Grænseværdier ved uendelig for brøkfunktioner (del 2)

Sal bestemmer grænseværdierne mod uendelig for tre forskellige rationale funktioner. Vi opdager, at der er tre generelle tilfælde af, hvordan grænseværdierne kan opføre sig.

I emnet grænseværdier og kontinuitet vil vi udforske begreberne grænseværdier og kontinuitet. Vi vil starte med at lære den notation som bruges til at udtrykke grænseværdier, og så vil vi øve os i at bestemme grænseværdier ud fra grafer og tabeller. Vi vil også arbejde med at bestemme grænseværdier algebraisk. Derfra vil vi gå videre til at forstå kontinuitet og diskontinuitet, og hvordan mellemværdisætningen kan hjælpe os med at forstå funktioner i denne sammenhæng.

I opvarmning til infinitesimalregning skal du bygge ovenpå mange af de færdigheder, du allerede har. Vi skal arbejde med: sammensatte funktioner, trigonometriske funktioner, vektorer, matricer, keglesnit samt sandsynlighedsregning og kombinatorik. Der er dog også to nye emner om talrækker samt grænseværdier og kontinuitet. I opvarmning til infinitesimalregning fra Khan Academy får du en omfattende, oplysende og spændende introduktion til infinitesimalregning. Glæd dig!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Lad os lave nogle flere eksempler på
at bestemme grænseværdier for funktioner,

når x går mod uendelig
eller minus uendelig.

Her har jeg denne skøre funktion.

9x⁷ - 17x⁶ + 15√x / 3x⁷ + 1000x⁵ - log₂(x)

Hvad sker der, når x går mod uendelig?

Fidusen er, som vi har
set i andre eksempler,

at bestemme de dominerende led.

For eksempel ud af de 3 led i tælleren,

så vil 9x⁷ vokse meget hurtigere
end de andre led.

Det er det dominerende led i tælleren.

I nævneren vil 3x⁷ vokse
meget hurtigere end et x⁵ led

og med sikkerhed meget
hurtigere end et log₂-led.

Når vi går mod uendelig,

så vil denne funktion mere
eller mindre svare til 9x⁷ / 3x⁷.

Derfor kan vi sige,
især når vi bliver større og større

og kommer tættere og tættere på uendelig,

at disse to ting kommer
tættere og tættere på hinanden.

Vi kan sige, at denne grænseværdi er
det samme som denne grænseværdi

som er det samme som grænseværdien,

når x går mod uendelig…

Vi kan fjerne de to x⁷.

Den bliver 9/3 som blot er 3.

Det er blot 3.

Det er vores grænseværdi,
når x går mod uendelig

for alt dette fjolleri.

Lad os gøre det samme
med denne funktion her.

Igen en tosset funktion.

Vi går mod minus uendelig.

Det samme princip kan bruges.

Hvilke led dominerer,
når den numeriske værdi af x

bliver større og større?

I tælleren er det 3x³-leddet.

I nævneren er det 6x⁴-leddet.

Dette er det samme som grænseværdien

for 3x³ / 6x⁴, når x går mod uendelig.

Når vi reducerer dette,

så er det lig grænseværdien,
når x går mod minus uendelig, for 1/2x.

Hvad er det ?

Selvom nævneren bliver et større og
større og større negativt tal,

så bliver det 1 over et meget
meget stort negativt tal,

som giver os et tal ret tæt på 0.

Ligesom 1/x, når x går mod
minus uendelig, er tæt på 0.

Dette er en vandret asymptote i y = 0.

Jeg opfordrer dig til at afbilde den
eller prøve med tal for at bekræfte.

Fidusen er at reducere opgaven
ved blot at finde ud af,

hvilke led, der dominerer de øvrige.

Lad os se på den her.

Hvad er grænseværdien for
denne skøre funktion,

når x går mod uendelig?

Hvad er de dominerende led?

I tælleren er det 4x⁴

og i nævneren er det 250x³.

Det er højestegradsleddene.

Det er det samme som grænseværdien,

når x går mod uendelig, for 4x⁴ / 250x³,

som er det samme som grænseværdien for…

Vi kan dividere 250…

Nej, jeg lader det være, som det er.

Det er grænseværdien for (4/250)x,

da x⁴ divideret med x³ blot er x,

når x går mod uendelig.

Som er 4/250 gange grænseværdien,
når x går mod uendelig, for x.

Hvad er det?

Hvad er grænseværdien for x,
når x går mod uendelig?

Det vil blot fortsætte med
at vokse for evigt,

så det bliver lig uendelig.

Uendelig gange et tal er uendelig.

Grænseværdien, når x går mod uendelig,
for alt dette, er faktisk ubegrænset.

Det er uendeligt.

En lidt indlysende metode er,
at du fra starten ser,

at tælleren er i 4. grad.

Hvorimod det højeste led i
nævneren kun er i 3. grad.

Så tælleren vil vokse meget
hurtigere end nævneren.

Når tælleren vokser meget
hurtigere end nævneren,

så vil du gå mod uendelig.

Hvis tælleren vokser langsommere
end nævneren,

altså nævneren vokser meget
hurtigere end tælleren, som her,

så vil du nærme dig 0.

Forhåbentlig kan du bruge dette til noget.