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사진 속의 사람은
르네 데카르트입니다
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수학과 철학계에
뛰어난 업적을 남긴 인물이죠
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수학과 철학계에
뛰어난 업적을 남긴 인물이죠
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여러분도 알겠지만
보통 위대한 철학자는
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위대한 수학자이기도 합니다
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반대로 위대한 수학자가
위대한 철학자이기도 하죠
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데카르트는 당시에
갈릴레오와 같은 사람이었어요
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갈릴레오보다 32살이나 젊었지만
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갈릴레오가 떠난 뒤
얼마 지나지 않아 생을 마쳤어요
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휠씬 더 어린 나이에 떠났습니다
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갈릴레오는 70대에 사망했지만
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데카르트는 54살때 사망했습니다
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데카르트는 이 명언으로
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대중들에게 가장 잘
알려져 있어요
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매우 철학적인 명언이죠
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"나는 생각한다, 고로 존재한다"
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이것 말고 다른 명언도
알려주고 싶습니다
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수학과 별로 관련은 없지만
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아주 좋은 명언이라고 생각해요
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아마 데카르트의
가장 잘 알려지지 않은 명언일 거예요
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바로 이 문장입니다
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제가 이 말을 좋아하는 이유는
아주 현실적이기 때문이죠
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왜냐하면 수학과 철학계의
기둥과도 같은
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이런 위대한 인물도
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결국에는 인간이었다는 걸
알려줍니다
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결국에는 인간이었다는 걸
알려줍니다
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그는 "계속 나아가라
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계속 나아가라
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나는 저지를 수 있는
모든 실수를 다 저질렀다
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그러나 계속해서 나아갔다"
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이 문장은 굉장히 유용한
인생의 교훈이라고 생각합니다
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그는 철학과 수학 분야에서
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많은 업적을 남겼는데요
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하지만 대수학 기초를 배울 때
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데카르트 이야기를 하는 이유는
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그가 바로 대수학과
기하학을 연결하는데
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그가 바로 대수학과
기하학을 연결하는데
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가장 큰 공헌을 한
사람이기 때문입니다
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왼쪽에 대수학의 세계가 있습니다
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왼쪽에 대수학의 세계가 있습니다
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전에 조금
이야기해 본 것들입니다
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여기 기호와 방정식이 있는데
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이 기호들은
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특정한 값들을 가질수 있어요
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예를 들어 다음과 같죠
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y = 2x - 1
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이 식은 어떤 x와 y의
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이 식은 어떤 x와 y의
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관계를 알려줍니다
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심지어 여기 표를 만들고
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x값을 고르면
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y값이 무엇인지
알 수도 있습니다
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무작위로 x값을 고르고
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y 값을 알아낼 수도 있어요
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일단은 간단한 값을
골라 볼게요
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계산이 너무 복잡해지지 않게요
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예를 들어
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만악에 x가 -2면
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그때 y값은 2 x (-2) -1
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2 x (-2) -1
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그럼 -4 -1 이네요
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-5에요
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만약 x가 -1이라면
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y는 2 x (-1) -1
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그것은
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-2 -1 이니까 -3이네요
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만약 x가 0이면
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y 값은 2 x 0 -1
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2 x 0 은 0 이니까
그냥 -1이네요
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몇 개 더 할게요
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만약 x가 1이면
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아무 값이나 골라도 돼요
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x가 √-2일 때 y의 값이나
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x가 √-2일 때 y의 값이나
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아님 x가 -5/2일 때 y의 값
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혹은 6/7을 골랐을 수도 있죠
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하지만 간단한 수를 골랐어요
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그러면 y값을 구하는
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계산이 훨씬 쉬워지거든요
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하지만 만약 x가 1이면
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y는 2 × 1 -1
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2 x 1은 2이고
-1을하면 1이네요
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아직 쓰지 않은 색을 골라서
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하나 더 해 보겠습니다
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보라색으로 써보죠
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만약 x가 2이면
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y값은
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2 × 2 -1 (x가 2이니까요)
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그럼 4-1이고 그건 3이네요
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지금까지 한 관계식을
예로 들었는데
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지금까지 한 관계식을
예로 들었는데
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먼저 이 식을 써서
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y와 x 변수 사이의
관계를 보여줬어요
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다음에는 구체적으로
값으로 나타냈어요
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x를 여기 있는 값 중
하나라고 가정하고
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x를 여기 있는 값 중
하나라고 가정하고
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각 x값에 대응하는
y값을 알 수 있었죠
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각 x값에 대응하는
y값을 알 수 있었죠
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데카르트가 깨달은 사실은
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이걸 시각적으로
나타낼 수 있다는 것이었습니다
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우선 각각의 점을
시각적으로 나타낼 수 있어요
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이렇게 하면
점 사이의 관계도 시각적으로 나타낼 수 있어요
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이렇게 하면
점 사이의 관계도 시각적으로 나타낼 수 있어요
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데카르트는 결국
추상적인 대수학의 세계를
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데카르트는 결국
추상적인 대수학의 세계를
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도형과 각도가 있는
기하학과 연결했어요
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도형과 각도가 있는
기하학과 연결했어요
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오른쪽의
기하학의 세계를 살펴봅시다
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당연한 사실이지만 역사 속에는
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이런 일에 기여를 했지만
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잊혀진 수많은 사람이
있을 거예요
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하지만 일반적으로
데카르트 이전의 기하학을
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유클리드 기하학이라고 합니다
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유클리드 기하학은
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여러분들이
수업 시간에 배운 것입니다
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미국 교육과정에서는
보통 8, 9, 10학년 때 배워요
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미국 교육과정에서는
보통 8, 9, 10학년 때 배워요
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유클리드 기하학은
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삼각형과 각도의 관계와
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원과 반지름의
관계에 대해서 배우고
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원과 접하는 삼각형 등에
대해서도 배워요
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원과 접하는 삼각형 등에
대해서도 배워요
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이런 것은 기하학 단원에서
깊이 배울 거예요
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이런 것은 기하학 단원에서
깊이 배울 거예요
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데카르트는
이런 대수학적인 부분을
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유클리드 기하학에서 다루는
원이나 삼각형처럼
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시각적으로 나타낼 수
있겠다고 생각했어요
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시각적으로 나타낼 수
있겠다고 생각했어요
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종이 위에 펼쳐진
2차원 평면을 생각해 봅시다
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종이 위에 펼쳐진
2차원 평면을 생각해 봅시다
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종이를 2차원 평면의
한 부분이라고 생각해 보세요
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종이를 2차원 평면의
한 부분이라고 생각해 보세요
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이 평면은
두 방향으로 움직일 수 있어서
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2차원 평면이라고 부릅니다
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위나 아래 방향으로
갈 수 있고
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위나 아래 방향으로
갈 수 있고
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제가 파란색으로 그려볼게요
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시각적으로 나타낼 때는
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기하학 부분과 똑같은
파란색으로 쓸게요
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위, 아래 방향이 있고
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오른쪽, 왼쪽 방향이 있죠
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이 때문에
2차원 평면이라고 합니다
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3차원을 다룰 때는
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앞, 뒤 방향도 있어요
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화면에서 2차원은 나타내기 쉬워요
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보이는 화면도
2차원이니까요
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데카르트는
변수가 2개 있으니까
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데카르트는
변수가 2개 있으니까
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각 변수를 2차원 평면의
한 방향과 연결하면 어떨지 생각했어요
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각 변수를 2차원 평면의
한 방향과 연결하면 어떨지 생각했어요
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관례적으로 종속 변수는
y로 나타냅니다
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종속 변수는
값에 따라 바뀌는 변수에요
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이 값은
x에 따라 바뀌는 값이에요
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이 값은
x에 따라 바뀌는 값이에요
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y를 수직축에 놓읍시다
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그리고 여기 독립변수를 놓을게요
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이 값을 어떻게
바꾸느냐에 따라
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y값이 바뀝니다
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이걸 수평축에 놓읍시다
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데카르트는 처음으로
x와 y를 쓰기 시작했어요
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데카르트는 처음으로
x와 y를 쓰기 시작했어요
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나중에 대수학을 더 배우면
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미지수로 다루게 되는 z도요
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그는 x와 y 축에 수를
배열했어요
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그는 x와 y 축에 수를
배열했어요
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먼저 x축 방향에서
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여긴 -3으로 하고
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여긴 -2로 하고
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여긴 -1
-
여긴 0
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x축 방향에만
수를 나열하는 거예요
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왼쪽 오른쪽 방향입니다
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이제 여긴 1
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여긴 2
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여긴 3
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y축 방향도
똑같이 할 수 있죠
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y축 방향도
똑같이 할 수 있죠
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여길 -5, -4, -3
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좀 더 깔끔하게 할게요
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이걸 좀 지우고요
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좀 지우고 이걸 더 연장하죠
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너무 지저분하게 보이지 않고
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-5까지 쭉 내려갈 수 있게요
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여기까지 쭉 내려가서
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숫자를 써봅시다
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여긴 1, 여긴 2, 여긴 3
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그리고 여긴 -1,
-
-2
관례상 이렇게 나타내는 거예요
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반대 순서로 적어도 됩니다
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x를 여기에 두기로 하고
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y를 여기에 두고
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왼쪽을 양수
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오른쪽을 음수로 정해도 됩니다
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하지만 사람들은
지금처럼 쓰기로 약속했어요
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데카르트가 처음 쓰기 시작했죠
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-2, -3,-4, -5
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데카르트는 두 값을 보고
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값 한 쌍 한 쌍을
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2차원 평면의 한 점에
지정할 수 있겠다고 생각했어요
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먼저 x좌표는
x값과 연관시켰죠
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여기서 -2를 고르고
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x축은 왼쪽,오른쪽
방향으로 뻗은 축이고
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음수니까 왼쪽에 있겠네요
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이 점을 수직축에 찍은
-5와 연관시킵니다
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y 값이 -5니까
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왼쪽으로 2칸
아래로 5칸을 가서
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이 지점에 점을 찍습니다
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-2와 -5
두 값을
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2차원 평면 상의
이 점과 같다고 본 것이죠
-
2차원 평면 상의
이 점과 같다고 본 것이죠
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그래서 이 점에
좌표를 지정합니다
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(-2, -5)라는 좌표를 지정해 줍니다
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이 좌표를
데카르트 좌표라고 해요
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르네 데카르트의
이름을 딴 것이죠
-
르네 데카르트의
이름을 딴 것이죠
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두 변수 사이의 관계를
2차원 평면 상의 점과 연관시켰어요
-
두 변수 사이의 관계를
2차원 평면 상의 점과 연관시켰어요
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그는 점을 하나
더 찍었어요
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아래에 또 다른 관계를 보고
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x가 -1이고 y가-3이므로
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x가 -1이고 y가-3이므로
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이 점이네요
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그리고 또 한번 관례적으로
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이 좌표를 나타낼 때는
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x좌표를 먼저쓰고
y좌표를 써요
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이렇게 하기로 약속한 거예요
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-1,-3은 여기 이 점이네요
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그리고 x가 0이고
y가-1이면
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x은 0이에요
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오른쪽도 왼쪽도 아닌
중앙이에요
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y는 -1이니까
한 칸 아래로 가면
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여기 이 점
(0,-1)이네요
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바로 여기요
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계속해 볼까요?
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여기 x = 1일 때
y = 1
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x = 2, y = 3
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똑같이 보라색으로 해보죠
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x = 2, y = 3
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그리고 주황색이 (1,1)이에요
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깔끔해 보입니다
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x값에 따라
좌표를 찍어서 나타냈어요
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여기서 데카르트는
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가능한 x값을
나타낼 수 있을 뿐만 아니라
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계속 좌표를 찍어서
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점 사이에
무수히 많은 점을 찍으면
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결국 직선이 나오게 된다는 걸
깨달았어요
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그릴 수 있는
모든 점을 그리면
-
이렇게 직선이 나옵니다
-
이렇게 생긴 직선을
그릴 수 있어요
-
무작위 x값을 고르고
대응되는 y값을 구하면
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그 좌표는
이 직선 위의 한 점이에요
-
반대로 생각하면
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어떤 점이든
이 직선 위의 점은
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이 방정식의
해가 될 수 있다는 거예요
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예를 들어 이 점은
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x값은 1과 1/2이고
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y값은 2네요
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(1.5, 2)
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이 점은 방정식의 해에요
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x가 1.5일 때
2 × 1.5 = 3 -1 = 2입니다
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바로 여기요
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이렇게 데카르트는
대수학과 기하학 사이의 관계를 정립했어요
-
이렇게 데카르트는
대수학과 기하학 사이의 관계를 정립했어요
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이 방정식을 만족하는
모든 순서쌍을
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이처럼 그래프로 그려서
나타낸 것입니다
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데카르트는 이런 관계를
처음으로 연결지었어요
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순서쌍을 이렇게
좌표로 나타내는 것이
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데카르트 좌표라고
불리는 이유입니다
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대수학을 배울 때
처음 나오는 방정식은
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여기에 있는 꼴의
방정식입니다
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일반적인 교과과정에서
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이런 방정식을
일차방정식, 또는 선형방정식이라고 합니다
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일차방정식 (선형방정식)
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방정식을 보고
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x와 y 사이의
관계는 알겠어도
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도대체 왜 선형방정식이라고
하는지 모르겠다면
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도대체 왜 선형방정식이라고
하는지 모르겠다면
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데카르트가 생각한 대로
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그래프로 그려서 생각해 보세요
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유클리드 평면 위에
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데카르트 좌표을 이용해서
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좌표를 찍어서 연결하면
직선이 나옵니다
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그리고 나중에 보겠지만
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직선의 그래프가 나오지 않는
방정식도 있습니다
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곡선이나 들쭉날쭉 한
그래프가 나오기도 해요
