WEBVTT

00:00:00.470 --> 00:00:04.140
Lad os lave nogle flere eksempler på
at bestemme grænseværdier for funktioner,

00:00:04.140 --> 00:00:06.859
når x går mod uendelig
eller minus uendelig.

00:00:06.859 --> 00:00:08.870
Her har jeg denne skøre funktion.

00:00:08.870 --> 00:00:17.125
9x⁷ - 17x⁶ + 15√x / 3x⁷ + 1000x⁵ - log₂(x)

00:00:17.125 --> 00:00:20.285
Hvad sker der, når x går mod uendelig?

00:00:20.285 --> 00:00:22.810
Fidusen er, som vi har
set i andre eksempler,

00:00:22.810 --> 00:00:26.205
at bestemme de dominerende led.

00:00:26.205 --> 00:00:29.264
For eksempel ud af de 3 led i tælleren,

00:00:29.264 --> 00:00:34.431
så vil 9x⁷ vokse meget hurtigere
end de andre led.

00:00:34.431 --> 00:00:38.460
Det er det dominerende led i tælleren.

00:00:38.460 --> 00:00:43.067
I nævneren vil 3x⁷ vokse
meget hurtigere end et x⁵ led

00:00:43.067 --> 00:00:47.037
og med sikkerhed meget
hurtigere end et log₂-led.

00:00:47.037 --> 00:00:50.011
Når vi går mod uendelig,

00:00:50.011 --> 00:00:57.898
så vil denne funktion mere
eller mindre svare til 9x⁷ / 3x⁷.

00:00:57.898 --> 00:01:00.921
Derfor kan vi sige,
især når vi bliver større og større

00:01:00.921 --> 00:01:03.140
og kommer tættere og tættere på uendelig,

00:01:03.140 --> 00:01:06.258
at disse to ting kommer
tættere og tættere på hinanden.

00:01:06.258 --> 00:01:10.574
Vi kan sige, at denne grænseværdi er
det samme som denne grænseværdi

00:01:10.574 --> 00:01:12.940
som er det samme som grænseværdien,

00:01:12.940 --> 00:01:15.188
når x går mod uendelig…

00:01:15.188 --> 00:01:17.640
Vi kan fjerne de to x⁷.

00:01:17.640 --> 00:01:20.226
Den bliver 9/3 som blot er 3.

00:01:20.226 --> 00:01:22.175
Det er blot 3.

00:01:22.175 --> 00:01:24.740
Det er vores grænseværdi,
når x går mod uendelig

00:01:24.740 --> 00:01:26.631
for alt dette fjolleri.

00:01:26.646 --> 00:01:28.770
Lad os gøre det samme
med denne funktion her.

00:01:28.770 --> 00:01:30.275
Igen en tosset funktion.

00:01:30.275 --> 00:01:31.650
Vi går mod minus uendelig.

00:01:31.650 --> 00:01:33.174
Det samme princip kan bruges.

00:01:33.174 --> 00:01:36.940
Hvilke led dominerer,
når den numeriske værdi af x

00:01:36.940 --> 00:01:40.800
bliver større og større?

00:01:40.800 --> 00:01:43.766
I tælleren er det 3x³-leddet.

00:01:43.766 --> 00:01:46.853
I nævneren er det 6x⁴-leddet.

00:01:46.853 --> 00:01:49.313
Dette er det samme som grænseværdien

00:01:49.313 --> 00:01:56.170
for 3x³ / 6x⁴, når x går mod uendelig.

00:01:56.170 --> 00:01:57.658
Når vi reducerer dette,

00:01:57.658 --> 00:02:05.770
så er det lig grænseværdien,
når x går mod minus uendelig, for 1/2x.

00:02:05.770 --> 00:02:07.620
Hvad er det ?

00:02:07.620 --> 00:02:12.404
Selvom nævneren bliver et større og
større og større negativt tal,

00:02:12.404 --> 00:02:16.546
så bliver det 1 over et meget
meget stort negativt tal,

00:02:16.546 --> 00:02:18.930
som giver os et tal ret tæt på 0.

00:02:18.930 --> 00:02:23.375
Ligesom 1/x, når x går mod
minus uendelig, er tæt på 0.

00:02:23.375 --> 00:02:28.880
Dette er en vandret asymptote i y = 0.

00:02:28.880 --> 00:02:32.836
Jeg opfordrer dig til at afbilde den
eller prøve med tal for at bekræfte.

00:02:32.836 --> 00:02:37.264
Fidusen er at reducere opgaven
ved blot at finde ud af,

00:02:37.264 --> 00:02:41.804
hvilke led, der dominerer de øvrige.

00:02:41.804 --> 00:02:43.195
Lad os se på den her.

00:02:43.195 --> 00:02:45.390
Hvad er grænseværdien for
denne skøre funktion,

00:02:45.390 --> 00:02:47.307
når x går mod uendelig?

00:02:47.307 --> 00:02:49.645
Hvad er de dominerende led?

00:02:49.645 --> 00:02:51.498
I tælleren er det 4x⁴

00:02:51.498 --> 00:02:54.500
og i nævneren er det 250x³.

00:02:54.500 --> 00:02:56.006
Det er højestegradsleddene.

00:02:56.006 --> 00:02:58.720
Det er det samme som grænseværdien,

00:02:58.720 --> 00:03:09.645
når x går mod uendelig, for 4x⁴ / 250x³,

00:03:09.645 --> 00:03:12.650
som er det samme som grænseværdien for…

00:03:12.650 --> 00:03:17.864
Vi kan dividere 250…

00:03:17.864 --> 00:03:19.580
Nej, jeg lader det være, som det er.

00:03:19.580 --> 00:03:23.120
Det er grænseværdien for (4/250)x,

00:03:23.120 --> 00:03:26.820
da x⁴ divideret med x³ blot er x,

00:03:26.820 --> 00:03:28.518
når x går mod uendelig.

00:03:28.518 --> 00:03:39.947
Som er 4/250 gange grænseværdien,
når x går mod uendelig, for x.

00:03:39.947 --> 00:03:40.847
Hvad er det?

00:03:40.847 --> 00:03:43.634
Hvad er grænseværdien for x,
når x går mod uendelig?

00:03:43.634 --> 00:03:45.790
Det vil blot fortsætte med
at vokse for evigt,

00:03:45.790 --> 00:03:48.290
så det bliver lig uendelig.

00:03:48.290 --> 00:03:51.651
Uendelig gange et tal er uendelig.

00:03:51.651 --> 00:03:56.183
Grænseværdien, når x går mod uendelig,
for alt dette, er faktisk ubegrænset.

00:03:56.183 --> 00:03:57.480
Det er uendeligt.

00:03:57.480 --> 00:04:01.081
En lidt indlysende metode er,
at du fra starten ser,

00:04:01.081 --> 00:04:04.797
at tælleren er i 4. grad.

00:04:04.797 --> 00:04:08.359
Hvorimod det højeste led i
nævneren kun er i 3. grad.

00:04:08.359 --> 00:04:11.801
Så tælleren vil vokse meget
hurtigere end nævneren.

00:04:11.801 --> 00:04:16.162
Når tælleren vokser meget
hurtigere end nævneren,

00:04:16.162 --> 00:04:18.557
så vil du gå mod uendelig.

00:04:18.557 --> 00:04:23.555
Hvis tælleren vokser langsommere
end nævneren,

00:04:23.555 --> 00:04:27.300
altså nævneren vokser meget
hurtigere end tælleren, som her,

00:04:27.300 --> 00:04:29.692
så vil du nærme dig 0.

00:04:29.692 --> 00:04:32.501
Forhåbentlig kan du bruge dette til noget.