WEBVTT

00:00:00.518 --> 00:00:02.439
Gelin, iks'in sonsuza ya da

00:00:02.439 --> 00:00:04.369
eksi sonsuza yaklaştığı durumlar için

00:00:04.369 --> 00:00:06.670
bazı fonksiyonların limitini bulalım.

00:00:06.670 --> 00:00:08.770
Elimde acayip bir fonksiyon var.

00:00:08.770 --> 00:00:16.861
9 "iks üzeri 7", eksi, 17 "iks üzeri 6", artı 15 "kök iks", bölü, 3 "iks üzeri 7, artı, 1000 "iks üzeri 5", eksi, logaritma 2 tabanında iks.

00:00:16.861 --> 00:00:19.260
iks, sonsuza yaklaşırken

00:00:19.260 --> 00:00:20.861
ne olur?

00:00:20.861 --> 00:00:22.011
Bu sorunun püf noktası,

00:00:22.011 --> 00:00:24.091
önceki örneklerde de gördüğümüz gibi,

00:00:24.091 --> 00:00:26.421
hangi terimin baskın olduğudur.

00:00:26.421 --> 00:00:28.041
Bu soruda, pay'da,

00:00:28.041 --> 00:00:29.372
üç adet terim var

00:00:29.372 --> 00:00:31.983
ama (9 "iks üzeri 7"), diğer terimlerden

00:00:31.983 --> 00:00:34.442
daha hızlı artar.

00:00:34.442 --> 00:00:37.643
O hâlde, pay'daki baskın terim budur.

00:00:37.643 --> 00:00:40.014
Payda'da ise,

00:00:40.014 --> 00:00:43.277
(3 "iks üzeri 7") teriminin, "iks üzeri 5"li terimden

00:00:43.354 --> 00:00:44.771
ve "logaritma 2" tabanlı terimden

00:00:44.817 --> 00:00:47.174
daha hızlı artacağı açıktır.

00:00:47.174 --> 00:00:49.914
Biz sonsuza yaklaştıkça,

00:00:49.914 --> 00:00:53.388
bu fonksiyon da kabaca

00:00:53.449 --> 00:00:58.927
9 "iks üzeri 7", bölü, 3 "iks üzeri 7"ye eşit olur.

00:00:59.082 --> 00:01:01.199
iks değerleri arttıkça,

00:01:01.292 --> 00:01:03.220
yani sonsuza yaklaştıkça,

00:01:03.266 --> 00:01:04.868
bunlar da giderek

00:01:04.915 --> 00:01:06.346
birbirine yaklaşacaktır

00:01:06.376 --> 00:01:07.851
ve bunun limitinin bunun limitine

00:01:07.851 --> 00:01:10.660
eşit olduğunu söyleyebiliriz.

00:01:10.660 --> 00:01:12.410
Bu da eşittir...

00:01:12.410 --> 00:01:15.372
iks, sonsuza yaklaştıkça...

00:01:15.372 --> 00:01:17.501
"iks üzeri 7"leri sadeleştirebiliriz.

00:01:17.501 --> 00:01:20.441
9 bölü 3, yani 3 olur.

00:01:20.441 --> 00:01:22.251
Limiti, 3'e eşittir.

00:01:22.251 --> 00:01:24.913
Bu acayip fonksiyonun,

00:01:24.913 --> 00:01:26.911
iks, sonsuza yaklaşırkenki limiti budur.

00:01:26.911 --> 00:01:28.332
Bu fonksiyonu da aynı şekilde çözelim.

00:01:28.332 --> 00:01:30.253
Bu da acayip bir fonksiyon.

00:01:30.253 --> 00:01:31.503
Burada "eksi sonsuza" gidiyoruz

00:01:31.503 --> 00:01:33.083
ama aynı ilkeler geçerli.

00:01:33.083 --> 00:01:36.413
iks'in mutlak değeri arttıkça,

00:01:36.413 --> 00:01:37.944
fonksiyonda bulunan hangi terimler

00:01:37.994 --> 00:01:40.117
baskın hâle gelir?

00:01:40.836 --> 00:01:40.837
Pay'da, 3 "iks küp" terimi;

00:01:43.443 --> 00:01:43.443
payda'da ise, 6 "iks üzeri 4" terimi.

00:01:49.630 --> 00:01:49.630
O hâlde, bu neye eşittir?

00:01:49.630 --> 00:01:49.631
3 "iks küp", bölü, 6 "iks üzeri 4"'ün,

00:01:49.631 --> 00:01:55.665
iks, "eksi sonsuza" yaklaşırkenki limitine eşittir.

00:01:55.665 --> 00:01:58.374
Bunu sadeleştirirsek ne olur?

00:01:58.374 --> 00:02:01.504
iks, "eksi sonsuza" yaklaşırken,

00:02:01.504 --> 00:02:05.507
"1 bölü 2 iks".

00:02:05.507 --> 00:02:07.506
Peki bu neye eşittir?

00:02:07.506 --> 00:02:09.917
Payda'da, giderek büyüyen

00:02:09.917 --> 00:02:12.376
eksi bir sayı olmasına rağmen,

00:02:12.376 --> 00:02:13.777
sonuç olarak

00:02:13.777 --> 00:02:16.417
"1 bölü çok büyük bir eksi sayı" söz konusu.

00:02:16.417 --> 00:02:18.057
Bu da, "sıfıra çok yakın bir sayı"

00:02:18.057 --> 00:02:20.437
demektir. Tıpkı; iks, "eksi sonsuza" yaklaşırken,

00:02:20.437 --> 00:02:23.439
"1 bölü iks"in sıfıra yaklaşması gibi.

00:02:23.439 --> 00:02:24.908
O hâlde bu fonksiyon,

00:02:24.908 --> 00:02:26.307
yani yatay asimptot,

00:02:26.307 --> 00:02:28.857
sıfıra eşittir.

00:02:28.857 --> 00:02:29.998
Grafiğini çizerek ya da

00:02:29.998 --> 00:02:32.709
değerler vererek sağlamasını yapmanızı öneririm.

00:02:32.709 --> 00:02:34.768
Bu sorunun püf noktası,

00:02:34.768 --> 00:02:37.079
hangi terimin diğer terimlerden

00:02:37.079 --> 00:02:38.439
baskın olacağını bilip,

00:02:38.439 --> 00:02:42.109
uygun sadeleştirmeyi yapmaktır.

00:02:42.109 --> 00:02:43.450
Şimdi de bu soruya bakalım.

00:02:43.450 --> 00:02:45.171
iks, sonsuza yaklaştıkça

00:02:45.171 --> 00:02:47.501
BU acayip fonksiyonun limiti nedir?

00:02:47.501 --> 00:02:49.851
Aynı şekilde, bu fonksiyonun baskın terimlerini bulalım.

00:02:49.851 --> 00:02:51.250
Pay'da, 4 "iks üzeri 4";

00:02:51.250 --> 00:02:54.501
payda'da ise, 250 "iks küp".

00:02:54.501 --> 00:02:56.171
Bunlar, en yüksek dereceden terimler.

00:02:56.171 --> 00:02:57.850
Bu da eşittir;

00:02:57.850 --> 00:03:00.300
iks, sonsuza yaklaşırken,

00:03:00.300 --> 00:03:09.052
4 "iks üzeri 4", bölü, 250 "iks küp".

00:03:09.052 --> 00:03:11.252
Bu da eşittir;

00:03:11.252 --> 00:03:13.002
limit... Ne olur?

00:03:13.002 --> 00:03:15.102
Sadeleştirmeleri yaparsak,

00:03:15.102 --> 00:03:16.912
elimizde ne kalır?

00:03:16.912 --> 00:03:18.504
250'yi alıp, daha sonra...

00:03:18.504 --> 00:03:20.104
Aslında çok açık.

00:03:20.104 --> 00:03:23.054
Limit, "4 bölü 250"...

00:03:23.054 --> 00:03:24.974
"iks üzeri 4"ü, "iks küp"e bölersek, sonuç iks'tir.

00:03:24.974 --> 00:03:26.913
Çarpı, iks. Tabii; iks, sonsuza yaklaşırken.

00:03:26.913 --> 00:03:31.914
Ya da şöyle de yazabiliriz: "4 bölü 250" çarpı;

00:03:31.914 --> 00:03:40.175
iks, sonsuza yaklaşırken, "limit iks".

00:03:40.175 --> 00:03:41.306
Peki bu nedir?

00:03:41.306 --> 00:03:43.335
iks, sonsuza yaklaşırken, iks'in limiti nedir?

00:03:43.335 --> 00:03:45.705
iks, sonsuza kadar artmaya devam edecek.

00:03:45.705 --> 00:03:46.975
O hâlde burası,

00:03:46.975 --> 00:03:47.915
işaretlediğim bu limit, sonsuza eşit olacak.

00:03:47.915 --> 00:03:49.915
Sonsuzla herhangi bir sayının çarpımı da,

00:03:49.915 --> 00:03:51.577
sonsuza eşittir.

00:03:51.577 --> 00:03:53.778
Bu nedenle; iks, sonsuza yaklaşırken

00:03:53.778 --> 00:03:55.336
bu ifadenin limiti sınırlandırılmamıştır.

00:03:55.336 --> 00:03:57.707
Yani, sonsuzdur.

00:03:57.707 --> 00:03:58.977
Sonsuz olduğunu, ta en başından

00:03:58.977 --> 00:04:00.376
anlamanın bir yolu da şudur:

00:04:00.376 --> 00:04:02.768
Fonksiyonun pay'ındaki en yüksek

00:04:02.768 --> 00:04:04.768
dereceden terim, dördüncü derecedenken,

00:04:04.768 --> 00:04:06.419
payda'nın en yüksek dereceden terimi

00:04:06.419 --> 00:04:07.918
üçüncü derecedendir.

00:04:07.918 --> 00:04:09.437
Bu nedenle, pay,

00:04:09.437 --> 00:04:11.338
payda'dan çok daha hızlı artar.

00:04:11.338 --> 00:04:13.368
Pay, payda'dan çok daha

00:04:13.368 --> 00:04:15.669
hızlı artıyorsa,

00:04:15.669 --> 00:04:17.979
fonksiyon sonsuza yaklaşır.

00:04:17.979 --> 00:04:22.236
Pay, payda'dan çok daha

00:04:22.236 --> 00:04:23.946
YAVAŞ artıyorsa;

00:04:23.946 --> 00:04:25.617
yani, payda, pay'dan çok daha

00:04:25.617 --> 00:04:27.237
hızlı artıyorsa, tıpkı ikinci fonksiyonda olduğu gibi,

00:04:27.237 --> 00:04:29.837
o hâlde limit sıfıra yaklaşır.

00:04:29.837 --> 99:59:59.999
Bu ayrıntının işinize yarayacağını umuyorum.