Lad os lave nogle flere eksempler på at bestemme grænseværdier for funktioner,
når x går mod uendelig eller minus uendelig.
Her har jeg denne skøre funktion.
9x⁷ - 17x⁶ + 15√x / 3x⁷ + 1000x⁵ - log₂(x)
Hvad sker der, når x går mod uendelig?
Fidusen er, som vi har set i andre eksempler,
at bestemme de dominerende led.
For eksempel ud af de 3 led i tælleren,
så vil 9x⁷ vokse meget hurtigere end de andre led.
Det er det dominerende led i tælleren.
I nævneren vil 3x⁷ vokse meget hurtigere end et x⁵ led
og med sikkerhed meget hurtigere end et log₂-led.
Når vi går mod uendelig,
så vil denne funktion mere eller mindre svare til 9x⁷ / 3x⁷.
Derfor kan vi sige, især når vi bliver større og større
og kommer tættere og tættere på uendelig,
at disse to ting kommer tættere og tættere på hinanden.
Vi kan sige, at denne grænseværdi er det samme som denne grænseværdi
som er det samme som grænseværdien,
når x går mod uendelig…
Vi kan fjerne de to x⁷.
Den bliver 9/3 som blot er 3.
Det er blot 3.
Det er vores grænseværdi, når x går mod uendelig
for alt dette fjolleri.
Lad os gøre det samme med denne funktion her.
Igen en tosset funktion.
Vi går mod minus uendelig.
Det samme princip kan bruges.
Hvilke led dominerer, når den numeriske værdi af x
bliver større og større?
I tælleren er det 3x³-leddet.
I nævneren er det 6x⁴-leddet.
Dette er det samme som grænseværdien
for 3x³ / 6x⁴, når x går mod uendelig.
Når vi reducerer dette,
så er det lig grænseværdien, når x går mod minus uendelig, for 1/2x.
Hvad er det ?
Selvom nævneren bliver et større og større og større negativt tal,
så bliver det 1 over et meget meget stort negativt tal,
som giver os et tal ret tæt på 0.
Ligesom 1/x, når x går mod minus uendelig, er tæt på 0.
Dette er en vandret asymptote i y = 0.
Jeg opfordrer dig til at afbilde den eller prøve med tal for at bekræfte.
Fidusen er at reducere opgaven ved blot at finde ud af,
hvilke led, der dominerer de øvrige.
Lad os se på den her.
Hvad er grænseværdien for denne skøre funktion,
når x går mod uendelig?
Hvad er de dominerende led?
I tælleren er det 4x⁴
og i nævneren er det 250x³.
Det er højestegradsleddene.
Det er det samme som grænseværdien,
når x går mod uendelig, for 4x⁴ / 250x³,
som er det samme som grænseværdien for…
Vi kan dividere 250…
Nej, jeg lader det være, som det er.
Det er grænseværdien for (4/250)x,
da x⁴ divideret med x³ blot er x,
når x går mod uendelig.
Som er 4/250 gange grænseværdien, når x går mod uendelig, for x.
Hvad er det?
Hvad er grænseværdien for x, når x går mod uendelig?
Det vil blot fortsætte med at vokse for evigt,
så det bliver lig uendelig.
Uendelig gange et tal er uendelig.
Grænseværdien, når x går mod uendelig, for alt dette, er faktisk ubegrænset.
Det er uendeligt.
En lidt indlysende metode er, at du fra starten ser,
at tælleren er i 4. grad.
Hvorimod det højeste led i nævneren kun er i 3. grad.
Så tælleren vil vokse meget hurtigere end nævneren.
Når tælleren vokser meget hurtigere end nævneren,
så vil du gå mod uendelig.
Hvis tælleren vokser langsommere end nævneren,
altså nævneren vokser meget hurtigere end tælleren, som her,
så vil du nærme dig 0.
Forhåbentlig kan du bruge dette til noget.