Coeficiente angular de uma reta secante à curva

RKA 3 - E aí, pessoal, tudo bem?
Nesta aula, nós vamos

rever a ideia de coeficiente angular

que você deve lembrar das aulas de álgebra.

Ou seja, vamos rever a ideia de

inclinação de uma reta.
E essa inclinação

nada mais é do que a taxa de variação de uma reta

ou a variação de "y" em função de "x"

conforme caminhamos ao longo da reta.

Ou seja, é a inclinação de uma reta.

E quanto mais inclinada a reta for,

mais positivo vai ser o seu coeficiente angular.

Então, esta reta tem coeficiente

angular positivo, ou seja, está crescendo

conforme o "x" cresce.
E se a inclinação for ainda maior,

significa que ela cresce mais ainda

conforme o "x" cresce.

Ou seja, a reta teria um coeficiente angular maior.

E como podemos calcular a inclinação

desta reta dado dois pontos?
Ou seja, como podemos

calcular a taxa de variação de "y"

em função de "x"?

Simples, eu vou colocar dois pontos sobre esta reta aqui.

O primeiro deles vai ser o

ponto que tem as coordenadas (x, 0).

E o seu correspondente (y, 0).
Portanto, este é o

ponto (x₀, y₀).
E o segundo ponto está aqui,

que tem as coordenadas (x₁, y₁).
Ou seja, é o ponto (x₁, y₁).

E a inclinação da reta que

nós podemos chamar por "m".

A taxa de variação de "y" em função de "x",

ou uma outra maneira de pensar é a variação de

"y" dividido pela variação de "x".

Relembrando, este triângulo Δ
é uma letra grega delta

que representa a variação.

Então, uma variação em "y",
dividido pela variação de "x".

E vamos ver como aplicar isso aqui.

Vamos pensar na variação de "x" primeiro.

Estamos variando

de x₀ para x₁.
Então, esta aqui vai ser

a variação em "x".
Ou seja, esta aqui é a

nossa variação em "x".
Eu posso colocar

aqui na mesma cor.
E como podemos representá-la?

Simples, se queremos

conhecer esta distância,
nós pegamos o x₁

e subtraímos o x₀ .
Então, Δx vai

ser igual a x₁ - x₀.
Claro, eu estou

assumindo que x₁ é maior do que x₀.

E qual vai ser a variação em "y"?
A mesma coisa.

O "y" final menos o "y" Inicial.

Ou seja, y₁ - y₀.
E você pode até se perguntar,

será que eu não poderia fazer

y₀ - y₁ / x₀ - x₁?
Poderia, mas a resposta

seria absolutamente a mesma.

A diferença que tanto aqui quanto aqui,
dariam resultados negativos.

E a resposta daria positiva.

O importante é ser consistente.

Se você está subtraindo o valor final
menos o valor inicial aqui,

no denominador você

tem que seguir a mesma lógica.
Mas, enfim, isto aqui

provavelmente vocês devem lembrar

das aulas de álgebra,
que nada mais é do

que a definição de inclinação que é a

taxa de variação de "y" em relação a "x".

Ou seja, é a taxa de variação do nosso eixo vertical

em relação ao nosso eixo horizontal.

Mas agora eu vou mostrar uma

coisa bem interessante.
Deixe-me colocar

outro plano cartesiano aqui.
E aqui nós tínhamos uma reta.

E uma reta tem

inclinação constante por definição.

Ou seja, se você calcular a inclinação entre

quaisquer dois pontos,
ela será constante para aquela reta.

Mas o que acontece quando

começamos a lidar com curvas?

Ou seja, quando começamos a lidar com

curvas não lineares.
Digamos que nós

temos uma curva assim.
Qual é a taxa de

variação de "y" em relação a "x" desta curva?

Vamos de pensar nisso utilizando dois pontos.

Vamos dizer que nós temos um ponto aqui,

que é o ponto (x₁, y₁).
E vamos dizer que nós

temos outro ponto aqui que vai ser

o ponto (x₂, y₂).
Neste momento, nós ainda não

conhecemos as ferramentas necessárias

para calcular a taxa de variação de

"y" em relação a "x" neste ponto.
E isso é uma coisa

que o cálculo vai te ajudar mais a frente.

Mas utilizando álgebra,

nós podemos pensar pelo menos sobre qual é a

taxa média de variação durante este intervalo.

E qual é a taxa média de variação?

E como podemos calcular?

Simples, vai ser o quanto "y" variou.

Ou seja, a variação em "y" que podemos chamar de Δy.

E para essa variação em "x" e que

podemos chamar de Δx.

E podemos calcular isso do mesmo jeito.

Ou seja, a nossa variação em "y",
que vai ser y₂ - y₁

dividido pela variação em "x",
que é x₂ - x₁.

Deste jeito, nós podemos calcular a

variação entre estes dois pontos.

E outra maneira de pensar nisso é

que esta é a taxa de variação média
para a curva entre x₁ e x₂ .

Ou seja, esta é a taxa de

variação média de "y" em relação
a "x" neste intervalo.

Mas o que vamos descobrir com isso?

Simples, vamos descobrir a

inclinação da reta que conecta estes dois pontos.

Ou seja, a inclinação desta reta

que conecta estes dois pontos.

E como chamamos uma reta

que toca dois pontos?
Chamamos de reta secante.

Então, esta é a reta secante.

O interessante aqui é que estamos

estendendo a ideia de inclinação.

Ou seja, nós já sabemos como encontrar a

inclinação de uma reta que passa por dois pontos.

Mas para curvas,
nós ainda não

temos ferramentas.
O cálculo vai nos dar isso,

mas por ora podemos utilizar as

nossas ferramentas algébricas.

E isso ajuda a descobrir a taxa de variação média

entre dois pontos em uma curva.

E para descobrir isso,
nós utilizamos a reta secante.

Isso é mesma coisa que descobrir

a inclinação da reta secante.

Eu só vou antecipar um pouco aqui.

Aonde isto está nos levando?
Quais ferramentas

vamos utilizar para descobrir a taxa de

variação instantânea?
Ou seja, não apenas a média,

mas o que acontece quando este

ponto está ficando mais próximo,

mais próximo e mais próximo deste ponto?

Ou seja, a inclinação da reta secante

está se aproximando cada vez mais

da taxa instantânea de variação.
Mas eu vou falar

com calma disso nos próximos vídeos.

E eu espero que essa aula tenha te ajudado.

E até a próxima, pessoal!