-
Gelin, iks'in sonsuza ya da
-
eksi sonsuza yaklaştığı durumlar için
-
bazı fonksiyonların limitini bulalım.
-
Elimde acayip bir fonksiyon var.
-
9 "iks üzeri 7", eksi, 17 "iks üzeri 6", artı 15 "kök iks", bölü, 3 "iks üzeri 7, artı, 1000 "iks üzeri 5", eksi, logaritma 2 tabanında iks.
-
iks, sonsuza yaklaşırken
-
ne olur?
-
Bu sorunun püf noktası,
-
önceki örneklerde de gördüğümüz gibi,
-
hangi terimin baskın olduğudur.
-
Bu soruda, pay'da,
-
üç adet terim var
-
ama (9 "iks üzeri 7"), diğer terimlerden
-
daha hızlı artar.
-
O hâlde, pay'daki baskın terim budur.
-
Payda'da ise,
-
(3 "iks üzeri 7") teriminin, "iks üzeri 5"li terimden
-
ve "logaritma 2" tabanlı terimden
-
daha hızlı artacağı açıktır.
-
Biz sonsuza yaklaştıkça,
-
bu fonksiyon da kabaca
-
9 "iks üzeri 7", bölü, 3 "iks üzeri 7"ye eşit olur.
-
iks değerleri arttıkça,
-
yani sonsuza yaklaştıkça,
-
bunlar da giderek
-
birbirine yaklaşacaktır
-
ve bunun limitinin bunun limitine
-
eşit olduğunu söyleyebiliriz.
-
Bu da eşittir...
-
iks, sonsuza yaklaştıkça...
-
"iks üzeri 7"leri sadeleştirebiliriz.
-
9 bölü 3, yani 3 olur.
-
Limiti, 3'e eşittir.
-
Bu acayip fonksiyonun,
-
iks, sonsuza yaklaşırkenki limiti budur.
-
Bu fonksiyonu da aynı şekilde çözelim.
-
Bu da acayip bir fonksiyon.
-
Burada "eksi sonsuza" gidiyoruz
-
ama aynı ilkeler geçerli.
-
iks'in mutlak değeri arttıkça,
-
fonksiyonda bulunan hangi terimler
-
baskın hâle gelir?
-
Pay'da, 3 "iks küp" terimi;
-
payda'da ise, 6 "iks üzeri 4" terimi.
-
O hâlde, bu neye eşittir?
-
3 "iks küp", bölü, 6 "iks üzeri 4"'ün,
-
iks, "eksi sonsuza" yaklaşırkenki limitine eşittir.
-
Bunu sadeleştirirsek ne olur?
-
iks, "eksi sonsuza" yaklaşırken,
-
"1 bölü 2 iks".
-
Peki bu neye eşittir?
-
Payda'da, giderek büyüyen
-
eksi bir sayı olmasına rağmen,
-
sonuç olarak
-
"1 bölü çok büyük bir eksi sayı" söz konusu.
-
Bu da, "sıfıra çok yakın bir sayı"
-
demektir. Tıpkı; iks, "eksi sonsuza" yaklaşırken,
-
"1 bölü iks"in sıfıra yaklaşması gibi.
-
O hâlde bu fonksiyon,
-
yani yatay asimptot,
-
sıfıra eşittir.
-
Grafiğini çizerek ya da
-
değerler vererek sağlamasını yapmanızı öneririm.
-
Bu sorunun püf noktası,
-
hangi terimin diğer terimlerden
-
baskın olacağını bilip,
-
uygun sadeleştirmeyi yapmaktır.
-
Şimdi de bu soruya bakalım.
-
iks, sonsuza yaklaştıkça
-
BU acayip fonksiyonun limiti nedir?
-
Aynı şekilde, bu fonksiyonun baskın terimlerini bulalım.
-
Pay'da, 4 "iks üzeri 4";
-
payda'da ise, 250 "iks küp".
-
Bunlar, en yüksek dereceden terimler.
-
Bu da eşittir;
-
iks, sonsuza yaklaşırken,
-
4 "iks üzeri 4", bölü, 250 "iks küp".
-
Bu da eşittir;
-
limit... Ne olur?
-
Sadeleştirmeleri yaparsak,
-
elimizde ne kalır?
-
250'yi alıp, daha sonra...
-
Aslında çok açık.
-
Limit, "4 bölü 250"...
-
"iks üzeri 4"ü, "iks küp"e bölersek, sonuç iks'tir.
-
Çarpı, iks. Tabii; iks, sonsuza yaklaşırken.
-
Ya da şöyle de yazabiliriz: "4 bölü 250" çarpı;
-
iks, sonsuza yaklaşırken, "limit iks".
-
Peki bu nedir?
-
iks, sonsuza yaklaşırken, iks'in limiti nedir?
-
iks, sonsuza kadar artmaya devam edecek.
-
O hâlde burası,
-
işaretlediğim bu limit, sonsuza eşit olacak.
-
Sonsuzla herhangi bir sayının çarpımı da,
-
sonsuza eşittir.
-
Bu nedenle; iks, sonsuza yaklaşırken
-
bu ifadenin limiti sınırlandırılmamıştır.
-
Yani, sonsuzdur.
-
Sonsuz olduğunu, ta en başından
-
anlamanın bir yolu da şudur:
-
Fonksiyonun pay'ındaki en yüksek
-
dereceden terim, dördüncü derecedenken,
-
payda'nın en yüksek dereceden terimi
-
üçüncü derecedendir.
-
Bu nedenle, pay,
-
payda'dan çok daha hızlı artar.
-
Pay, payda'dan çok daha
-
hızlı artıyorsa,
-
fonksiyon sonsuza yaklaşır.
-
Pay, payda'dan çok daha
-
YAVAŞ artıyorsa;
-
yani, payda, pay'dan çok daha
-
hızlı artıyorsa, tıpkı ikinci fonksiyonda olduğu gibi,
-
o hâlde limit sıfıra yaklaşır.
-
Bu ayrıntının işinize yarayacağını umuyorum.
Khan Academy
