0:00:00.682,0:00:03.636
사진 속의 사람은[br]르네 데카르트입니다

0:00:03.636,0:00:05.698
수학과 철학계에[br]뛰어난 업적을 남긴 인물이죠

0:00:05.698,0:00:07.554
수학과 철학계에[br]뛰어난 업적을 남긴 인물이죠

0:00:07.554,0:00:10.843
여러분도 알겠지만[br]보통 위대한 철학자는

0:00:10.843,0:00:12.730
위대한 수학자이기도 합니다

0:00:12.730,0:00:14.350
반대로 위대한 수학자가 [br]위대한 철학자이기도 하죠

0:00:14.350,0:00:16.811
데카르트는 당시에[br]갈릴레오와 같은 사람이었어요

0:00:16.811,0:00:18.733
갈릴레오보다 32살이나 젊었지만

0:00:18.733,0:00:21.706
갈릴레오가 떠난 뒤 [br]얼마 지나지 않아 생을 마쳤어요

0:00:21.706,0:00:23.467
휠씬 더 어린 나이에 떠났습니다

0:00:23.467,0:00:25.400
갈릴레오는 70대에 사망했지만

0:00:25.400,0:00:28.067
데카르트는 54살때 사망했습니다

0:00:28.067,0:00:30.277
데카르트는 이 명언으로

0:00:30.277,0:00:32.493
대중들에게 가장 잘 [br]알려져 있어요

0:00:32.493,0:00:33.590
매우 철학적인 명언이죠

0:00:33.590,0:00:35.727
"나는 생각한다, 고로 존재한다"

0:00:35.727,0:00:37.467
이것 말고 다른 명언도 [br]알려주고 싶습니다

0:00:37.467,0:00:38.867
수학과 별로 관련은 없지만

0:00:38.867,0:00:40.733
아주 좋은 명언이라고 생각해요

0:00:40.733,0:00:42.800
아마 데카르트의 [br]가장 잘 알려지지 않은 명언일 거예요

0:00:42.800,0:00:44.187
바로 이 문장입니다

0:00:44.187,0:00:46.800
제가 이 말을 좋아하는 이유는 [br]아주 현실적이기 때문이죠

0:00:46.800,0:00:49.232
왜냐하면 수학과 철학계의[br]기둥과도 같은

0:00:49.232,0:00:51.073
이런 위대한 인물도

0:00:51.073,0:00:52.282
결국에는 인간이었다는 걸 [br]알려줍니다

0:00:52.282,0:00:54.467
결국에는 인간이었다는 걸 [br]알려줍니다

0:00:54.467,0:00:56.498
그는 "계속 나아가라

0:00:56.498,0:00:58.043
계속 나아가라

0:00:58.043,0:01:00.015
나는 저지를 수 있는 [br]모든 실수를 다 저질렀다

0:01:00.015,0:01:01.651
그러나 계속해서 나아갔다"

0:01:01.651,0:01:05.267
이 문장은 굉장히 유용한 [br]인생의 교훈이라고 생각합니다

0:01:05.267,0:01:07.183
그는 철학과 수학 분야에서

0:01:07.183,0:01:08.827
많은 업적을 남겼는데요

0:01:08.827,0:01:10.932
하지만 대수학 기초를 배울 때

0:01:10.932,0:01:12.723
데카르트 이야기를 하는 이유는

0:01:12.723,0:01:15.600
그가 바로 대수학과[br]기하학을 연결하는데

0:01:15.600,0:01:17.800
그가 바로 대수학과[br]기하학을 연결하는데

0:01:17.800,0:01:21.425
가장 큰 공헌을 한 [br]사람이기 때문입니다

0:01:21.425,0:01:22.898
왼쪽에 대수학의 세계가 있습니다

0:01:22.898,0:01:24.752
왼쪽에 대수학의 세계가 있습니다

0:01:24.752,0:01:26.415
전에 조금 [br]이야기해 본 것들입니다

0:01:26.415,0:01:28.477
여기 기호와 방정식이 있는데

0:01:28.477,0:01:29.766
이 기호들은

0:01:29.766,0:01:31.663
특정한 값들을 가질수 있어요

0:01:31.663,0:01:32.800
예를 들어 다음과 같죠

0:01:32.800,0:01:37.677
y = 2x - 1

0:01:37.677,0:01:39.267
이 식은 어떤 x와 y의

0:01:39.267,0:01:40.733
이 식은 어떤 x와 y의

0:01:40.733,0:01:42.133
관계를 알려줍니다

0:01:42.133,0:01:44.333
심지어 여기 표를 만들고

0:01:44.333,0:01:46.123
x값을 고르면

0:01:46.123,0:01:47.932
y값이 무엇인지[br]알 수도 있습니다

0:01:47.932,0:01:51.652
무작위로 x값을 고르고

0:01:51.652,0:01:53.133
y 값을 알아낼 수도 있어요

0:01:53.133,0:01:55.000
일단은 간단한 값을 [br]골라 볼게요

0:01:55.000,0:01:57.662
계산이 너무 복잡해지지 않게요

0:01:57.662,0:01:59.252
예를 들어

0:01:59.252,0:02:00.533
만악에 x가 -2면

0:02:00.533,0:02:03.600
그때 y값은 2 x (-2) -1

0:02:03.600,0:02:06.513
2 x (-2) -1

0:02:06.513,0:02:10.113
그럼 -4 -1 이네요

0:02:10.113,0:02:11.907
-5에요

0:02:11.907,0:02:14.785
만약 x가 -1이라면

0:02:14.785,0:02:20.452
y는 2 x (-1) -1

0:02:20.452,0:02:21.733
그것은

0:02:21.733,0:02:24.554
-2 -1 이니까 -3이네요

0:02:24.554,0:02:28.725
만약 x가 0이면

0:02:28.725,0:02:32.590
y 값은 2 x 0 -1

0:02:32.600,0:02:35.437
2 x 0 은 0 이니까 [br]그냥 -1이네요

0:02:35.437,0:02:36.963
몇 개 더 할게요

0:02:36.963,0:02:37.942
만약 x가 1이면

0:02:37.942,0:02:39.421
아무 값이나 골라도 돼요

0:02:39.421,0:02:40.352
x가 √-2일 때 y의 값이나

0:02:40.352,0:02:42.005
x가 √-2일 때 y의 값이나

0:02:42.005,0:02:45.067
아님 x가 -5/2일 때 y의 값

0:02:45.067,0:02:47.417
혹은 6/7을 골랐을 수도 있죠

0:02:47.417,0:02:49.000
하지만 간단한 수를 골랐어요

0:02:49.000,0:02:50.600
그러면 y값을 구하는

0:02:50.600,0:02:52.170
계산이 훨씬 쉬워지거든요

0:02:52.170,0:02:54.133
하지만 만약 x가 1이면

0:02:54.133,0:02:57.338
y는 2 × 1 -1

0:02:57.338,0:02:59.733
2 x 1은 2이고 [br]-1을하면 1이네요

0:02:59.733,0:03:03.052
아직 쓰지 않은 색을 골라서

0:03:03.052,0:03:05.133
하나 더 해 보겠습니다

0:03:05.133,0:03:06.667
보라색으로 써보죠

0:03:06.667,0:03:08.041
만약 x가 2이면

0:03:08.041,0:03:09.333
y값은

0:03:09.333,0:03:14.005
2 × 2 -1 (x가 2이니까요)

0:03:14.005,0:03:16.615
그럼 4-1이고 그건 3이네요

0:03:16.615,0:03:17.800
지금까지 한 관계식을 [br]예로 들었는데

0:03:17.800,0:03:19.548
지금까지 한 관계식을 [br]예로 들었는데

0:03:19.548,0:03:21.223
먼저 이 식을 써서[br]

0:03:21.223,0:03:24.650
y와 x 변수 사이의 [br]관계를 보여줬어요

0:03:24.650,0:03:26.908
다음에는 구체적으로 [br]값으로 나타냈어요

0:03:26.908,0:03:28.000
x를 여기 있는 값 중 [br]하나라고 가정하고

0:03:28.000,0:03:29.012
x를 여기 있는 값 중 [br]하나라고 가정하고

0:03:29.012,0:03:31.200
각 x값에 대응하는[br]y값을 알 수 있었죠

0:03:31.200,0:03:33.480
각 x값에 대응하는[br]y값을 알 수 있었죠

0:03:33.480,0:03:35.257
데카르트가 깨달은 사실은

0:03:35.257,0:03:36.967
이걸 시각적으로 [br]나타낼 수 있다는 것이었습니다

0:03:36.967,0:03:40.405
우선 각각의 점을 [br]시각적으로 나타낼 수 있어요

0:03:40.405,0:03:42.667
이렇게 하면[br]점 사이의 관계도 시각적으로 나타낼 수 있어요

0:03:42.667,0:03:45.150
이렇게 하면[br]점 사이의 관계도 시각적으로 나타낼 수 있어요

0:03:45.150,0:03:46.943
데카르트는 결국[br]추상적인 대수학의 세계를

0:03:46.943,0:03:52.329
데카르트는 결국[br]추상적인 대수학의 세계를

0:03:52.329,0:03:55.200
도형과 각도가 있는[br]기하학과 연결했어요

0:03:55.200,0:03:57.410
도형과 각도가 있는[br]기하학과 연결했어요

0:03:57.410,0:04:02.713
오른쪽의 [br]기하학의 세계를 살펴봅시다

0:04:02.713,0:04:04.887
당연한 사실이지만 역사 속에는

0:04:04.887,0:04:07.067
이런 일에 기여를 했지만

0:04:07.067,0:04:09.067
잊혀진 수많은 사람이 [br]있을 거예요

0:04:09.067,0:04:12.467
하지만 일반적으로 [br]데카르트 이전의 기하학을

0:04:12.467,0:04:14.800
유클리드 기하학이라고 합니다

0:04:14.800,0:04:16.133
유클리드 기하학은

0:04:16.133,0:04:17.533
여러분들이[br]수업 시간에 배운 것입니다

0:04:17.533,0:04:20.333
미국 교육과정에서는[br]보통 8, 9, 10학년 때 배워요

0:04:20.333,0:04:21.893
미국 교육과정에서는[br]보통 8, 9, 10학년 때 배워요

0:04:21.893,0:04:23.370
유클리드 기하학은

0:04:23.370,0:04:28.114
삼각형과 각도의 관계와

0:04:28.114,0:04:31.497
원과 반지름의 [br]관계에 대해서 배우고

0:04:31.497,0:04:33.887
원과 접하는 삼각형 등에 [br]대해서도 배워요

0:04:33.887,0:04:35.860
원과 접하는 삼각형 등에 [br]대해서도 배워요

0:04:35.860,0:04:37.190
이런 것은 기하학 단원에서 [br]깊이 배울 거예요

0:04:37.190,0:04:39.127
이런 것은 기하학 단원에서 [br]깊이 배울 거예요

0:04:39.127,0:04:41.538
데카르트는 [br]이런 대수학적인 부분을

0:04:41.538,0:04:43.891
유클리드 기하학에서 다루는 [br]원이나 삼각형처럼

0:04:43.891,0:04:46.648
시각적으로 나타낼 수 [br]있겠다고 생각했어요

0:04:46.648,0:04:48.299
시각적으로 나타낼 수 [br]있겠다고 생각했어요

0:04:48.299,0:04:50.575
종이 위에 펼쳐진[br]2차원 평면을 생각해 봅시다

0:04:50.575,0:04:52.339
종이 위에 펼쳐진[br]2차원 평면을 생각해 봅시다

0:04:52.339,0:04:53.825
종이를 2차원 평면의[br]한 부분이라고 생각해 보세요

0:04:53.825,0:04:55.915
종이를 2차원 평면의[br]한 부분이라고 생각해 보세요

0:04:55.915,0:04:57.819
이 평면은 [br]두 방향으로 움직일 수 있어서

0:04:57.819,0:04:59.584
2차원 평면이라고 부릅니다

0:04:59.584,0:05:01.256
위나 아래 방향으로 [br]갈 수 있고

0:05:01.256,0:05:02.510
위나 아래 방향으로 [br]갈 수 있고

0:05:02.510,0:05:04.825
제가 파란색으로 그려볼게요

0:05:04.841,0:05:06.666
시각적으로 나타낼 때는

0:05:06.666,0:05:08.384
기하학 부분과 똑같은 [br]파란색으로 쓸게요

0:05:08.384,0:05:11.827
위, 아래 방향이 있고

0:05:11.827,0:05:14.139
오른쪽, 왼쪽 방향이 있죠

0:05:14.139,0:05:16.720
이 때문에 [br]2차원 평면이라고 합니다

0:05:16.720,0:05:18.160
3차원을 다룰 때는

0:05:18.160,0:05:21.339
앞, 뒤 방향도 있어요

0:05:21.339,0:05:23.200
화면에서 2차원은 나타내기 쉬워요

0:05:23.200,0:05:25.425
보이는 화면도 [br]2차원이니까요

0:05:25.425,0:05:27.071
데카르트는[br]변수가 2개 있으니까

0:05:27.071,0:05:29.744
데카르트는[br]변수가 2개 있으니까

0:05:29.744,0:05:32.548
각 변수를 2차원 평면의 [br]한 방향과 연결하면 어떨지 생각했어요

0:05:32.548,0:05:34.600
각 변수를 2차원 평면의 [br]한 방향과 연결하면 어떨지 생각했어요

0:05:34.600,0:05:38.010
관례적으로 종속 변수는 [br]y로 나타냅니다

0:05:38.010,0:05:39.421
종속 변수는 [br]값에 따라 바뀌는 변수에요

0:05:39.421,0:05:40.456
이 값은[br]x에 따라 바뀌는 값이에요

0:05:40.456,0:05:41.605
이 값은[br]x에 따라 바뀌는 값이에요

0:05:41.605,0:05:43.605
y를 수직축에 놓읍시다

0:05:43.605,0:05:45.333
그리고 여기 독립변수를 놓을게요

0:05:45.333,0:05:46.800
이 값을 어떻게 [br]바꾸느냐에 따라

0:05:46.800,0:05:48.348
y값이 바뀝니다

0:05:48.348,0:05:50.637
이걸 수평축에 놓읍시다

0:05:50.637,0:05:52.533
데카르트는 처음으로[br]x와 y를 쓰기 시작했어요

0:05:52.533,0:05:55.600
데카르트는 처음으로[br]x와 y를 쓰기 시작했어요

0:05:55.600,0:05:58.600
나중에 대수학을 더 배우면

0:05:58.600,0:06:02.098
미지수로 다루게 되는 z도요

0:06:02.098,0:06:03.867
그는 x와 y 축에 수를 [br]배열했어요

0:06:03.867,0:06:07.452
그는 x와 y 축에 수를 [br]배열했어요

0:06:07.452,0:06:09.723
먼저 x축 방향에서

0:06:09.723,0:06:15.702
여긴 -3으로 하고

0:06:15.702,0:06:17.805
여긴 -2로 하고

0:06:17.805,0:06:19.498
여긴 -1

0:06:19.498,0:06:21.067
여긴 0

0:06:21.067,0:06:23.800
x축 방향에만 [br]수를 나열하는 거예요

0:06:23.800,0:06:25.333
왼쪽 오른쪽 방향입니다

0:06:25.333,0:06:26.837
이제 여긴 1

0:06:26.837,0:06:28.338
여긴 2

0:06:28.338,0:06:30.169
여긴 3

0:06:30.169,0:06:32.333
y축 방향도 [br]똑같이 할 수 있죠

0:06:32.333,0:06:34.400
y축 방향도 [br]똑같이 할 수 있죠

0:06:34.400,0:06:40.400
여길 -5, -4, -3

0:06:40.400,0:06:42.333
좀 더 깔끔하게 할게요

0:06:42.333,0:06:45.067
이걸 좀 지우고요

0:06:45.067,0:06:47.800
좀 지우고 이걸 더 연장하죠

0:06:47.800,0:06:49.533
너무 지저분하게 보이지 않고

0:06:49.533,0:06:51.867
-5까지 쭉 내려갈 수 있게요

0:06:51.867,0:06:53.410
여기까지 쭉 내려가서

0:06:53.410,0:06:54.867
숫자를 써봅시다

0:06:54.867,0:06:58.144
여긴 1, 여긴 2, 여긴 3

0:06:58.144,0:07:00.867
그리고 여긴 -1,

0:07:00.867,0:07:02.733
-2[br]관례상 이렇게 나타내는 거예요

0:07:02.733,0:07:04.067
반대 순서로 적어도 됩니다

0:07:04.067,0:07:05.692
x를 여기에 두기로 하고

0:07:05.692,0:07:06.733
y를 여기에 두고

0:07:06.733,0:07:07.969
왼쪽을 양수

0:07:07.969,0:07:09.277
오른쪽을 음수로 정해도 됩니다

0:07:09.277,0:07:11.223
하지만 사람들은[br]지금처럼 쓰기로 약속했어요

0:07:11.223,0:07:12.733
데카르트가 처음 쓰기 시작했죠

0:07:12.733,0:07:18.062
-2, -3,-4, -5

0:07:18.062,0:07:20.200
데카르트는 두 값을 보고

0:07:20.200,0:07:22.517
값 한 쌍 한 쌍을

0:07:22.517,0:07:25.333
2차원 평면의 한 점에[br]지정할 수 있겠다고 생각했어요

0:07:25.333,0:07:28.467
먼저 x좌표는 [br]x값과 연관시켰죠

0:07:28.467,0:07:30.333
여기서 -2를 고르고

0:07:30.333,0:07:33.375
x축은 왼쪽,오른쪽 [br]방향으로 뻗은 축이고

0:07:33.375,0:07:35.331
음수니까 왼쪽에 있겠네요

0:07:35.331,0:07:39.395
이 점을 수직축에 찍은 [br]-5와 연관시킵니다

0:07:39.395,0:07:41.667
y 값이 -5니까

0:07:41.667,0:07:46.400
왼쪽으로 2칸 [br]아래로 5칸을 가서

0:07:46.400,0:07:48.847
이 지점에 점을 찍습니다

0:07:48.847,0:07:53.518
-2와 -5 [br]두 값을

0:07:53.518,0:07:55.733
2차원 평면 상의[br]이 점과 같다고 본 것이죠

0:07:55.733,0:07:58.583
2차원 평면 상의[br]이 점과 같다고 본 것이죠

0:07:58.583,0:08:02.433
그래서 이 점에 [br]좌표를 지정합니다

0:08:02.433,0:08:06.070
(-2, -5)라는 좌표를 지정해 줍니다

0:08:06.070,0:08:08.599
이 좌표를 [br]데카르트 좌표라고 해요

0:08:08.599,0:08:12.077
르네 데카르트의[br]이름을 딴 것이죠

0:08:12.077,0:08:13.200
르네 데카르트의[br]이름을 딴 것이죠

0:08:13.200,0:08:15.067
두 변수 사이의 관계를[br]2차원 평면 상의 점과 연관시켰어요

0:08:15.067,0:08:16.747
두 변수 사이의 관계를[br]2차원 평면 상의 점과 연관시켰어요

0:08:16.747,0:08:19.180
그는 점을 하나 [br]더 찍었어요

0:08:19.180,0:08:21.600
아래에 또 다른 관계를 보고

0:08:21.600,0:08:27.452
x가 -1이고 y가-3이므로

0:08:27.452,0:08:30.031
x가 -1이고 y가-3이므로

0:08:30.031,0:08:31.544
이 점이네요

0:08:31.544,0:08:33.333
그리고 또 한번 관례적으로

0:08:33.333,0:08:34.375
이 좌표를 나타낼 때는

0:08:34.375,0:08:36.090
x좌표를 먼저쓰고 [br]y좌표를 써요

0:08:36.090,0:08:38.400
이렇게 하기로 약속한 거예요

0:08:38.400,0:08:42.067
-1,-3은 여기 이 점이네요

0:08:42.067,0:08:45.933
그리고 x가 0이고 [br]y가-1이면

0:08:45.933,0:08:47.907
x은 0이에요

0:08:47.907,0:08:49.677
오른쪽도 왼쪽도 아닌 [br]중앙이에요

0:08:49.677,0:08:52.667
y는 -1이니까 [br]한 칸 아래로 가면

0:08:52.667,0:08:56.390
여기 이 점[br](0,-1)이네요

0:08:56.390,0:08:57.359
바로 여기요

0:08:57.359,0:08:58.852
계속해 볼까요?

0:08:58.852,0:09:03.810
여기 x = 1일 때[br]y = 1

0:09:03.810,0:09:09.575
x = 2, y = 3

0:09:09.575,0:09:11.733
똑같이 보라색으로 해보죠

0:09:11.733,0:09:15.400
x = 2, y = 3

0:09:15.400,0:09:20.652
그리고 주황색이 (1,1)이에요

0:09:20.652,0:09:21.795
깔끔해 보입니다

0:09:21.795,0:09:24.245
x값에 따라 [br]좌표를 찍어서 나타냈어요

0:09:24.245,0:09:25.357
여기서 데카르트는

0:09:25.357,0:09:27.535
가능한 x값을 [br]나타낼 수 있을 뿐만 아니라

0:09:27.535,0:09:29.677
계속 좌표를 찍어서

0:09:29.677,0:09:31.318
점 사이에 [br]무수히 많은 점을 찍으면

0:09:31.318,0:09:33.580
결국 직선이 나오게 된다는 걸 [br]깨달았어요

0:09:33.580,0:09:36.067
그릴 수 있는 [br]모든 점을 그리면

0:09:36.067,0:09:39.047
이렇게 직선이 나옵니다

0:09:39.047,0:09:44.492
이렇게 생긴 직선을 [br]그릴 수 있어요

0:09:44.492,0:09:48.303
무작위 x값을 고르고[br]대응되는 y값을 구하면

0:09:48.303,0:09:50.867
그 좌표는 [br]이 직선 위의 한 점이에요

0:09:50.867,0:09:52.400
반대로 생각하면

0:09:52.400,0:09:54.171
어떤 점이든 [br]이 직선 위의 점은

0:09:54.171,0:09:57.051
이 방정식의 [br]해가 될 수 있다는 거예요

0:09:57.051,0:09:58.902
예를 들어 이 점은

0:09:58.902,0:10:01.600
x값은 1과 1/2이고

0:10:01.600,0:10:03.007
y값은 2네요

0:10:03.007,0:10:06.503
(1.5, 2)

0:10:06.503,0:10:08.753
이 점은 방정식의 해에요

0:10:08.753,0:10:13.222
x가 1.5일 때[br]2 × 1.5 = 3 -1 = 2입니다

0:10:13.222,0:10:14.780
바로 여기요

0:10:14.780,0:10:17.400
이렇게 데카르트는 [br]대수학과 기하학 사이의 관계를 정립했어요

0:10:17.400,0:10:21.930
이렇게 데카르트는 [br]대수학과 기하학 사이의 관계를 정립했어요

0:10:21.930,0:10:27.133
이 방정식을 만족하는[br]모든 순서쌍을

0:10:27.133,0:10:31.098
이처럼 그래프로 그려서 [br]나타낸 것입니다

0:10:31.098,0:10:35.762
데카르트는 이런 관계를 [br]처음으로 연결지었어요

0:10:35.762,0:10:38.987
순서쌍을 이렇게 [br]좌표로 나타내는 것이

0:10:38.987,0:10:42.097
데카르트 좌표라고 [br]불리는 이유입니다

0:10:42.097,0:10:45.467
대수학을 배울 때 [br]처음 나오는 방정식은

0:10:45.467,0:10:48.210
여기에 있는 꼴의 [br]방정식입니다

0:10:48.210,0:10:50.446
일반적인 교과과정에서

0:10:50.446,0:10:52.733
이런 방정식을 [br]일차방정식, 또는 선형방정식이라고 합니다

0:10:52.733,0:10:55.003
일차방정식 (선형방정식)

0:10:55.003,0:10:57.738
방정식을 보고

0:10:57.738,0:10:59.533
x와 y 사이의[br]관계는 알겠어도

0:10:59.533,0:11:00.744
도대체 왜 선형방정식이라고 [br]하는지 모르겠다면

0:11:00.744,0:11:02.153
도대체 왜 선형방정식이라고 [br]하는지 모르겠다면

0:11:02.153,0:11:04.059
데카르트가 생각한 대로

0:11:04.059,0:11:07.247
그래프로 그려서 생각해 보세요

0:11:07.247,0:11:09.133
유클리드 평면 위에

0:11:09.133,0:11:10.759
데카르트 좌표을 이용해서

0:11:10.759,0:11:13.732
좌표를 찍어서 연결하면 [br]직선이 나옵니다

0:11:13.732,0:11:14.986
그리고 나중에 보겠지만

0:11:14.986,0:11:17.363
직선의 그래프가 나오지 않는 [br]방정식도 있습니다

0:11:17.363,0:11:21.656
곡선이나 들쭉날쭉 한 [br]그래프가 나오기도 해요