사진 속의 사람은 르네 데카르트입니다
수학과 철학계에 뛰어난 업적을 남긴 인물이죠
여러분도 알겠지만 보통 위대한 철학자는
위대한 수학자이기도 합니다
반대로 위대한 수학자가 위대한 철학자이기도 하죠
데카르트는 당시에 갈릴레오와 같은 사람이었어요
갈릴레오보다 32살이나 젊었지만
갈릴레오가 떠난 뒤 얼마 지나지 않아 생을 마쳤어요
휠씬 더 어린 나이에 떠났습니다
갈릴레오는 70대에 사망했지만
데카르트는 54살때 사망했습니다
데카르트는 이 명언으로
대중들에게 가장 잘 알려져 있어요
매우 철학적인 명언이죠
"나는 생각한다, 고로 존재한다"
이것 말고 다른 명언도 알려주고 싶습니다
수학과 별로 관련은 없지만
아주 좋은 명언이라고 생각해요
아마 데카르트의 가장 잘 알려지지 않은 명언일 거예요
바로 이 문장입니다
제가 이 말을 좋아하는 이유는 아주 현실적이기 때문이죠
왜냐하면 수학과 철학계의 기둥과도 같은
이런 위대한 인물도
결국에는 인간이었다는 걸 알려줍니다
그는 "계속 나아가라
계속 나아가라
나는 저지를 수 있는 모든 실수를 다 저질렀다
그러나 계속해서 나아갔다"
이 문장은 굉장히 유용한 인생의 교훈이라고 생각합니다
그는 철학과 수학 분야에서
많은 업적을 남겼는데요
하지만 대수학 기초를 배울 때
데카르트 이야기를 하는 이유는
그가 바로 대수학과 기하학을 연결하는데
가장 큰 공헌을 한 사람이기 때문입니다
왼쪽에 대수학의 세계가 있습니다
전에 조금 이야기해 본 것들입니다
여기 기호와 방정식이 있는데
이 기호들은
특정한 값들을 가질수 있어요
예를 들어 다음과 같죠
y = 2x - 1
이 식은 어떤 x와 y의
관계를 알려줍니다
심지어 여기 표를 만들고
x값을 고르면
y값이 무엇인지 알 수도 있습니다
무작위로 x값을 고르고
y 값을 알아낼 수도 있어요
일단은 간단한 값을 골라 볼게요
계산이 너무 복잡해지지 않게요
예를 들어
만악에 x가 -2면
그때 y값은 2 x (-2) -1
2 x (-2) -1
그럼 -4 -1 이네요
-5에요
만약 x가 -1이라면
y는 2 x (-1) -1
그것은
-2 -1 이니까 -3이네요
만약 x가 0이면
y 값은 2 x 0 -1
2 x 0 은 0 이니까 그냥 -1이네요
몇 개 더 할게요
만약 x가 1이면
아무 값이나 골라도 돼요
x가 √-2일 때 y의 값이나
아님 x가 -5/2일 때 y의 값
혹은 6/7을 골랐을 수도 있죠
하지만 간단한 수를 골랐어요
그러면 y값을 구하는
계산이 훨씬 쉬워지거든요
하지만 만약 x가 1이면
y는 2 × 1 -1
2 x 1은 2이고 -1을하면 1이네요
아직 쓰지 않은 색을 골라서
하나 더 해 보겠습니다
보라색으로 써보죠
만약 x가 2이면
y값은
2 × 2 -1 (x가 2이니까요)
그럼 4-1이고 그건 3이네요
지금까지 한 관계식을 예로 들었는데
먼저 이 식을 써서
y와 x 변수 사이의 관계를 보여줬어요
다음에는 구체적으로 값으로 나타냈어요
x를 여기 있는 값 중 하나라고 가정하고
각 x값에 대응하는 y값을 알 수 있었죠
데카르트가 깨달은 사실은
이걸 시각적으로 나타낼 수 있다는 것이었습니다
우선 각각의 점을 시각적으로 나타낼 수 있어요
이렇게 하면 점 사이의 관계도 시각적으로 나타낼 수 있어요
데카르트는 결국 추상적인 대수학의 세계를
도형과 각도가 있는 기하학과 연결했어요
오른쪽의 기하학의 세계를 살펴봅시다
당연한 사실이지만 역사 속에는
이런 일에 기여를 했지만
잊혀진 수많은 사람이 있을 거예요
하지만 일반적으로 데카르트 이전의 기하학을
유클리드 기하학이라고 합니다
유클리드 기하학은
여러분들이 수업 시간에 배운 것입니다
미국 교육과정에서는 보통 8, 9, 10학년 때 배워요
유클리드 기하학은
삼각형과 각도의 관계와
원과 반지름의 관계에 대해서 배우고
원과 접하는 삼각형 등에 대해서도 배워요
이런 것은 기하학 단원에서 깊이 배울 거예요
데카르트는 이런 대수학적인 부분을
유클리드 기하학에서 다루는 원이나 삼각형처럼
시각적으로 나타낼 수 있겠다고 생각했어요
종이 위에 펼쳐진 2차원 평면을 생각해 봅시다
종이를 2차원 평면의 한 부분이라고 생각해 보세요
이 평면은 두 방향으로 움직일 수 있어서
2차원 평면이라고 부릅니다
위나 아래 방향으로 갈 수 있고
제가 파란색으로 그려볼게요
시각적으로 나타낼 때는
기하학 부분과 똑같은 파란색으로 쓸게요
위, 아래 방향이 있고
오른쪽, 왼쪽 방향이 있죠
이 때문에 2차원 평면이라고 합니다
3차원을 다룰 때는
앞, 뒤 방향도 있어요
화면에서 2차원은 나타내기 쉬워요
보이는 화면도 2차원이니까요
데카르트는 변수가 2개 있으니까
각 변수를 2차원 평면의 한 방향과 연결하면 어떨지 생각했어요
관례적으로 종속 변수는 y로 나타냅니다
종속 변수는 값에 따라 바뀌는 변수에요
이 값은 x에 따라 바뀌는 값이에요
y를 수직축에 놓읍시다
그리고 여기 독립변수를 놓을게요
이 값을 어떻게 바꾸느냐에 따라
y값이 바뀝니다
이걸 수평축에 놓읍시다
데카르트는 처음으로 x와 y를 쓰기 시작했어요
나중에 대수학을 더 배우면
미지수로 다루게 되는 z도요
그는 x와 y 축에 수를 배열했어요
먼저 x축 방향에서
여긴 -3으로 하고
여긴 -2로 하고
여긴 -1
여긴 0
x축 방향에만 수를 나열하는 거예요
왼쪽 오른쪽 방향입니다
이제 여긴 1
여긴 2
여긴 3
y축 방향도 똑같이 할 수 있죠
여길 -5, -4, -3
좀 더 깔끔하게 할게요
이걸 좀 지우고요
좀 지우고 이걸 더 연장하죠
너무 지저분하게 보이지 않고
-5까지 쭉 내려갈 수 있게요
여기까지 쭉 내려가서
숫자를 써봅시다
여긴 1, 여긴 2, 여긴 3
그리고 여긴 -1,
-2 관례상 이렇게 나타내는 거예요
반대 순서로 적어도 됩니다
x를 여기에 두기로 하고
y를 여기에 두고
왼쪽을 양수
오른쪽을 음수로 정해도 됩니다
하지만 사람들은 지금처럼 쓰기로 약속했어요
데카르트가 처음 쓰기 시작했죠
-2, -3,-4, -5
데카르트는 두 값을 보고
값 한 쌍 한 쌍을
2차원 평면의 한 점에 지정할 수 있겠다고 생각했어요
먼저 x좌표는 x값과 연관시켰죠
여기서 -2를 고르고
x축은 왼쪽,오른쪽 방향으로 뻗은 축이고
음수니까 왼쪽에 있겠네요
이 점을 수직축에 찍은 -5와 연관시킵니다
y 값이 -5니까
왼쪽으로 2칸 아래로 5칸을 가서
이 지점에 점을 찍습니다
-2와 -5 두 값을
2차원 평면 상의 이 점과 같다고 본 것이죠
그래서 이 점에 좌표를 지정합니다
(-2, -5)라는 좌표를 지정해 줍니다
이 좌표를 데카르트 좌표라고 해요
르네 데카르트의 이름을 딴 것이죠
두 변수 사이의 관계를 2차원 평면 상의 점과 연관시켰어요
그는 점을 하나 더 찍었어요
아래에 또 다른 관계를 보고
x가 -1이고 y가-3이므로
이 점이네요
그리고 또 한번 관례적으로
이 좌표를 나타낼 때는
x좌표를 먼저쓰고 y좌표를 써요
이렇게 하기로 약속한 거예요
-1,-3은 여기 이 점이네요
그리고 x가 0이고 y가-1이면
x은 0이에요
오른쪽도 왼쪽도 아닌 중앙이에요
y는 -1이니까 한 칸 아래로 가면
여기 이 점 (0,-1)이네요
바로 여기요
계속해 볼까요?
여기 x = 1일 때 y = 1
x = 2, y = 3
똑같이 보라색으로 해보죠
x = 2, y = 3
그리고 주황색이 (1,1)이에요
깔끔해 보입니다
x값에 따라 좌표를 찍어서 나타냈어요
여기서 데카르트는
가능한 x값을 나타낼 수 있을 뿐만 아니라
계속 좌표를 찍어서
점 사이에 무수히 많은 점을 찍으면
결국 직선이 나오게 된다는 걸 깨달았어요
그릴 수 있는 모든 점을 그리면
이렇게 직선이 나옵니다
이렇게 생긴 직선을 그릴 수 있어요
무작위 x값을 고르고 대응되는 y값을 구하면
그 좌표는 이 직선 위의 한 점이에요
반대로 생각하면
어떤 점이든 이 직선 위의 점은
이 방정식의 해가 될 수 있다는 거예요
예를 들어 이 점은
x값은 1과 1/2이고
y값은 2네요
(1.5, 2)
이 점은 방정식의 해에요
x가 1.5일 때 2 × 1.5 = 3 -1 = 2입니다
바로 여기요
이렇게 데카르트는 대수학과 기하학 사이의 관계를 정립했어요
이 방정식을 만족하는 모든 순서쌍을
이처럼 그래프로 그려서 나타낸 것입니다
데카르트는 이런 관계를 처음으로 연결지었어요
순서쌍을 이렇게 좌표로 나타내는 것이
데카르트 좌표라고 불리는 이유입니다
대수학을 배울 때 처음 나오는 방정식은
여기에 있는 꼴의 방정식입니다
일반적인 교과과정에서
이런 방정식을 일차방정식, 또는 선형방정식이라고 합니다
일차방정식 (선형방정식)
방정식을 보고
x와 y 사이의 관계는 알겠어도
도대체 왜 선형방정식이라고 하는지 모르겠다면
데카르트가 생각한 대로
그래프로 그려서 생각해 보세요
유클리드 평면 위에
데카르트 좌표을 이용해서
좌표를 찍어서 연결하면 직선이 나옵니다
그리고 나중에 보겠지만
직선의 그래프가 나오지 않는 방정식도 있습니다
곡선이나 들쭉날쭉 한 그래프가 나오기도 해요