-
Próbáljuk meg megoldani a következő egyenletet!
-
Mondjuk, ez szerepel benne: 2x plusz 3... a 2x plusz 3 egyenlő...
-
egyenlő 5x mínusz 2-vel.
-
Hát ez első ránézésre már gyanús lehet...
-
Az egyenlet mindkét oldalán van ugye x-ünk.
-
Össze is adunk, meg ki is vonunk...
-
Akkor ezt hogyan lehet megoldani?
-
Na ezt többféle módon is meg fogjuk itt tenni!
-
A legfontosabb, amire emlékeznünk kell, az az, hogy
-
az x-eket egy oldalra rendezzük!
-
Mivel ha már az x-ek egy oldalon szerepelnek, akkor egy bizonyos összeggel lesznek egyenlőek.
-
Az x értéke tehát megadható lesz.
-
Akkor így ennyi is a feladat, már így meg is oldhatjuk!
-
És aztán ekkor vissza is térhetünk az eredeti egyenlethez és leellenőrizhetjük, hogy az úgy jó-e.
-
Szóval, most akkor egy jó pár műveletet el fogunk végezni az egyenlet
-
mindkét oldalán, hogy aztán a végén csak az egyik oldalon maradjon az x.
-
De eközben én azért szeretném az elvégzett lépéseket
-
szemléletesség végett lejegyezni.
-
Azért, mert nem az a cél, hogy megtanuljuk, mik az egyenletnél
-
követendő szabályok vagy lépések...
-
és aztán csak azt kérdezgessük magunktól, hogy vajon ezt vagy azt a lépést meg lehet-e tenni vagy sem,
-
mert ha szemléltetjük a történteket, akkor valójában pofon-
-
egyszerű lesz, hogy mit is lehet ilyenkor tennünk!
-
Akkor ábrázoljuk is a lépéseket!
-
Szóval van nekünk 2x-ünk a bal oldalon itt!
-
Ez valójában annyi, mint x plusz x.
-
És aztán még ott van emellett a plusz 3.
-
... plusz 3. Ezt így jelölöm.
-
Ez annyi ugye, mint 1 plusz 1 plusz 1.
-
Ez egyenlő a 3-mal.
-
Akár 3 kört is rajzolhattam volna ide.
-
Ugyanazt a színt használjuk!
-
Plusz 3.
-
És ez az egész egyenlő 5x-szel.
-
Ezt kékkel jelöljük!
-
Ez egyenlő 5x-szel.
-
Tehát 1,2,3,4,5.
-
Azt szeretném, hogy világos legyen!
-
Valójában persze nem kell ezt mindig végigzongorázni, amikor
-
a feladatokat megoldjuk...
-
Csak az algebrai műveletekkel kell olyankor törődni.
-
De most ezt azért csináljuk, hogy lássuk, mi is
-
az, amit itt ez az egyenlet állít.
-
A bal oldalon itt van ez a 2 narancssárga x plusz 3.
-
A jobb oldalon pedig az 5x mínusz 2.
-
Szóval mínusz 2... le is írhatjuk... akkor meg is teszem...
-
egy másik színnel! Mondjuk legyen rózsaszín!
-
tehát mínusz 2... ebből mínusz 1-et és mínusz 1-et csinálok.
-
Na most akkor hozzuk egy oldalra a művelet két oldalán
-
szereplő x-eket.
-
Na de ezt hogyan is lehet megtenni?
-
Nos, erre két alternatíva is van!
-
Ezt a 2 x-et kivonhatjuk az egyenlet mindkét
-
oldalából első lépésként.
-
És ez a lépés igencsak indokoltnak is tűnik!
-
Mivel, ekkor azt kapnánk, hogy 5x mínusz 2x.
-
Ekkor a jobb oldalon pozítív x mennyiséget kapunk.
-
Vagy akár az 5x-et is kivonhatjuk mindkét oldalból...
-
Ez a szép igazán az algebrában.
-
Amíg úgy járunk el, hogy a műveletek szabálykövetőek, addig
-
bárhogy is teszünk, ugyanazt az eredményt kapjuk!
-
Akkor nézzük azt, amikor a 2x-et vonjuk ki az
-
egyenlet mindkét oldalából!
-
És itt ennek az a lényege, hogy innen az x-eket... innen a bal oldalról
-
teljesen el tudjuk távolítani.
-
És ahhoz, hogy ezt a 2x-et el tudjuk venni a bal oldalból,
-
a jobb oldalról is ugyanúgy ki kell vonnunk 2x-et!
-
Éppen így!
-
És abban az esetben mit kapunk, ha
-
elvégezzük a kivonást a 2x-szel?
-
2x-et elveszünk a bal oldalról...
-
és kivonjuk a 2x-et a jobb oldalból is!
-
Akkor most mire egyszerűsödött le a bal oldalunk?
-
Az szerepel most itt, hogy 2x plusz 3 mínusz 2x.
-
Ekkor a 2x-szel egyszerűsíthetünk!
-
Így akkor csak az maradt, hogy... csak annyi, hogy 3.
-
És akkor ezt itt is látni is lehet!
-
Eltávolítottuk innen a 2x-et.
-
Csak az maradt, hogy 1 meg 1 meg 1.
-
És aztán a jobb oldalon pedig: 5x mínusz 2x.
-
Ez szerepel itt nekünk.
-
Tehát 5x-ből 2x.
-
Csak 1,2,3 x-ünk marad meg így már.
-
3 az 3x-szel egyenlő.
-
És aztán itt van még nekünk a mínusz 2.
-
Itt van a mínusz 2.
-
Amúgy, normális esetben, ha szigorúan csak a feladat megoldására koncentrálnánk, akkor
-
csak azt írnánk fel, ami itt a bal oldalon szerepel.
-
Nos, akkor most mi a következő teendő?
-
Ne feledjük, az x-eket akarjuk egy helyre rendezni...
-
Nos, az összes x-ünk a jobb oldalra került már.
-
Ha ettől a mínusz 2-től meg tudunk szabadulni, itt a jobb
-
oldalon, akkor egyedül csak az x-ek maradnának meg.
-
Akkor már külön is lennének szedve.
-
Szóval, hogy is lehet akkor a mínusz 2-től megszabadulni?
-
Ezt itt be is tudom szemléletesen mutatni!
-
Ez itt negatív 1, ez negatív 1.
-
Nos, igazából a művelet mindkét oldalához hozzáadhatunk 2-t.
-
És gondoljunk csak bele, akkor mi is történik itt!
-
Szóval, ha 2-t hozzáadunk, akkor így járunk el...
-
plusz 1, plusz 1.
-
Így teljesen egyértelműen látható...
-
kettőt adunk hozzá.
-
És akkor a bal oldalhoz is hozzá kell adnunk a 2-t.
-
Azaz 1 meg 1-et.
-
Mi történik akkor?
-
Ide is hadd írjam fel csak!
-
Szóval 2-t adunk hozzá.
-
Kettőt kell tehát hozzáadnunk.
-
Akkor mi történik a bal oldalon?
-
3 meg 2 az 5-tel egyenlő.
-
És akkor ez 3x mínusz 2 plusz 2-vel egyenlő.
-
Ezek az értékek ugye kiütik egymást.
-
És akkor csak a 3x marad meg.
-
És itt is látjuk ezt!
-
És akkor a bal oldalon az van nekünk, hogy 1 meg 1 meg 1 meg 1 meg 1.
-
5 darad egyesünk van, azaz 5-ünk.
-
És a jobb oldalon pedig 3 x-ünk van.
-
Itt ugyebár!
-
És aztán van még nekünk mínusz 1, mínusz 1.
-
Meg 1 meg 1 mínusz 1 és ezekkel pedig lehet egyszerűsíteni.
-
És akkor nullát kapunk.
-
Mivel kiütik egymást.
-
Így aztán csak az marad, hogy 5 egyenlő 3x-szel.
-
Szóval ez van: 1,2,3,4,5 egyenlő a 3x-szel.
-
Akkor most letörlök mindent, amit már eltávolítottunk innen, hogy
-
jobban átlátható legyen a dolog.
-
Ezzel a sok mindennel már egyszerűsítettünk.
-
Akkor most le is törlöm őket.
-
És akkor így ni, el is tüntetjük ezeket innen.
-
Szerkesztés.
-
Törlés.
-
Csak az maradt most már, hogy 1,2,3,4,5.
-
Nos, akkor hadd rakjam át ezt ide!
-
Egyszerűen csak felírhatom ezt éppen ide is!
-
Az van nekünk, hogy 1,2,3,4,5.
-
Ez a 2 dolog, amit összeadtunk... ezek 3x-szel egyenlőek.
-
Ezekkel pedig lehetett egyszerűsíteni.
-
Ez az, amiért ott aztán semmink sem maradt.
-
Na most akkor, hogy is kell ezt megoldani? Egyszerűen csak elosztjuk
-
az egyenlet mindkét oldalát 3-mal.
-
Ezt egy kicsit nehéz lesz szemlélteni
-
ennél a felírásnál...
-
De ha itt elosztjuk mindkét részt 3-mal, akkor mit is kapunk?
-
A bal oldalt 3-mal osztjuk...
-
A jobb oldalt is 3-mal osztjuk...
-
Annak oka, hogy miért éppen 3-mal osztunk az az, hogy a felírásunkban
-
szereplő x 3-mal volt szorozva.
-
A 3 ugyanis az x-szel együtt szerepel együtthatóként, koefficiensként.
-
Ez egy jó kis szó, de csupán csak annyi jelent, hogy
-
ezzel a számmal meg van szorozva a változónk.
-
Ezzel a számmal kell számolnunk tehát, hogy a változót megkaphassuk!
-
Akkor ezeket a 3-asokat is letudjuk!
-
Az egyenlet jobb oldalán az marad csak, hogy x.
-
A bal oldalon pedig az, hogy 5 per 3.
-
Szóval 5 harmad, amely egyenlő 5 osztva 3-mal.
-
És ez az eredmény különbözik az eddig látottaktól.
-
Most az x-ünk a jobb oldalon van, az érték
-
pedig a bal oldalon.
-
Ez így teljesen rendben is van!
-
Ez így ugyanúgy azt jelenti, hogy az 5/3 az x-szel egyenlő, mintha
-
azt írtuk volna fel, hogy x egyenlő 5/3-mal.
-
Teljesen egyenértékűek.
-
Teljesen egyenértékűek.
-
Lehet, hogy a másik féle rendezéshez jobban hozzá vagyunk szokva, de
-
gyakorlatilag ugyanazt jelenti mindkét felírás.
-
Most, ha ezt vegyes számként szeretnénk felírni,
-
ha ezt vegyes számként szeretnénk felírni, akkor az 5-ben a 3
-
megvan egyszer és megmaradt a 2.
-
Akkor ez tehát 1 egész 2 harmad lesz.
-
Tehát 1 egész 2 harmad lesz.
-
Így aztán azt le is írhatjuk, hogy az x egyenlő 1 egész 2/3-dal.
-
És ezt akkor fent is hagyom a táblán, hogy vissza tudjuk az értéket
-
az eredeti egyenletbe helyettesíteni.
-
És látni is fogjuk, hogy kijön az egyenlet.
-
Most akkor, lássuk szemléletesebben, hogy hogyan is jött ki az
-
1 egész 2/3. Gondolkozzunk el ezen!
-
A számok helyett most körökkel fogunk operálni.
-
Akkor körökkel dolgozzunk!
-
Nos, még jobb ötlet, ha négyzeteket vetünk be inkább!
-
Nos akkor 5 darab négyzetünk van a bal oldalon itt.
-
Ugyanazzal a sárga színnel jelölöm...
-
Szóval van nekünk 1,2,3,4,5.
-
És ez egyenlő lesz a 3x-szel.
-
Ez x meg x meg x.
-
Na most, akkor elosztjuk az egyenlet mindkét felét 3-mal.
-
Tehát mindkét részt 3-mal osztjuk el.
-
Gyakorlatilag ez a pont volt az, ahol ezt a fentiekben elvégeztük...
-
itt osztottuk el mindkét részt 3-mal.
-
És azt, hogy ebből mi lesz, a jobb oldalon teljesen egyszerű
-
kiszámítani.
-
A 3 darab x-et 3 csoportra osztjuk.
-
Ez így 1,2,3 csoport.
-
1,2,3.
-
Na de az 5-öt hogyan osszuk el 3 felé?
-
Mert ugye ezeket is csoportokra kell bontanunk.
-
Az eredményünk segít megadni ezt.
-
Minden csoportnak 1 egész 2/3 nagyságúnak kell lennie.
-
Szóval 1 2/3.
-
Ekkor ebből még kell 2/3 ... a következő egységből...
-
És akkor így kapjuk meg az 1 egész 2/3-ot.
-
Ez így tehát az 1/3.
-
Akkor a következőhöz kell a következő szám is.
-
Még egy, az együttesen 1 és 1/3...
-
Akkor kell még egy, mert még egy 1/3 hiányzik. Ezt pedig innen
-
vesszük el.
-
És akkor annyi maradt, hogy 2/3 és még egy egész.
-
Akkor így tehát 3 csoportra osztottuk az értékeket.
-
Ez itt...
-
hogy világossá tegyük a dolgokat...
-
hogy világos legyen... ez a rész itt 1 egész 2/3.
-
1 egész 2/3.
-
Ez itt pedig, ez itt 1/3.
-
Ez egy másik 1/3, szóval ez így 2/3 és aztán itt van
-
még egy egész.
-
Így jön ki az 1 egész 2/3.
-
És végül ez a 2/3 és ez az 1 adja, hogy ez is
-
1 egész 2/3 legyen.
-
Szóval, amikor mindkét oldalt 3-mal osztjuk el, akkor 1 egész 2/3-ot kapunk.
-
Minden rész, egység itt a bal oldalon 1 egész 2/3 lesz.
-
A bal oldalon 5/3-unk van.
-
És a jobb odalon csak egyszerűen x szerepel.
-
És akkor ez így működik is!
-
Tudom, a tört számok ábrázolása kicsivel bonyolultabb ugyan...
