0:00:00.470,0:00:04.140
Lad os lave nogle flere eksempler på[br]at bestemme grænseværdier for funktioner,

0:00:04.140,0:00:06.859
når x går mod uendelig[br]eller minus uendelig.

0:00:06.859,0:00:08.870
Her har jeg denne skøre funktion.

0:00:08.870,0:00:17.125
9x⁷ - 17x⁶ + 15√x / 3x⁷ + 1000x⁵ - log₂(x)

0:00:17.125,0:00:20.285
Hvad sker der, når x går mod uendelig?

0:00:20.285,0:00:22.810
Fidusen er, som vi har[br]set i andre eksempler,

0:00:22.810,0:00:26.205
at bestemme de dominerende led.

0:00:26.205,0:00:29.264
For eksempel ud af de 3 led i tælleren,

0:00:29.264,0:00:34.431
så vil 9x⁷ vokse meget hurtigere[br]end de andre led.

0:00:34.431,0:00:38.460
Det er det dominerende led i tælleren.

0:00:38.460,0:00:43.067
I nævneren vil 3x⁷ vokse[br]meget hurtigere end et x⁵ led

0:00:43.067,0:00:47.037
og med sikkerhed meget[br]hurtigere end et log₂-led.

0:00:47.037,0:00:50.011
Når vi går mod uendelig,

0:00:50.011,0:00:57.898
så vil denne funktion mere[br]eller mindre svare til 9x⁷ / 3x⁷.

0:00:57.898,0:01:00.921
Derfor kan vi sige,[br]især når vi bliver større og større

0:01:00.921,0:01:03.140
og kommer tættere og tættere på uendelig,

0:01:03.140,0:01:06.258
at disse to ting kommer[br]tættere og tættere på hinanden.

0:01:06.258,0:01:10.574
Vi kan sige, at denne grænseværdi er[br]det samme som denne grænseværdi

0:01:10.574,0:01:12.940
som er det samme som grænseværdien,

0:01:12.940,0:01:15.188
når x går mod uendelig…

0:01:15.188,0:01:17.640
Vi kan fjerne de to x⁷.

0:01:17.640,0:01:20.226
Den bliver 9/3 som blot er 3.

0:01:20.226,0:01:22.175
Det er blot 3.

0:01:22.175,0:01:24.740
Det er vores grænseværdi,[br]når x går mod uendelig

0:01:24.740,0:01:26.631
for alt dette fjolleri.

0:01:26.646,0:01:28.770
Lad os gøre det samme[br]med denne funktion her.

0:01:28.770,0:01:30.275
Igen en tosset funktion.

0:01:30.275,0:01:31.650
Vi går mod minus uendelig.

0:01:31.650,0:01:33.174
Det samme princip kan bruges.

0:01:33.174,0:01:36.940
Hvilke led dominerer,[br]når den numeriske værdi af x

0:01:36.940,0:01:40.800
bliver større og større?

0:01:40.800,0:01:43.766
I tælleren er det 3x³-leddet.

0:01:43.766,0:01:46.853
I nævneren er det 6x⁴-leddet.

0:01:46.853,0:01:49.313
Dette er det samme som grænseværdien

0:01:49.313,0:01:56.170
for 3x³ / 6x⁴, når x går mod uendelig.

0:01:56.170,0:01:57.658
Når vi reducerer dette,

0:01:57.658,0:02:05.770
så er det lig grænseværdien,[br]når x går mod minus uendelig, for 1/2x.

0:02:05.770,0:02:07.620
Hvad er det ?

0:02:07.620,0:02:12.404
Selvom nævneren bliver et større og[br]større og større negativt tal,

0:02:12.404,0:02:16.546
så bliver det 1 over et meget[br]meget stort negativt tal,

0:02:16.546,0:02:18.930
som giver os et tal ret tæt på 0.

0:02:18.930,0:02:23.375
Ligesom 1/x, når x går mod[br]minus uendelig, er tæt på 0.

0:02:23.375,0:02:28.880
Dette er en vandret asymptote i y = 0.

0:02:28.880,0:02:32.836
Jeg opfordrer dig til at afbilde den[br]eller prøve med tal for at bekræfte.

0:02:32.836,0:02:37.264
Fidusen er at reducere opgaven[br]ved blot at finde ud af,

0:02:37.264,0:02:41.804
hvilke led, der dominerer de øvrige.

0:02:41.804,0:02:43.195
Lad os se på den her.

0:02:43.195,0:02:45.390
Hvad er grænseværdien for[br]denne skøre funktion,

0:02:45.390,0:02:47.307
når x går mod uendelig?

0:02:47.307,0:02:49.645
Hvad er de dominerende led?

0:02:49.645,0:02:51.498
I tælleren er det 4x⁴

0:02:51.498,0:02:54.500
og i nævneren er det 250x³.

0:02:54.500,0:02:56.006
Det er højestegradsleddene.

0:02:56.006,0:02:58.720
Det er det samme som grænseværdien,

0:02:58.720,0:03:09.645
når x går mod uendelig, for 4x⁴ / 250x³,

0:03:09.645,0:03:12.650
som er det samme som grænseværdien for…

0:03:12.650,0:03:17.864
Vi kan dividere 250…

0:03:17.864,0:03:19.580
Nej, jeg lader det være, som det er.

0:03:19.580,0:03:23.120
Det er grænseværdien for (4/250)x,

0:03:23.120,0:03:26.820
da x⁴ divideret med x³ blot er x,

0:03:26.820,0:03:28.518
når x går mod uendelig.

0:03:28.518,0:03:39.947
Som er 4/250 gange grænseværdien,[br]når x går mod uendelig, for x.

0:03:39.947,0:03:40.847
Hvad er det?

0:03:40.847,0:03:43.634
Hvad er grænseværdien for x,[br]når x går mod uendelig?

0:03:43.634,0:03:45.790
Det vil blot fortsætte med[br]at vokse for evigt,

0:03:45.790,0:03:48.290
så det bliver lig uendelig.

0:03:48.290,0:03:51.651
Uendelig gange et tal er uendelig.

0:03:51.651,0:03:56.183
Grænseværdien, når x går mod uendelig,[br]for alt dette, er faktisk ubegrænset.

0:03:56.183,0:03:57.480
Det er uendeligt.

0:03:57.480,0:04:01.081
En lidt indlysende metode er,[br]at du fra starten ser,

0:04:01.081,0:04:04.797
at tælleren er i 4. grad.

0:04:04.797,0:04:08.359
Hvorimod det højeste led i[br]nævneren kun er i 3. grad.

0:04:08.359,0:04:11.801
Så tælleren vil vokse meget[br]hurtigere end nævneren.

0:04:11.801,0:04:16.162
Når tælleren vokser meget[br]hurtigere end nævneren,

0:04:16.162,0:04:18.557
så vil du gå mod uendelig.

0:04:18.557,0:04:23.555
Hvis tælleren vokser langsommere[br]end nævneren,

0:04:23.555,0:04:27.300
altså nævneren vokser meget[br]hurtigere end tælleren, som her,

0:04:27.300,0:04:29.692
så vil du nærme dig 0.

0:04:29.692,0:04:32.501
Forhåbentlig kan du bruge dette til noget.