Gelin, iks'in sonsuza ya da
eksi sonsuza yaklaştığı durumlar için
bazı fonksiyonların limitini bulalım.
Elimde acayip bir fonksiyon var.
9 "iks üzeri 7", eksi, 17 "iks üzeri 6", artı 15 "kök iks", bölü, 3 "iks üzeri 7, artı, 1000 "iks üzeri 5", eksi, logaritma 2 tabanında iks.
iks, sonsuza yaklaşırken
ne olur?
Bu sorunun püf noktası,
önceki örneklerde de gördüğümüz gibi,
hangi terimin baskın olduğudur.
Bu soruda, pay'da,
üç adet terim var
ama (9 "iks üzeri 7"), diğer terimlerden
daha hızlı artar.
O hâlde, pay'daki baskın terim budur.
Payda'da ise,
(3 "iks üzeri 7") teriminin, "iks üzeri 5"li terimden
ve "logaritma 2" tabanlı terimden
daha hızlı artacağı açıktır.
Biz sonsuza yaklaştıkça,
bu fonksiyon da kabaca
9 "iks üzeri 7", bölü, 3 "iks üzeri 7"ye eşit olur.
iks değerleri arttıkça,
yani sonsuza yaklaştıkça,
bunlar da giderek
birbirine yaklaşacaktır
ve bunun limitinin bunun limitine
eşit olduğunu söyleyebiliriz.
Bu da eşittir...
iks, sonsuza yaklaştıkça...
"iks üzeri 7"leri sadeleştirebiliriz.
9 bölü 3, yani 3 olur.
Limiti, 3'e eşittir.
Bu acayip fonksiyonun,
iks, sonsuza yaklaşırkenki limiti budur.
Bu fonksiyonu da aynı şekilde çözelim.
Bu da acayip bir fonksiyon.
Burada "eksi sonsuza" gidiyoruz
ama aynı ilkeler geçerli.
iks'in mutlak değeri arttıkça,
fonksiyonda bulunan hangi terimler
baskın hâle gelir?
Pay'da, 3 "iks küp" terimi;
payda'da ise, 6 "iks üzeri 4" terimi.
O hâlde, bu neye eşittir?
3 "iks küp", bölü, 6 "iks üzeri 4"'ün,
iks, "eksi sonsuza" yaklaşırkenki limitine eşittir.
Bunu sadeleştirirsek ne olur?
iks, "eksi sonsuza" yaklaşırken,
"1 bölü 2 iks".
Peki bu neye eşittir?
Payda'da, giderek büyüyen
eksi bir sayı olmasına rağmen,
sonuç olarak
"1 bölü çok büyük bir eksi sayı" söz konusu.
Bu da, "sıfıra çok yakın bir sayı"
demektir. Tıpkı; iks, "eksi sonsuza" yaklaşırken,
"1 bölü iks"in sıfıra yaklaşması gibi.
O hâlde bu fonksiyon,
yani yatay asimptot,
sıfıra eşittir.
Grafiğini çizerek ya da
değerler vererek sağlamasını yapmanızı öneririm.
Bu sorunun püf noktası,
hangi terimin diğer terimlerden
baskın olacağını bilip,
uygun sadeleştirmeyi yapmaktır.
Şimdi de bu soruya bakalım.
iks, sonsuza yaklaştıkça
BU acayip fonksiyonun limiti nedir?
Aynı şekilde, bu fonksiyonun baskın terimlerini bulalım.
Pay'da, 4 "iks üzeri 4";
payda'da ise, 250 "iks küp".
Bunlar, en yüksek dereceden terimler.
Bu da eşittir;
iks, sonsuza yaklaşırken,
4 "iks üzeri 4", bölü, 250 "iks küp".
Bu da eşittir;
limit... Ne olur?
Sadeleştirmeleri yaparsak,
elimizde ne kalır?
250'yi alıp, daha sonra...
Aslında çok açık.
Limit, "4 bölü 250"...
"iks üzeri 4"ü, "iks küp"e bölersek, sonuç iks'tir.
Çarpı, iks. Tabii; iks, sonsuza yaklaşırken.
Ya da şöyle de yazabiliriz: "4 bölü 250" çarpı;
iks, sonsuza yaklaşırken, "limit iks".
Peki bu nedir?
iks, sonsuza yaklaşırken, iks'in limiti nedir?
iks, sonsuza kadar artmaya devam edecek.
O hâlde burası,
işaretlediğim bu limit, sonsuza eşit olacak.
Sonsuzla herhangi bir sayının çarpımı da,
sonsuza eşittir.
Bu nedenle; iks, sonsuza yaklaşırken
bu ifadenin limiti sınırlandırılmamıştır.
Yani, sonsuzdur.
Sonsuz olduğunu, ta en başından
anlamanın bir yolu da şudur:
Fonksiyonun pay'ındaki en yüksek
dereceden terim, dördüncü derecedenken,
payda'nın en yüksek dereceden terimi
üçüncü derecedendir.
Bu nedenle, pay,
payda'dan çok daha hızlı artar.
Pay, payda'dan çok daha
hızlı artıyorsa,
fonksiyon sonsuza yaklaşır.
Pay, payda'dan çok daha
YAVAŞ artıyorsa;
yani, payda, pay'dan çok daha
hızlı artıyorsa, tıpkı ikinci fonksiyonda olduğu gibi,
o hâlde limit sıfıra yaklaşır.
Bu ayrıntının işinize yarayacağını umuyorum.