1
00:00:00,470 --> 00:00:04,140
Lad os lave nogle flere eksempler på
at bestemme grænseværdier for funktioner,

2
00:00:04,140 --> 00:00:06,859
når x går mod uendelig
eller minus uendelig.

3
00:00:06,859 --> 00:00:08,870
Her har jeg denne skøre funktion.

4
00:00:08,870 --> 00:00:17,125
9x⁷ - 17x⁶ + 15√x / 3x⁷ + 1000x⁵ - log₂(x)

5
00:00:17,125 --> 00:00:20,285
Hvad sker der, når x går mod uendelig?

6
00:00:20,285 --> 00:00:22,810
Fidusen er, som vi har
set i andre eksempler,

7
00:00:22,810 --> 00:00:26,205
at bestemme de dominerende led.

8
00:00:26,205 --> 00:00:29,264
For eksempel ud af de 3 led i tælleren,

9
00:00:29,264 --> 00:00:34,431
så vil 9x⁷ vokse meget hurtigere
end de andre led.

10
00:00:34,431 --> 00:00:38,460
Det er det dominerende led i tælleren.

11
00:00:38,460 --> 00:00:43,067
I nævneren vil 3x⁷ vokse
meget hurtigere end et x⁵ led

12
00:00:43,067 --> 00:00:47,037
og med sikkerhed meget
hurtigere end et log₂-led.

13
00:00:47,037 --> 00:00:50,011
Når vi går mod uendelig,

14
00:00:50,011 --> 00:00:57,898
så vil denne funktion mere
eller mindre svare til 9x⁷ / 3x⁷.

15
00:00:57,898 --> 00:01:00,921
Derfor kan vi sige,
især når vi bliver større og større

16
00:01:00,921 --> 00:01:03,140
og kommer tættere og tættere på uendelig,

17
00:01:03,140 --> 00:01:06,258
at disse to ting kommer
tættere og tættere på hinanden.

18
00:01:06,258 --> 00:01:10,574
Vi kan sige, at denne grænseværdi er
det samme som denne grænseværdi

19
00:01:10,574 --> 00:01:12,940
som er det samme som grænseværdien,

20
00:01:12,940 --> 00:01:15,188
når x går mod uendelig…

21
00:01:15,188 --> 00:01:17,640
Vi kan fjerne de to x⁷.

22
00:01:17,640 --> 00:01:20,226
Den bliver 9/3 som blot er 3.

23
00:01:20,226 --> 00:01:22,175
Det er blot 3.

24
00:01:22,175 --> 00:01:24,740
Det er vores grænseværdi,
når x går mod uendelig

25
00:01:24,740 --> 00:01:26,631
for alt dette fjolleri.

26
00:01:26,646 --> 00:01:28,770
Lad os gøre det samme
med denne funktion her.

27
00:01:28,770 --> 00:01:30,275
Igen en tosset funktion.

28
00:01:30,275 --> 00:01:31,650
Vi går mod minus uendelig.

29
00:01:31,650 --> 00:01:33,174
Det samme princip kan bruges.

30
00:01:33,174 --> 00:01:36,940
Hvilke led dominerer,
når den numeriske værdi af x

31
00:01:36,940 --> 00:01:40,800
bliver større og større?

32
00:01:40,800 --> 00:01:43,766
I tælleren er det 3x³-leddet.

33
00:01:43,766 --> 00:01:46,853
I nævneren er det 6x⁴-leddet.

34
00:01:46,853 --> 00:01:49,313
Dette er det samme som grænseværdien

35
00:01:49,313 --> 00:01:56,170
for 3x³ / 6x⁴, når x går mod uendelig.

36
00:01:56,170 --> 00:01:57,658
Når vi reducerer dette,

37
00:01:57,658 --> 00:02:05,770
så er det lig grænseværdien,
når x går mod minus uendelig, for 1/2x.

38
00:02:05,770 --> 00:02:07,620
Hvad er det ?

39
00:02:07,620 --> 00:02:12,404
Selvom nævneren bliver et større og
større og større negativt tal,

40
00:02:12,404 --> 00:02:16,546
så bliver det 1 over et meget
meget stort negativt tal,

41
00:02:16,546 --> 00:02:18,930
som giver os et tal ret tæt på 0.

42
00:02:18,930 --> 00:02:23,375
Ligesom 1/x, når x går mod
minus uendelig, er tæt på 0.

43
00:02:23,375 --> 00:02:28,880
Dette er en vandret asymptote i y = 0.

44
00:02:28,880 --> 00:02:32,836
Jeg opfordrer dig til at afbilde den
eller prøve med tal for at bekræfte.

45
00:02:32,836 --> 00:02:37,264
Fidusen er at reducere opgaven
ved blot at finde ud af,

46
00:02:37,264 --> 00:02:41,804
hvilke led, der dominerer de øvrige.

47
00:02:41,804 --> 00:02:43,195
Lad os se på den her.

48
00:02:43,195 --> 00:02:45,390
Hvad er grænseværdien for
denne skøre funktion,

49
00:02:45,390 --> 00:02:47,307
når x går mod uendelig?

50
00:02:47,307 --> 00:02:49,645
Hvad er de dominerende led?

51
00:02:49,645 --> 00:02:51,498
I tælleren er det 4x⁴

52
00:02:51,498 --> 00:02:54,500
og i nævneren er det 250x³.

53
00:02:54,500 --> 00:02:56,006
Det er højestegradsleddene.

54
00:02:56,006 --> 00:02:58,720
Det er det samme som grænseværdien,

55
00:02:58,720 --> 00:03:09,645
når x går mod uendelig, for 4x⁴ / 250x³,

56
00:03:09,645 --> 00:03:12,650
som er det samme som grænseværdien for…

57
00:03:12,650 --> 00:03:17,864
Vi kan dividere 250…

58
00:03:17,864 --> 00:03:19,580
Nej, jeg lader det være, som det er.

59
00:03:19,580 --> 00:03:23,120
Det er grænseværdien for (4/250)x,

60
00:03:23,120 --> 00:03:26,820
da x⁴ divideret med x³ blot er x,

61
00:03:26,820 --> 00:03:28,518
når x går mod uendelig.

62
00:03:28,518 --> 00:03:39,947
Som er 4/250 gange grænseværdien,
når x går mod uendelig, for x.

63
00:03:39,947 --> 00:03:40,847
Hvad er det?

64
00:03:40,847 --> 00:03:43,634
Hvad er grænseværdien for x,
når x går mod uendelig?

65
00:03:43,634 --> 00:03:45,790
Det vil blot fortsætte med
at vokse for evigt,

66
00:03:45,790 --> 00:03:48,290
så det bliver lig uendelig.

67
00:03:48,290 --> 00:03:51,651
Uendelig gange et tal er uendelig.

68
00:03:51,651 --> 00:03:56,183
Grænseværdien, når x går mod uendelig,
for alt dette, er faktisk ubegrænset.

69
00:03:56,183 --> 00:03:57,480
Det er uendeligt.

70
00:03:57,480 --> 00:04:01,081
En lidt indlysende metode er,
at du fra starten ser,

71
00:04:01,081 --> 00:04:04,797
at tælleren er i 4. grad.

72
00:04:04,797 --> 00:04:08,359
Hvorimod det højeste led i
nævneren kun er i 3. grad.

73
00:04:08,359 --> 00:04:11,801
Så tælleren vil vokse meget
hurtigere end nævneren.

74
00:04:11,801 --> 00:04:16,162
Når tælleren vokser meget
hurtigere end nævneren,

75
00:04:16,162 --> 00:04:18,557
så vil du gå mod uendelig.

76
00:04:18,557 --> 00:04:23,555
Hvis tælleren vokser langsommere
end nævneren,

77
00:04:23,555 --> 00:04:27,300
altså nævneren vokser meget
hurtigere end tælleren, som her,

78
00:04:27,300 --> 00:04:29,692
så vil du nærme dig 0.

79
00:04:29,692 --> 00:04:32,501
Forhåbentlig kan du bruge dette til noget.