noktası formu ile bile yazabiliriz.

184
00:09:00,260 --> 00:09:06,000
Bu da (-5z/11) + (10/11)'e eşit olacaktır.

185
00:09:06,000 --> 00:09:06,990
Bunların hepsi birbirine eşit olacaktır.

186
00:09:06,990 --> 00:09:10,430
Bunlar z'nin f değerine eşit olanlar.

187
00:09:10,430 --> 00:09:11,590
Şimdi.

188
00:09:11,590 --> 00:09:15,510
Dediğimiz gibi bir fonksiyona herhangi bir x değeri verirsek bize bir sonuç verecektir.

189
00:09:15,510 --> 00:09:16,470
-

190
00:09:16,470 --> 00:09:19,120
Size bir x fonksiyonu vereceğim.

191
00:09:19,120 --> 00:09:23,040
Bu bizim fonksiyonumuz, bir x verdiğinizde x için bir f değeri üretir.

192
00:09:23,040 --> 00:09:26,550
-

193
00:09:26,550 --> 00:09:29,680
Bir x değeri için bize sadece bir tane f(x) değeri üretebilir.

194
00:09:29,680 --> 00:09:32,840
Bir fonksiyon bir x için iki farklı f(x) değeri üretemez.

195
00:09:32,840 --> 00:09:34,700
-

196
00:09:34,700 --> 00:09:37,540
Mesela x'e 0 verdiğiniz zaman hem 3 hem de 4 değerlerini üreten bir fonksiyon olamaz.

197
00:09:37,540 --> 00:09:42,790
Bu fonksiyon tanımına ters düşmektedir.

198
00:09:42,790 --> 00:09:45,230
-

199
00:09:45,230 --> 00:09:49,240
-

200
00:09:49,240 --> 00:09:53,170
Çünkü bu durumda f'in 0 değerinin neye eşit olacağını bilemeyiz.

201
00:09:53,170 --> 00:09:54,090
f(0) neye eşit olabilir ki?

202
00:09:54,090 --> 00:09:56,330
Kurallar bize bunun 3 ama aynı zamanda da 4 olduğunu söylüyor.

203
00:09:56,330 --> 00:09:57,310
Bunu bilemeyiz.

204
00:09:57,310 --> 00:09:57,830
-

205
00:09:57,830 --> 00:09:58,190
-

206
00:09:58,190 --> 00:10:01,550
Bu her ne kadar bir fonksiyon gibi gözükse de değildir.

207
00:10:01,550 --> 00:10:02,800
-

208
00:10:02,800 --> 00:10:07,700
-

209
00:10:07,700 --> 00:10:12,250
Sonuç olarak bir x değeri için iki farklı f(x) değerine sahip olamazsınız.

210
00:10:12,250 --> 00:10:16,020
Şimdi bu grafiklerin hangilerinin birer fonksiyon olduğuna bakalım.

211
00:10:16,020 --> 00:10:18,390
Bunu anlamak için herhangi bir x değeri seçin.

212
00:10:18,390 --> 00:10:21,850
Bu x değeri için sadece bir f(x) yani y değeri olmalıdır.

213
00:10:21,850 --> 00:10:25,090
Bu y=f(x) grafiği.

214
00:10:25,090 --> 00:10:28,950
Bu x değeri için sadece bir y noktamız var.

215
00:10:28,950 --> 00:10:30,550
-

216
00:10:30,550 --> 00:10:32,970
Bunu anlamak için dikey çizgi testini uygulayabilirsiniz.

217
00:10:32,970 --> 00:10:35,720
Her bir dikey çizgi bir x değerini temsil edecektir.

218
00:10:35,720 --> 00:10:37,570
-

219
00:10:37,570 --> 00:10:41,920
Çizginin üstünde sadece bir y değeriniz olması, çizginin sadece bir kere kesilmesi anlamına geliyor.

220
00:10:41,920 --> 00:10:43,630
Yani bu geçerli bir fonksiyon.

221
00:10:43,630 --> 00:10:46,240
Dikey bir çizgi çizdiğiniz zaman grafiği sadece bir kere kesecektir.

222
00:10:46,240 --> 00:10:47,610
-

223
00:10:47,610 --> 00:10:50,410
Yani bu geçerli bir fonksiyon.

224
00:10:50,410 --> 00:10:52,220
Peki buna bakalım, bu geçerli mi?

225
00:10:52,220 --> 00:10:53,960
Tam bu noktaya dikey bir çizgi çizelim.

226
00:10:53,960 --> 00:10:55,230
-

227
00:10:55,230 --> 00:10:58,650
Bu x değeri için iki farklı y değerimiz olacaktır.

228
00:10:58,650 --> 00:11:00,860
-

229
00:11:00,860 --> 00:11:04,550
f(x) bu değer de olabilir öbür değer de.

230
00:11:04,550 --> 00:11:05,270
Değil mi?

231
00:11:05,270 --> 00:11:07,520
Grafik ile iki kere kesişiyoruz.

232
00:11:07,520 --> 00:11:08,840
Yani bu bir fonksiyon değil.

233
00:11:08,840 --> 00:11:11,150
Burada tam olarak anlattığım şeyi yaptık.

234
00:11:11,150 --> 00:11:15,090
Belli bir x değeri için iki farklı y değerinden bahsedebiliyoruz..

235
00:11:15,090 --> 00:11:16,800
-

236
00:11:16,800 --> 00:11:19,220
Yani bu bir fonksiyon değil.

237
00:11:19,220 --> 00:11:20,830
Burada da aynı şey söz konusu.

238
00:11:20,830 --> 00:11:22,310
Buraya dikey bir çizgi çekin.

239
00:11:22,310 --> 00:11:24,540
Grafiği iki kere kesiyoruz.

240
00:11:24,540 --> 00:11:26,000
Yani bu da bir fonksiyon değil.

241
00:11:26,000 --> 00:11:30,590
Bir x değeri için iki farklı y değeri verebiliyoruz.

242
00:11:30,590 --> 00:11:31,490
Şimdi bu grafiğe geçelim.

243
00:11:31,490 --> 00:11:33,160
Bu biraz garip görünüşlü bir fonksiyon.

244
00:11:33,160 --> 00:11:34,750
Bir tik gibi gözüküyor.

245
00:11:34,750 --> 00:11:37,020
Ama ne zaman dikey bir çizgi çekseniz grafiği sadece bir kere kesiyoruz.

246
00:11:37,020 --> 00:11:38,720
-

247
00:11:38,720 --> 00:11:40,420
Yani bu geçerli bir fonksiyon.

248
00:11:40,420 --> 00:11:43,470
Her bir x değeri için sadece bir y değerimiz var.

249
00:11:43,470 --> 00:11:46,450
-

250
00:11:46,450 --> 00:11:48,960
Umarım bu işinize yaramıştır.