Şimdi size 3 e 3 bir matrisin tersini bulmanın benim
tercih ettiğim yolunu göstericem.
Bence çok da eğlenceli.
Ve dikkat hatası yapma şansınız daha az.
Ama cebir 2 dersinden doğru hatırlıyorsam,
okulda bu şekilde öğretmiyorlardı.
Onun için ben de önce öteki yolu öğrettim.
Şimdi bunu yapalım.
İlerde bir başka videoda niye böyle olduğunu öğretirim.
Çünkü bu her zaman önemlidir.
Ama lineer cebirde bu konu önce işleminin nasıl
yapılacağını öğrenip sonra niyesini öğreneceğiniz
birkaç konudan biridir.
Çünkü nasıl yapıldığı çok mekaniktir.
Genelde de basit bir aritmetik içerir.
--
Ama niyesi biraz daha derindir.
Onun için onu sonraki videolara bırakıcam.
Zaten eğer birşeyin nasıl yapıldığını biliyorsanız
niye yapıldığı konusunda da daha derin düşünebilirsiniz.
Neyse biz baştaki matrisimize dönelim.
Geçen videoda işlediğimiz matris neydi?
--
Şuydu--1,0,1,0,2,1,1,1,1.
Ve biz bu matrisin tersini bulmak istedik.
Şimdi yapacağımız şu.
Gauss-Jordan yoketme metodunu kullanarak
matrisin tersini bulacağız.
Yapacaklarımız size biraz sihir,biraz da büyü gibi
gelebilir ama daha sonraki videolarda görüceksiniz ki
herşey gayet mantıklı.
Yapacağımız bu matrise ek yapmak olacak.
Ek yapmak ne demek?
Matrise bir ilave olacak demektir.
Ayırma çizgisini çizerim.
Bazıları çizmez.
Eğer buraya ayırma çizgisi çizersem,
çizginin öteki tarafına ne yazarım.
Öteki tarafa aynı boyutlarda birim matris yazarım.
Bu 3 e 3,onun için 3 e 3 birim matris yazarım.
Bu 1,0,0,0,1,0,0,0,1.
Evet,şimdi ne yapacağız?
Şimdi bir seri yalın satır işlemler i yapıcaz.
-
Size şimdi hangi işlemlerin geçerli olduğunu söylicem.
--
Bu taraftaki satırlara ne yapıyorsam aynısını diğer
taraftaki satırda da yapmalıyım.
Ve amacım sol tarafa bir takım işlemler uygulamaktır.
--
Ve tabiiki aynı işlemler sağ tarafa da uygulanacak
ta ki sol tarafta birim matris kalana kadar.
--
Sol tarafta birim matris olunca
sağ tarafta oluşan matris de baştaki matrisimizin
tersidir.
Sol taraf birim matris olunca biz buna azaltılmış satır
basamak formu diyoruz
Ve bunun hakkında daha konuşucam.
Linear cebirde bir sürü isim ve başlık vardır.
Aslında bunlar bayağı basit kavramlar
Neyse artık başlayalım da buna biraz açıklık gelsin.
--
En azından yöntem açiklık kazanacak
Niye olduğu daha anlaşılmayabilir.
İlk olarak bir takım işlemler yapacağım.
--
Geçerli operasyonlar hangileriydi?
Onlara yalın satır işlemleri diyoruz.
Yapabileceğim birkaç şey var.
Bir satırın yerine o satırın bir sayı ile
çarpılmış halini yazabilirim.
Bunu yapabilirim.
İki satırı alıp birbirlerinin yerine koyabilirim.
Tabii mesela birinci ve ikinci satırlarınn yerlerini değiştirirsem
burada da yapmam gerekir.
Ayrıca bir satırıı bir başka satıra ekleyebilir veya çıkarabilirim.
Bunu y aparsam--mesela bu satırı alıp
yerine bu satırla bunun toplamını koyabilirim.
Ne demek istediğimi şimdi anlıyacaksınız.
Ve birleştirirseniz,dersiniz ki,
bu satırı eksi 1 ile çarpıcam ve
bu satıra eklicem, ve bu satırla yer değiştiricem.
Eğer bu yaptıklarımı lineer denklem sistemlerini
çözmeye benzettiyseniz bu bir tesadüf değil.
--
Ç ünkü matrisler bu konuda çok güzel bir ifade
şeklidir.
Neyse biz birtakım satır işlemleri yapalım ve
sol tarafı azaltılmış satır basamak formuna sokalım.
Bu aslında sol taraftaki matrisi birim matris
haline getirelim demenin süslü şeklidir.
Ne istediğimize bakalım
1 lerin hepsi burda olsun istiyoruz
Bunların da sıfır olmasını istiyoruz.
Bakalım bunu rasyonel bir şekilde nasıl yapabiliriz.
matrisi yeniden çizelim.
Burada bir 0 oluşturucaz.
Bu kolay olur.
Üst iki sırayı aynı bırakıcam.
1,0,1
Ayırma çizgim var.
1,0,0.
Burda birşey yapmadım.
İkinci satıra da birşey yapmıyorum.
0,2,1
--
o,1,0
Şimdi şunu y apalım.Bu satırın yerine---
biliyorsunuz amacım burasının sıfır olması
--
Burda birim matris olmasına biraz daha yaklaştık.
--
O zaman burasını nasıl sıfır yaparız?
bu satırın yerine,bu satır eksi bu satırı koyarız
--
Üçüncü satır yerine üçüncü satır eksi
birinci satırı koyarım.
Üçüncü satır eksi birinci satır nedir?
1 eksi 1 eşit 0
1 eksi 0 eşit 1.
1 eksi 1 eşit 0.
Sol tarafta yaptıklarımın aynısını sağ tarafta da yapmalıyım.
---
Bunun yerine bu eksi bunu koyıcaz.
0 eksi 1 eşittir eksi 1.
0 eksi 0 eşittir 0.
1 eksi 0 eşittir 1.
Güzel
Şimdi ne yapıcaz?
Bu satır, bu üçüncü satır, 0 ve 0 diye başladığı için
birim matrisinin ikinci satırına çok benziyor.
--
O zaman neden bu iki satırın yerini değiştir miyoruz?
Neden birinci ve ikinci satırların yerini değiştirmiyorum?
Hadi yapalım.
Birinci satır ile ikincinin yerini değiştireceğim.
Birinci satır aynı kalıyor
1,0,1
Öteki taraf da aynı kalıyor
ve ikinci satır ile üçüncünün yerini değiştiriyoruz.
Şimdi benim ikinci satırım 0,1,0 oluyor
Sağ tarafı da değiştirmeliyim.
Eksi 1,0,1.
Sadece bu ikisini değiştiriyorum.
O zaman üçüncü satır şimdiki ikincinin yerinde olacak.
0,2,1.
ve 0,1,0
Güzel.
Şimdi ne yapmak istiyorum?
Burda bir 0 olsaydı iyi olurdu.
Bu beni birim matrise biraz daha yakınlaştırırdı.
Burda nasıl 0 olabilir?
İki çarpı satır 2 yi satır 1 den çıkarırsam ne olur?
Burası 1 çarpı 2 eşit 2.
Bunu bundan çıkarırsam burası 0 oluyor.
Hadi yapalım.
İlk satır çok şanslı.
Hiçbirşey yapmak zorunda değildi.
Orada duruyor.
1,0,1,1,0,0.
İkinci satır değişmiyor
eksi 1,0,1
Ne yapıcam demiştim?
2 çarpı satır ikiyi satır üçten çıkarıcam
Burası 0 eksi 2 çarpı 0 eşittir 0 olur.
2 eksi 2 çarpı 1 eşittir 0.
1 eksi 2 çarpı 0 eşittir 1.
0 eksi 2 çarpı eksi 1 eşittir---hatırlayalım 0 eksi
2 çarpı eksi 1.
0 eksi eksi 2 eşittir artı 2.
1 eksi 2 çarpı 0
Bu yine 1 dir
0 eksi 2 çarpı 1
bu eksi 2 olur
--
Doğru yaptım mı?
Emin olmak istiyorum.
0 eksi 2 çarpı--doğru,2 çarpı eksi 1 eşittir eksi 2.
çıkarma yaptığım için de artı oluyor
Tamam bayağı yaklaştık.
Bu nerdeyse birim matris ya da azaltılmış satır
basamak formuna benzemiş durumda
Burdaki 1 hariç.
Sonunda bu satıra da dokunucaz
Ne yapabilirim?
Ne dersiniz acaba üst satırı , üst satır eksi alt satır ile
değiştirsek?
Çünkü bundan bunu çıkarırsam
burası 0 olacak
Hadi yapalım.
Üst satırı ,üst satır eksi üçüncü satır ile değiştiririm.
--
1 eksi 0 eşittir 1.
0 eksi 0 eşittir 0
1 eksi 1 eşittir 0
Bizim amacımız da buydu
Şimdi 1 eksi 2 eşittir eksi 1.
0 eksi 1 eşittir eksi 1..
0 eksi ,eksi 2 eşittir artı 2.
Diğer satırlar aynı kalıyor.
0,1,0,eksi 1,0,1
Sonra 0,0,1,2,1,eksi 2.
İşte oldu.
Sol tarafta birtakım işlemler yaptık
---
Aynı işlemleri sağ tarafa da yaptık.
--
Bu birim matris ya da diğer bir deyişle
azaltılmış satır basamak formu oldu.
Bunu yaparken Gauss-Jordan yok etme yöntemini kullandık.
Bu nedir?
Bu baştaki matrisin tersidir.
Bununla bunun çarpımı birim matris olur.
O zaman bu A ise bu da A nın tersidir.
Bütün yapacağımız bu.
Gördüğünüz gibi bu daha öncesine göre yarı zaman aldı
ve daha az karışık matematik içerdi--ek matrisler,
kofaktörler ve determinantlar kullandığımız metoda nazaran.
--
Eğer bunun hakkında düşünürseniz size nasıl işlediğine dair
ufak bir ipucu da verebilirim.
Sol tarafta yaptığım tüm işlemleri çarpma gibi
düşünebilirsiniz--burdan buraya gelmek için
çarptım.
Diyebilirsiniz ki bir matris var ve bu matrisle çarpınca
bu operasyonu yapmış oluyorum
--
Sonra da bir başka matrisle çarpıp bu operasyonu
yaptım.
Sonuç olarak yaptığımız bir seri matrisle çarpıp
bu noktaya gelmek oldu.
Eğer bütün bu bizim eliminasyon ya da yoketme
dediğimiz matrislerle çarpınca ,aslında matrisin
tersiyle çarpmış oluyorsun
Ne söylüyorum?
Eğer A matrisimiz olsa , burdan buraya gitmek için
A matrisi ile eliminasyon yani yoketme matrisini çarparız
Bu sizin aklınızı karıştırırsa yok farzedin
ama aydınlatıcı olabilir.
Bunda neyi yok ettik?
3 ve 1 i yok ettik
Yoketme matrisi ile çarptık.
3,1 ,buraya gelmek için
Sonra burdan buraya gitmek için
başka bir matrisle çarptık.
Daha söylicem.
Size bu yoketme matrislerini nasıl oluşturduğumuzu
göstericem
Yoketme matrisi ile çarparız.
Aslında burada bir satır değişmesi yaptık.
Buna ne dersiniz bilmem.
Buna yer değiştirme matrisi denebilir.
İkinci satırı üçüncü ile değiştirdik.
Burda ise,yoketme matrisi ile çarptık---
ne yaptık?
Bunu yok ettik.Bu satır 3 sıra 2 idi
3,2.
Ve son olarak ,buraya gelmek için,
yoketme matrisi ile çarptık.
Bunu yok etmemiz lazımdı.
Ve satır 1,sütun 3ü yok ettik
--
Şimdi anlamanızı istediğim şu ki bu matrislerin ne olduğu
önemli değil.
Bu matrisleri nasıl oluşturduğumuzu göstericem.
Ama şuna inanmanızı istiyorum ki bu operasyonlardan
herbirini bir matrisle çarparak yapabilirdik.
---
Şunu biliyoruz ki bütün bu matrislerle çarparak
sonunda birim matrisi elde ettik.
Burda.
Demek ki bütün bu matrislerin birleşmesiyle, onları
birbirleriyle çarparak elde ettiğimiz matris, A nın tersi olan
matrisdir.
Bütün bu yoketme ve satır değiştirme matrislerini
çarparsam ,A nın tersini elde ederim.
Çünkü tüm bunları A ile çarparsak , tersini buluruz.
--
Ne oldu?
Eğer bu matrisler hep birlikte ters matris ise ve
birim matrisi ile onları çarparsam---
yoketme matrisi ,bu çarpı bu eşittir şu
--
Bu çarpı bu eşittir bu
Bu çarpı bu eşittir bu.
Ve böyle gider..
Aslında benim yaptığım--tüm bunları birleştirirsek--
A nın tersi ile birim matrisi çarpıyorum.
Bu resmin büyüğünü düşünseniz---sizin aklınızı
karıştırmak istemiyorum
Bu noktada ne y aptığımı anlamanız bana yeter.
--
Tüm bu işlemlerde yaptığımız aslında ek gelmiş bu
matrisin her iki tarafını da Anın tersi ile çarpmaktır.
--
Bunu A nın tersi ile çarpıp birim matrisi elde ettim.
--
Ama ters matrisi birim matrisle çarparsam,yine
ters matris elde ederim.
Neyse aklınızı karıştırmak istemiyorum.
Ümit ederim ki bu size biraz fikir vermiştir.
Daha sonra bunu daha elle tutulur örneklerle yapıcam.
Ama görüyorsunuz ki bu yöntem kofaktörler,ek matrisler
minör matrisler ve determinantlarla yaptığımız çözümden
çok daha basit.
Neyse, bir sonraki videoda görüşmek üzere..