-
Şimdi size 3 e 3 bir matrisin tersini bulmanın benim
-
tercih ettiğim yolunu göstericem.
-
Bence çok da eğlenceli.
-
Ve dikkat hatası yapma şansınız daha az.
-
Ama cebir 2 dersinden doğru hatırlıyorsam,
-
okulda bu şekilde öğretmiyorlardı.
-
Onun için ben de önce öteki yolu öğrettim.
-
Şimdi bunu yapalım.
-
İlerde bir başka videoda niye böyle olduğunu öğretirim.
-
Çünkü bu her zaman önemlidir.
-
Ama lineer cebirde bu konu önce işleminin nasıl
-
yapılacağını öğrenip sonra niyesini öğreneceğiniz
-
birkaç konudan biridir.
-
Çünkü nasıl yapıldığı çok mekaniktir.
-
Genelde de basit bir aritmetik içerir.
-
--
-
Ama niyesi biraz daha derindir.
-
Onun için onu sonraki videolara bırakıcam.
-
Zaten eğer birşeyin nasıl yapıldığını biliyorsanız
-
niye yapıldığı konusunda da daha derin düşünebilirsiniz.
-
Neyse biz baştaki matrisimize dönelim.
-
Geçen videoda işlediğimiz matris neydi?
-
--
-
Şuydu--1,0,1,0,2,1,1,1,1.
-
Ve biz bu matrisin tersini bulmak istedik.
-
Şimdi yapacağımız şu.
-
Gauss-Jordan yoketme metodunu kullanarak
-
matrisin tersini bulacağız.
-
Yapacaklarımız size biraz sihir,biraz da büyü gibi
-
gelebilir ama daha sonraki videolarda görüceksiniz ki
-
herşey gayet mantıklı.
-
Yapacağımız bu matrise ek yapmak olacak.
-
Ek yapmak ne demek?
-
Matrise bir ilave olacak demektir.
-
Ayırma çizgisini çizerim.
-
Bazıları çizmez.
-
Eğer buraya ayırma çizgisi çizersem,
-
çizginin öteki tarafına ne yazarım.
-
Öteki tarafa aynı boyutlarda birim matris yazarım.
-
Bu 3 e 3,onun için 3 e 3 birim matris yazarım.
-
Bu 1,0,0,0,1,0,0,0,1.
-
Evet,şimdi ne yapacağız?
-
Şimdi bir seri yalın satır işlemler i yapıcaz.
-
-
-
Size şimdi hangi işlemlerin geçerli olduğunu söylicem.
-
--
-
Bu taraftaki satırlara ne yapıyorsam aynısını diğer
-
taraftaki satırda da yapmalıyım.
-
Ve amacım sol tarafa bir takım işlemler uygulamaktır.
-
--
-
Ve tabiiki aynı işlemler sağ tarafa da uygulanacak
-
ta ki sol tarafta birim matris kalana kadar.
-
--
-
Sol tarafta birim matris olunca
-
sağ tarafta oluşan matris de baştaki matrisimizin
-
tersidir.
-
Sol taraf birim matris olunca biz buna azaltılmış satır
-
basamak formu diyoruz
-
Ve bunun hakkında daha konuşucam.
-
Linear cebirde bir sürü isim ve başlık vardır.
-
Aslında bunlar bayağı basit kavramlar
-
Neyse artık başlayalım da buna biraz açıklık gelsin.
-
--
-
En azından yöntem açiklık kazanacak
-
Niye olduğu daha anlaşılmayabilir.
-
İlk olarak bir takım işlemler yapacağım.
-
--
-
Geçerli operasyonlar hangileriydi?
-
Onlara yalın satır işlemleri diyoruz.
-
Yapabileceğim birkaç şey var.
-
Bir satırın yerine o satırın bir sayı ile
-
çarpılmış halini yazabilirim.
-
Bunu yapabilirim.
-
İki satırı alıp birbirlerinin yerine koyabilirim.
-
Tabii mesela birinci ve ikinci satırlarınn yerlerini değiştirirsem
-
burada da yapmam gerekir.
-
Ayrıca bir satırıı bir başka satıra ekleyebilir veya çıkarabilirim.
-
Bunu y aparsam--mesela bu satırı alıp
-
yerine bu satırla bunun toplamını koyabilirim.
-
Ne demek istediğimi şimdi anlıyacaksınız.
-
Ve birleştirirseniz,dersiniz ki,
-
bu satırı eksi 1 ile çarpıcam ve
-
bu satıra eklicem, ve bu satırla yer değiştiricem.
-
Eğer bu yaptıklarımı lineer denklem sistemlerini
-
çözmeye benzettiyseniz bu bir tesadüf değil.
-
--
-
Ç ünkü matrisler bu konuda çok güzel bir ifade
-
şeklidir.
-
Neyse biz birtakım satır işlemleri yapalım ve
-
sol tarafı azaltılmış satır basamak formuna sokalım.
-
Bu aslında sol taraftaki matrisi birim matris
-
haline getirelim demenin süslü şeklidir.
-
Ne istediğimize bakalım
-
1 lerin hepsi burda olsun istiyoruz
-
Bunların da sıfır olmasını istiyoruz.
-
Bakalım bunu rasyonel bir şekilde nasıl yapabiliriz.
-
matrisi yeniden çizelim.
-
Burada bir 0 oluşturucaz.
-
Bu kolay olur.
-
Üst iki sırayı aynı bırakıcam.
-
1,0,1
-
Ayırma çizgim var.
-
1,0,0.
-
Burda birşey yapmadım.
-
İkinci satıra da birşey yapmıyorum.
-
0,2,1
-
--
-
o,1,0
-
Şimdi şunu y apalım.Bu satırın yerine---
-
biliyorsunuz amacım burasının sıfır olması
-
--
-
Burda birim matris olmasına biraz daha yaklaştık.
-
--
-
O zaman burasını nasıl sıfır yaparız?
-
bu satırın yerine,bu satır eksi bu satırı koyarız
-
--
-
Üçüncü satır yerine üçüncü satır eksi
-
birinci satırı koyarım.
-
Üçüncü satır eksi birinci satır nedir?
-
1 eksi 1 eşit 0
-
1 eksi 0 eşit 1.
-
1 eksi 1 eşit 0.
-
Sol tarafta yaptıklarımın aynısını sağ tarafta da yapmalıyım.
-
---
-
Bunun yerine bu eksi bunu koyıcaz.
-
0 eksi 1 eşittir eksi 1.
-
0 eksi 0 eşittir 0.
-
1 eksi 0 eşittir 1.
-
Güzel
-
Şimdi ne yapıcaz?
-
Bu satır, bu üçüncü satır, 0 ve 0 diye başladığı için
-
birim matrisinin ikinci satırına çok benziyor.
-
--
-
O zaman neden bu iki satırın yerini değiştir miyoruz?
-
Neden birinci ve ikinci satırların yerini değiştirmiyorum?
-
Hadi yapalım.
-
Birinci satır ile ikincinin yerini değiştireceğim.
-
Birinci satır aynı kalıyor
-
1,0,1
-
Öteki taraf da aynı kalıyor
-
ve ikinci satır ile üçüncünün yerini değiştiriyoruz.
-
Şimdi benim ikinci satırım 0,1,0 oluyor
-
Sağ tarafı da değiştirmeliyim.
-
Eksi 1,0,1.
-
Sadece bu ikisini değiştiriyorum.
-
O zaman üçüncü satır şimdiki ikincinin yerinde olacak.
-
0,2,1.
-
ve 0,1,0
-
Güzel.
-
Şimdi ne yapmak istiyorum?
-
Burda bir 0 olsaydı iyi olurdu.
-
Bu beni birim matrise biraz daha yakınlaştırırdı.
-
Burda nasıl 0 olabilir?
-
İki çarpı satır 2 yi satır 1 den çıkarırsam ne olur?
-
Burası 1 çarpı 2 eşit 2.
-
Bunu bundan çıkarırsam burası 0 oluyor.
-
Hadi yapalım.
-
İlk satır çok şanslı.
-
Hiçbirşey yapmak zorunda değildi.
-
Orada duruyor.
-
1,0,1,1,0,0.
-
İkinci satır değişmiyor
-
eksi 1,0,1
-
Ne yapıcam demiştim?
-
2 çarpı satır ikiyi satır üçten çıkarıcam
-
Burası 0 eksi 2 çarpı 0 eşittir 0 olur.
-
2 eksi 2 çarpı 1 eşittir 0.
-
1 eksi 2 çarpı 0 eşittir 1.
-
0 eksi 2 çarpı eksi 1 eşittir---hatırlayalım 0 eksi
-
2 çarpı eksi 1.
-
0 eksi eksi 2 eşittir artı 2.
-
1 eksi 2 çarpı 0
-
Bu yine 1 dir
-
0 eksi 2 çarpı 1
-
bu eksi 2 olur
-
--
-
Doğru yaptım mı?
-
Emin olmak istiyorum.
-
0 eksi 2 çarpı--doğru,2 çarpı eksi 1 eşittir eksi 2.
-
çıkarma yaptığım için de artı oluyor
-
Tamam bayağı yaklaştık.
-
Bu nerdeyse birim matris ya da azaltılmış satır
-
basamak formuna benzemiş durumda
-
Burdaki 1 hariç.
-
Sonunda bu satıra da dokunucaz
-
Ne yapabilirim?
-
Ne dersiniz acaba üst satırı , üst satır eksi alt satır ile
-
değiştirsek?
-
Çünkü bundan bunu çıkarırsam
-
burası 0 olacak
-
Hadi yapalım.
-
Üst satırı ,üst satır eksi üçüncü satır ile değiştiririm.
-
--
-
1 eksi 0 eşittir 1.
-
0 eksi 0 eşittir 0
-
1 eksi 1 eşittir 0
-
Bizim amacımız da buydu
-
Şimdi 1 eksi 2 eşittir eksi 1.
-
0 eksi 1 eşittir eksi 1..
-
0 eksi ,eksi 2 eşittir artı 2.
-
Diğer satırlar aynı kalıyor.
-
0,1,0,eksi 1,0,1
-
Sonra 0,0,1,2,1,eksi 2.
-
İşte oldu.
-
Sol tarafta birtakım işlemler yaptık
-
---
-
Aynı işlemleri sağ tarafa da yaptık.
-
--
-
Bu birim matris ya da diğer bir deyişle
-
azaltılmış satır basamak formu oldu.
-
Bunu yaparken Gauss-Jordan yok etme yöntemini kullandık.
-
Bu nedir?
-
Bu baştaki matrisin tersidir.
-
Bununla bunun çarpımı birim matris olur.
-
O zaman bu A ise bu da A nın tersidir.
-
Bütün yapacağımız bu.
-
Gördüğünüz gibi bu daha öncesine göre yarı zaman aldı
-
ve daha az karışık matematik içerdi--ek matrisler,
-
kofaktörler ve determinantlar kullandığımız metoda nazaran.
-
--
-
Eğer bunun hakkında düşünürseniz size nasıl işlediğine dair
-
ufak bir ipucu da verebilirim.
-
Sol tarafta yaptığım tüm işlemleri çarpma gibi
-
düşünebilirsiniz--burdan buraya gelmek için
-
çarptım.
-
Diyebilirsiniz ki bir matris var ve bu matrisle çarpınca
-
bu operasyonu yapmış oluyorum
-
--
-
Sonra da bir başka matrisle çarpıp bu operasyonu
-
yaptım.
-
Sonuç olarak yaptığımız bir seri matrisle çarpıp
-
bu noktaya gelmek oldu.
-
Eğer bütün bu bizim eliminasyon ya da yoketme
-
dediğimiz matrislerle çarpınca ,aslında matrisin
-
tersiyle çarpmış oluyorsun
-
Ne söylüyorum?
-
Eğer A matrisimiz olsa , burdan buraya gitmek için
-
A matrisi ile eliminasyon yani yoketme matrisini çarparız
-
Bu sizin aklınızı karıştırırsa yok farzedin
-
ama aydınlatıcı olabilir.
-
Bunda neyi yok ettik?
-
3 ve 1 i yok ettik
-
Yoketme matrisi ile çarptık.
-
3,1 ,buraya gelmek için
-
Sonra burdan buraya gitmek için
-
başka bir matrisle çarptık.
-
Daha söylicem.
-
Size bu yoketme matrislerini nasıl oluşturduğumuzu
-
göstericem
-
Yoketme matrisi ile çarparız.
-
Aslında burada bir satır değişmesi yaptık.
-
Buna ne dersiniz bilmem.
-
Buna yer değiştirme matrisi denebilir.
-
İkinci satırı üçüncü ile değiştirdik.
-
Burda ise,yoketme matrisi ile çarptık---
-
ne yaptık?
-
Bunu yok ettik.Bu satır 3 sıra 2 idi
-
3,2.
-
Ve son olarak ,buraya gelmek için,
-
yoketme matrisi ile çarptık.
-
Bunu yok etmemiz lazımdı.
-
Ve satır 1,sütun 3ü yok ettik
-
--
-
Şimdi anlamanızı istediğim şu ki bu matrislerin ne olduğu
-
önemli değil.
-
Bu matrisleri nasıl oluşturduğumuzu göstericem.
-
Ama şuna inanmanızı istiyorum ki bu operasyonlardan
-
herbirini bir matrisle çarparak yapabilirdik.
-
---
-
Şunu biliyoruz ki bütün bu matrislerle çarparak
-
sonunda birim matrisi elde ettik.
-
Burda.
-
Demek ki bütün bu matrislerin birleşmesiyle, onları
-
birbirleriyle çarparak elde ettiğimiz matris, A nın tersi olan
-
matrisdir.
-
Bütün bu yoketme ve satır değiştirme matrislerini
-
çarparsam ,A nın tersini elde ederim.
-
Çünkü tüm bunları A ile çarparsak , tersini buluruz.
-
--
-
Ne oldu?
-
Eğer bu matrisler hep birlikte ters matris ise ve
-
birim matrisi ile onları çarparsam---
-
yoketme matrisi ,bu çarpı bu eşittir şu
-
--
-
Bu çarpı bu eşittir bu
-
Bu çarpı bu eşittir bu.
-
Ve böyle gider..
-
Aslında benim yaptığım--tüm bunları birleştirirsek--
-
A nın tersi ile birim matrisi çarpıyorum.
-
Bu resmin büyüğünü düşünseniz---sizin aklınızı
-
karıştırmak istemiyorum
-
Bu noktada ne y aptığımı anlamanız bana yeter.
-
--
-
Tüm bu işlemlerde yaptığımız aslında ek gelmiş bu
-
matrisin her iki tarafını da Anın tersi ile çarpmaktır.
-
--
-
Bunu A nın tersi ile çarpıp birim matrisi elde ettim.
-
--
-
Ama ters matrisi birim matrisle çarparsam,yine
-
ters matris elde ederim.
-
Neyse aklınızı karıştırmak istemiyorum.
-
Ümit ederim ki bu size biraz fikir vermiştir.
-
Daha sonra bunu daha elle tutulur örneklerle yapıcam.
-
Ama görüyorsunuz ki bu yöntem kofaktörler,ek matrisler
-
minör matrisler ve determinantlarla yaptığımız çözümden
-
çok daha basit.
-
Neyse, bir sonraki videoda görüşmek üzere..
