Próbáljuk meg megoldani a következő egyenletet! Mondjuk, ez szerepel benne: 2x plusz 3... a 2x plusz 3 egyenlő... egyenlő 5x mínusz 2-vel. Hát ez első ránézésre már gyanús lehet... Az egyenlet mindkét oldalán van ugye x-ünk. Össze is adunk, meg ki is vonunk... Akkor ezt hogyan lehet megoldani? Na ezt többféle módon is meg fogjuk itt tenni! A legfontosabb, amire emlékeznünk kell, az az, hogy az x-eket egy oldalra rendezzük! Mivel ha már az x-ek egy oldalon szerepelnek, akkor egy bizonyos összeggel lesznek egyenlőek. Az x értéke tehát megadható lesz. Akkor így ennyi is a feladat, már így meg is oldhatjuk! És aztán ekkor vissza is térhetünk az eredeti egyenlethez és leellenőrizhetjük, hogy az úgy jó-e. Szóval, most akkor egy jó pár műveletet el fogunk végezni az egyenlet mindkét oldalán, hogy aztán a végén csak az egyik oldalon maradjon az x. De eközben én azért szeretném az elvégzett lépéseket szemléletesség végett lejegyezni. Azért, mert nem az a cél, hogy megtanuljuk, mik az egyenletnél követendő szabályok vagy lépések... és aztán csak azt kérdezgessük magunktól, hogy vajon ezt vagy azt a lépést meg lehet-e tenni vagy sem, mert ha szemléltetjük a történteket, akkor valójában pofon- egyszerű lesz, hogy mit is lehet ilyenkor tennünk! Akkor ábrázoljuk is a lépéseket! Szóval van nekünk 2x-ünk a bal oldalon itt! Ez valójában annyi, mint x plusz x. És aztán még ott van emellett a plusz 3. ... plusz 3. Ezt így jelölöm. Ez annyi ugye, mint 1 plusz 1 plusz 1. Ez egyenlő a 3-mal. Akár 3 kört is rajzolhattam volna ide. Ugyanazt a színt használjuk! Plusz 3. És ez az egész egyenlő 5x-szel. Ezt kékkel jelöljük! Ez egyenlő 5x-szel. Tehát 1,2,3,4,5. Azt szeretném, hogy világos legyen! Valójában persze nem kell ezt mindig végigzongorázni, amikor a feladatokat megoldjuk... Csak az algebrai műveletekkel kell olyankor törődni. De most ezt azért csináljuk, hogy lássuk, mi is az, amit itt ez az egyenlet állít. A bal oldalon itt van ez a 2 narancssárga x plusz 3. A jobb oldalon pedig az 5x mínusz 2. Szóval mínusz 2... le is írhatjuk... akkor meg is teszem... egy másik színnel! Mondjuk legyen rózsaszín! tehát mínusz 2... ebből mínusz 1-et és mínusz 1-et csinálok. Na most akkor hozzuk egy oldalra a művelet két oldalán szereplő x-eket. Na de ezt hogyan is lehet megtenni? Nos, erre két alternatíva is van! Ezt a 2 x-et kivonhatjuk az egyenlet mindkét oldalából első lépésként. És ez a lépés igencsak indokoltnak is tűnik! Mivel, ekkor azt kapnánk, hogy 5x mínusz 2x. Ekkor a jobb oldalon pozítív x mennyiséget kapunk. Vagy akár az 5x-et is kivonhatjuk mindkét oldalból... Ez a szép igazán az algebrában. Amíg úgy járunk el, hogy a műveletek szabálykövetőek, addig bárhogy is teszünk, ugyanazt az eredményt kapjuk! Akkor nézzük azt, amikor a 2x-et vonjuk ki az egyenlet mindkét oldalából! És itt ennek az a lényege, hogy innen az x-eket... innen a bal oldalról teljesen el tudjuk távolítani. És ahhoz, hogy ezt a 2x-et el tudjuk venni a bal oldalból, a jobb oldalról is ugyanúgy ki kell vonnunk 2x-et! Éppen így! És abban az esetben mit kapunk, ha elvégezzük a kivonást a 2x-szel? 2x-et elveszünk a bal oldalról... és kivonjuk a 2x-et a jobb oldalból is! Akkor most mire egyszerűsödött le a bal oldalunk? Az szerepel most itt, hogy 2x plusz 3 mínusz 2x. Ekkor a 2x-szel egyszerűsíthetünk! Így akkor csak az maradt, hogy... csak annyi, hogy 3. És akkor ezt itt is látni is lehet! Eltávolítottuk innen a 2x-et. Csak az maradt, hogy 1 meg 1 meg 1. És aztán a jobb oldalon pedig: 5x mínusz 2x. Ez szerepel itt nekünk. Tehát 5x-ből 2x. Csak 1,2,3 x-ünk marad meg így már. 3 az 3x-szel egyenlő. És aztán itt van még nekünk a mínusz 2. Itt van a mínusz 2. Amúgy, normális esetben, ha szigorúan csak a feladat megoldására koncentrálnánk, akkor csak azt írnánk fel, ami itt a bal oldalon szerepel. Nos, akkor most mi a következő teendő? Ne feledjük, az x-eket akarjuk egy helyre rendezni... Nos, az összes x-ünk a jobb oldalra került már. Ha ettől a mínusz 2-től meg tudunk szabadulni, itt a jobb oldalon, akkor egyedül csak az x-ek maradnának meg. Akkor már külön is lennének szedve. Szóval, hogy is lehet akkor a mínusz 2-től megszabadulni? Ezt itt be is tudom szemléletesen mutatni! Ez itt negatív 1, ez negatív 1. Nos, igazából a művelet mindkét oldalához hozzáadhatunk 2-t. És gondoljunk csak bele, akkor mi is történik itt! Szóval, ha 2-t hozzáadunk, akkor így járunk el... plusz 1, plusz 1. Így teljesen egyértelműen látható... kettőt adunk hozzá. És akkor a bal oldalhoz is hozzá kell adnunk a 2-t. Azaz 1 meg 1-et. Mi történik akkor? Ide is hadd írjam fel csak! Szóval 2-t adunk hozzá. Kettőt kell tehát hozzáadnunk. Akkor mi történik a bal oldalon? 3 meg 2 az 5-tel egyenlő. És akkor ez 3x mínusz 2 plusz 2-vel egyenlő. Ezek az értékek ugye kiütik egymást. És akkor csak a 3x marad meg. És itt is látjuk ezt! És akkor a bal oldalon az van nekünk, hogy 1 meg 1 meg 1 meg 1 meg 1. 5 darad egyesünk van, azaz 5-ünk. És a jobb oldalon pedig 3 x-ünk van. Itt ugyebár! És aztán van még nekünk mínusz 1, mínusz 1. Meg 1 meg 1 mínusz 1 és ezekkel pedig lehet egyszerűsíteni. És akkor nullát kapunk. Mivel kiütik egymást. Így aztán csak az marad, hogy 5 egyenlő 3x-szel. Szóval ez van: 1,2,3,4,5 egyenlő a 3x-szel. Akkor most letörlök mindent, amit már eltávolítottunk innen, hogy jobban átlátható legyen a dolog. Ezzel a sok mindennel már egyszerűsítettünk. Akkor most le is törlöm őket. És akkor így ni, el is tüntetjük ezeket innen. Szerkesztés. Törlés. Csak az maradt most már, hogy 1,2,3,4,5. Nos, akkor hadd rakjam át ezt ide! Egyszerűen csak felírhatom ezt éppen ide is! Az van nekünk, hogy 1,2,3,4,5. Ez a 2 dolog, amit összeadtunk... ezek 3x-szel egyenlőek. Ezekkel pedig lehetett egyszerűsíteni. Ez az, amiért ott aztán semmink sem maradt. Na most akkor, hogy is kell ezt megoldani? Egyszerűen csak elosztjuk az egyenlet mindkét oldalát 3-mal. Ezt egy kicsit nehéz lesz szemlélteni ennél a felírásnál... De ha itt elosztjuk mindkét részt 3-mal, akkor mit is kapunk? A bal oldalt 3-mal osztjuk... A jobb oldalt is 3-mal osztjuk... Annak oka, hogy miért éppen 3-mal osztunk az az, hogy a felírásunkban szereplő x 3-mal volt szorozva. A 3 ugyanis az x-szel együtt szerepel együtthatóként, koefficiensként. Ez egy jó kis szó, de csupán csak annyi jelent, hogy ezzel a számmal meg van szorozva a változónk. Ezzel a számmal kell számolnunk tehát, hogy a változót megkaphassuk! Akkor ezeket a 3-asokat is letudjuk! Az egyenlet jobb oldalán az marad csak, hogy x. A bal oldalon pedig az, hogy 5 per 3. Szóval 5 harmad, amely egyenlő 5 osztva 3-mal. És ez az eredmény különbözik az eddig látottaktól. Most az x-ünk a jobb oldalon van, az érték pedig a bal oldalon. Ez így teljesen rendben is van! Ez így ugyanúgy azt jelenti, hogy az 5/3 az x-szel egyenlő, mintha azt írtuk volna fel, hogy x egyenlő 5/3-mal. Teljesen egyenértékűek. Teljesen egyenértékűek. Lehet, hogy a másik féle rendezéshez jobban hozzá vagyunk szokva, de gyakorlatilag ugyanazt jelenti mindkét felírás. Most, ha ezt vegyes számként szeretnénk felírni, ha ezt vegyes számként szeretnénk felírni, akkor az 5-ben a 3 megvan egyszer és megmaradt a 2. Akkor ez tehát 1 egész 2 harmad lesz. Tehát 1 egész 2 harmad lesz. Így aztán azt le is írhatjuk, hogy az x egyenlő 1 egész 2/3-dal. És ezt akkor fent is hagyom a táblán, hogy vissza tudjuk az értéket az eredeti egyenletbe helyettesíteni. És látni is fogjuk, hogy kijön az egyenlet. Most akkor, lássuk szemléletesebben, hogy hogyan is jött ki az 1 egész 2/3. Gondolkozzunk el ezen! A számok helyett most körökkel fogunk operálni. Akkor körökkel dolgozzunk! Nos, még jobb ötlet, ha négyzeteket vetünk be inkább! Nos akkor 5 darab négyzetünk van a bal oldalon itt. Ugyanazzal a sárga színnel jelölöm... Szóval van nekünk 1,2,3,4,5. És ez egyenlő lesz a 3x-szel. Ez x meg x meg x. Na most, akkor elosztjuk az egyenlet mindkét felét 3-mal. Tehát mindkét részt 3-mal osztjuk el. Gyakorlatilag ez a pont volt az, ahol ezt a fentiekben elvégeztük... itt osztottuk el mindkét részt 3-mal. És azt, hogy ebből mi lesz, a jobb oldalon teljesen egyszerű kiszámítani. A 3 darab x-et 3 csoportra osztjuk. Ez így 1,2,3 csoport. 1,2,3. Na de az 5-öt hogyan osszuk el 3 felé? Mert ugye ezeket is csoportokra kell bontanunk. Az eredményünk segít megadni ezt. Minden csoportnak 1 egész 2/3 nagyságúnak kell lennie. Szóval 1 2/3. Ekkor ebből még kell 2/3 ... a következő egységből... És akkor így kapjuk meg az 1 egész 2/3-ot. Ez így tehát az 1/3. Akkor a következőhöz kell a következő szám is. Még egy, az együttesen 1 és 1/3... Akkor kell még egy, mert még egy 1/3 hiányzik. Ezt pedig innen vesszük el. És akkor annyi maradt, hogy 2/3 és még egy egész. Akkor így tehát 3 csoportra osztottuk az értékeket. Ez itt... hogy világossá tegyük a dolgokat... hogy világos legyen... ez a rész itt 1 egész 2/3. 1 egész 2/3. Ez itt pedig, ez itt 1/3. Ez egy másik 1/3, szóval ez így 2/3 és aztán itt van még egy egész. Így jön ki az 1 egész 2/3. És végül ez a 2/3 és ez az 1 adja, hogy ez is 1 egész 2/3 legyen. Szóval, amikor mindkét oldalt 3-mal osztjuk el, akkor 1 egész 2/3-ot kapunk. Minden rész, egység itt a bal oldalon 1 egész 2/3 lesz. A bal oldalon 5/3-unk van. És a jobb odalon csak egyszerűen x szerepel. És akkor ez így működik is! Tudom, a tört számok ábrázolása kicsivel bonyolultabb ugyan...