Descartes and Cartesian Coordinates ديكارت و الإحداثيات الديكارتية

الربط بين علم الهندسة والجبر. مالذي يجعل المعادلات الخطية خطية؟.

هذه الصورة هنا لرينيه ديكارت

أحد العقول العظيمة

في مجال الرياضيات و الفلسفة

و أعتقد أنكم سترون قليلاً من الموضة الرائجة هنا

بأن الفلاسفة العظماء هم أيضاً علماء في مادة الرياضيات

و العكس صحيح كذلك

و قد كان ديكارت نموذج حديث من جاليليو

فقد كان عمره 32 عاماً

و قد توفي بفترة قصيرة من وفاة جاليليو

ولكنه كان في عمر صغيرة جداً عند وفاته

بيتما جاليلو ناهز ال70 عند وفاته

كان عمر ديكارت 54 عاماً عند وفاته

و هو معروف في الثقافة العامة

لجملته الشهيرة التالية

جملة فلسفية شهيرة جداً

" أنا أفكر إذاً أنا موجود"

و لكن أيضاً أردت إضافة

و هذا غير متعلق بالجبر

و لكن وجدته مناسب جداً ذكره

و هو أقل أقواله شهرةً

التالي:

و هو يعجبني لأنه عملي جداً

و يمكنك من إدراك أن هذه العقول العظيمة

كانت الأعمدة الراسخة لعلوم الفلسفة والرياضيات

و لكن في آخر المطاف

هم مجرد بشر..

و قوله " فقط عليك الإستمرار في الدفع (المحاولة)"

يدل على ذلك

لقد أرتكبت كل غلطة يمكن إرتكابها

و لكن أستمريت في الدفع"المحاولة"

و التي في رأيي أنها نصيحة جيدة بشأن الحياة عموماً

الآن هو قام بالعديد من الأشياء

في الفلسفة والرياضيات

و لكن سبب حديثي عنه هنا

و نحن نؤسس للجبر

هو لأنه الفرد

المسؤول عن الصلة القوية

بين الجبر و الهندسة

و لذلك على شمالي هنا

لديك عالم الجبر

و قد ناقشناه قليلاً في السابق

لديك معادلات تتعامل مع رموز

و هذه الرموز أساسية

و يمكن أن تتخذ قيم

وبالتالي يمكن أن يكون لديك شيئاً من هذا القبيل

y=2x-1

هذا يعطيك علاقة

بين x مهما كانت قيمتها

و مهما كانت قيمة y

و يمكننا أن ننظم جدول هنا

و ننتقى قيمة ل x

و من ثم نرى القيم المحتملة ل y

أستطيع أن أنتقى قيم عشوائية ل x

ثم نكتشف ماهي قيمة ال y

ولكني سأقوم بإختيار قيم مباشرة نسبياً

حتى لا تتعقد عمليتنا الحسابية

فمثلاً:

لو كانت x هي 2-

فابالتالي y=2x-2-1

2x-2-1

-1-4

-5

لو x هي 1-

فإن y=2x-1-1

و هي مساوية ل

1-2-=3-

لو x=0

فإن y=2x0-1

2x0 هي 1-0 وهي 1-

سأقوم بالمزيد من هذه الأمثلة

x=1

و يمكنني إنتقاء أي قيمة هنا

و أقول مالذي سيحدث

إذا كانت x الجذر التربيعي السالب ل 2

أو مالذي سيحدث إذا كانت x =-5

أو موجب 6

و لكني أختار هذه الأرقام

لأنه يُسهل العمليات الحسابية

عندما أحاول إيجاد الحل

و لكن عندما x= 1

فإن y=2(1)-1

2x1=2-1=1

و سأقوم بواحدة أخرى

باستخدام لون مختلف

لنرى هذا اللون البنفسجي

لو كانت x هي 2

فإن قيمة ال y

1-(2)2

و بالتالي فهو 1-4=3

و هذا جيد بما فيه الكفاية

لقد وضعت مثلااً لهذه العلاقة الرياضية

و لكن هذا يصف علاقة عامة

بين متغير y و متغير x

ومن ثم جعلتها أكثر مصداقية

قلت حسناً

إذا كانت x واحدة من هذه المتغيرات

فأنه لكل من هذه القيم ل x

مالذي سيقابلها من قيم ل y?

و الذي أدركه ديكارت هو

أنه يمكنك تصور هذا

الذي يمكنك تصوره هو نقاط فردية

و لكن هذا أيضاً يساعدك بصورة عامة

لتصور العلاقة

إذا مافعله في الأساس هو

وضع جسر بين عالم من رموز الجبر المجردة

و عالم الهندسة الذي كان مهتم

بالأشكال و الأحجام و الزوايا

فمن هنا لدينا عالم الهندسة

و من البديهي بأن هنالك ناس عبر التاريخ

و قد يكون نساهم التاريخ

قد يكونون انخرطوا في هذا

و لكن قبل تدخل نظريات ديكارت

كانت النظرة العامة للهندسة هي الهندسة الإقليدية

و هذه في الأساس هي علم الهندسة

الذ درستموه في صفوف الهندسة الدراسية

في الصف الثامن والتاسع والعاشر

في منهج تقليدي للثانوية

و هذه هي دراسة علم الهندسة

المتعلق ب شرح العلاقة بين المثلثات و زواياها

و العلاقة بين الدوائر

و أقطارها

والمستطيلات و الخ...

و سنتعمق

في هذا في قائمة دروس علم الهندسة

و لكن ديكارت يقول، "حسناً،أعتقد أنني أستطيع تقديم هذا بصورة مرئية

مثلما قام اقلديس بذلك اثناء دراسته للمثلثات و هذه الدوائر"

وقال "لماذا لا أقوم بذلك؟"

إذا نظرنا لقطعة ورق

إذا فكرنا بطائرة ذات بعدين

تستطيع أن تشاهد قطعة ورقة

كنوع من التقسيم الثنائي الأبعاد للمخطط

نسميه ثنائي الأبعاد

لأنه يوجد طريقان يمكن أن تتجه لهما

يوجد الإتجاه للأعلى

هذا اتجاه أول

دعوني أرسم ذلك

لأننا نحاول تصور الأشياء

لذلك سأرسمه بلون الهندسة

إذاً لدينا الإتجاه الأعلى

و لدينا الإتجاهان اليمين واليسار

لذلك نسميه المخطط ثنائي الأبعاد

لو كنا نتعامل مع ثلاثي الأبعاد

يكون لديك بعد متداخل

و ايضاً من السهل التعامل مع ثنائي الأبعاد على الشاشة

لأن الشاشة ثنائية الأبعاد

و قد قال "حسناً كما تعلمون

هنالك متغيران و لديهما هذه العلاقة

و لكن لماذا لا أربط كلاً من هذان المتغيران

بأحد الأبعاد هنا؟"

لنتفق على جعل المتغير y

و هو المتغيرالتابع " الغير مستقل"

بالطريقة التي نعمل فيها

فهو يعتمد على قيمة x

لذلك دعونا نضع هذا على المحور العمودي

و لنضع متغيرنا المستقل

الذي أقوم باختيار قيمته عشوائياً

حتى أتابع نوع النتيجة التي سنحصل عليها

دعونا نضع هذا على المحور الأفقي

و في الحقيقة فإن ديكارت

هو من قام بتوافق بين استخدام x و y

و سنرى لاحقاً z في الجبر، على نطاق واسع

كمتغير مجهول مع المتغيرات التي تتلاعب بها

و لكن ديكارت يقول " حسناً إذا فكرنا في هذا الأمر بهذه الطريقة

إذا رقمنا هذه الأبعاد"

دعونا نقول بأن الإتجاه x

لنقوم بجعله هنا 3-

و هذا 2-

هذا 1-

0

أنا فقط أُرقم المحور x

.

و الآن هذا موجب 1

موجب 2

موجب 3

و نستطيع القيام بنفس الشيء للإتجاه y

لنبدأ

لنقل هذا هنا 5-,4-,3-

دعوني احسنه قليلاً

سأعيد كتابة الأمر كله

.

حتى أتمكن من الترقيم حتى رقم 5-

بدون أن يبدو مزعجاً

لنصل حتى النهاية هنا

وبالتالي نستطيع نرقم

هذا 1، وهذا 2، و هذا 3

و هنا هذا سيكون 1-

2- وهذه كلها متوافقة

و كان يمكن القيام بالأمر بالعكس

كان من الممكن أن نقرر وضع x هنالك

و ال y هنا

و نجعل هذا المحور الموجب

و هذا الإتجاه السالب

و لكن هذا أمر اتفق عليه الناس

إبتداءً من ديكارت

2-،3-،4- و 4-

ويكمل ديكارت قائلاً " حسناً أي شيء أستطيع ربطه

أستطيع ربطه بهذان الزوجان من القيم

مع نقطة على ثنائي الأبعاد.

أستطيع أخذ إحداثي x ، أستطيع أخذ قيمة ال x

هنا و أقول حسناً هذا 2-

سوف تكون على هذه الجهة على امتداد الإتجاه الأيسر هنا

أنا اتجه لليسار لأنه بالسالب

وهذا يمكن ربطه ب 5- على الإتجاه العمودي

فأقول بأن قيمة ال y هي 5-

و بالتالي إذا توجهت لرقم 2 على اليسار ومن ثم نزولاً ل 5

سأحصل على هذه النقطة هنا

إذاً هو يقول" هذان القيمتان 2- و 5-

أستطيع ربطهما بهذه النقطة

في هذا المخطط هنا، المخطط ثنائي الأبعاد

و بالتالي يمكنني القول: هذه النطة لها إحداثي

يخبرني أين استطيع إيجاد النقطة (5-،2-).

و هذه الإحداثيات تسمى " الإحداثيات الديكارتية"

بأسم رينيه ديكارت

لأنه الشخص الذي أوجد هذا

أنه ربط بشكل مفاجيء هذه العلاقات

مع نقاط في إحداثيات على مخطط

ومن ثم قال" حسناً لنقوم بواحدة أخرى"

هنالك هذه العلاقة

عندما x تساوي 1-، y=-3

إذاً 1-=x
3-=y

هذه النقطة الموجودة هنالك

و نعود للإتفاقية مرة أخرى

" عندما تحدد الإحداثيات

تحدد إحداثي x ، ثم إحداثي ال y

و هذا ما قرر الناس الإتفاق عليه

1-،3- هذا سيكون نقطة هنالك

و ثم لديك النقطة التي عندها x هي 0، y هي 1-

عندما x تكون 0 هنا

مما يعني أنني لن أتجه لليسار أو اليمين

y هي 1-، مما يعني أني أتجه 1 للأسفل

إذاً هي النقطة في تلك الناحية. (1-،0)

هنالك تماماً

و أستطيع الإستمرار في ذلك

عندما x هي 1، y هي 1

عندما x =2
y=3

دعوني أستخدم نفس اللون البنفسجي هنا

عندما x=2
y=3

2،3 و ايضاً عندها هذه هنا باللون البرتقالي كانت 1،1

و هذا منسق وجميل

أنا في الأساس وضعت أمثلة لأحتمالات x

و لكن الذي أدركه هو

أننا لسنا فقط نستعرض احتمالات قيمة x

و لكن إذا استمريت في استعراض قيم ال x

إذا حاولت فعلياً لأستعراض جميع قيم x

سوف تنتهي برسم خط

فإذا كنا سنحل كل قيمة محتملة ل x

سوف تحصل على خط

مشابه لشيء من هذا القبيل... في هذه الناحية

و بالتالي أي... أي علاقة، إذا اخترت أي x

و وجدت أي من ال y حقيقةً ممثله بنقطة على هذا الخط،

أو لنفكر بها بطريقة أخرى

أي نقطة على هذا الخط تمثل

حل لهذه المعادلة هنا

فإذا كانت لديك هذه النقطة هنا

و التي تشابه ل x هي 1 و نصف

y هي 2. إذاً دعوني أكتب ذلك

1.5,2

ذلك حل لهذه المعادلة

عندما x هو 1.5
2x1.5= 3

3-1 يساوي 2 وهذا موجود هنالك

و على حين غرة تمكن من وصل

هذه الفجوة أو العلاقة بين الجبر و علم الهندسة!

و الآن يمكننا تصور كل ال x و كل y كأزواج

يمكنها حل هذه المعادلة هنا

و بالتالي فإن ديكارت هو المسؤول عن بناء هذا الجسر

و لذل هذه الإحداثيات

التي استخدمناها لتحديد النقاط تسمى "إحداثيات ديكارت"

و كما سنرى أيضاً أول نوع من المعادلات

سوف ندرسها هي معادلات من هذا النوع الموجودة هنا

و في منهج الجبر التقليدي

تُسمى هذه المعادلات: المعادلات الخطية

المعادلات الخطية

و يمكن أن تكون تفكر الآن: حسناً تدري، هذا معادلة

و سأرى أنها مساوية لتلك هنا

فأين هي المعادلة الخطية هنا؟

ما الذي يجعلها تبدو كمعادلة خطية؟

حتى تفهم لماذا هي خطية،

يجب أن تقوم بنفس القفزة التي قام بها ديكارت

لأنك إذا أردت أن ترسم هذه

بإستخدام الإحداثيات الديكارتية

على مخطط إقليدي، سوف تحصل على خط.

و في المستقبل سوف ترى

بأنه يوجد أنواع أخرى من المعادلات لن تحصل فيها على خط.

سوف تحصل على منحنى، أو شكل غريب أو مضحك!