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Résoudre la soustraction.
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Exprimer la réponse sous la forme d'un quotient simplifié
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et préciser le domaine de définition.
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Nous avons deux quotients,
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et nous devons les soustraire l'un à l'autre.
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Exactement comme lorsque nous avons appris à soustraire des fractions,
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ou à sommer des fractions, nous devons trouver un dénominateur commun.
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La meilleure façon de trouver un dénominateur commun,
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quand on traite avec des nombres réguliers, ou des expressions algébriques,
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est de les factoriser, puis de s'assurer que notre
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dénominateur commun a bien tous les facteurs -- ce qui
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permet qu'il soit bien divisible par les deux dénominateurs de départ.
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Ce premier dénominateur est déjà factorisé,
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c'est tout simplement a+2.
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Celui-ci, voyons comment on peut le factoriser :
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on a a au carré+4a+4.
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Bien, si vous voyez que 4, c'est 2 au carré, et 4 c'est aussi
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2 fois 2, alors a au carré+4a+4 est égal à (a+2) fois (a+2),
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ou autrement dit (a+2) au carré.
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Je remplace donc a au carré+4a+4 par
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(a+2)(a+2).
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Ce dénominateur est évidemment divisible par lui-même --
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tout nombre est divisible par lui-même, sauf 0,
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et c'est aussi divisible par (a+2), donc
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c'est bien le plus petit commun multiple de cette expression et
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de celle-ci, et c'est donc un bon dénominateur commun.
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Allons-y donc.
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Cette expression commence par ce premier terme
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a-2 divisé par a+2, mais on veut que
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le dénominateur soit maintenant (a+2)(a+2)
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ou autrement dit (a+2) au carré.
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Donc on va multiplier le numérateur et le dénominateur
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par (a+2), pour que le dénominateur soit le même que dans le 2ème terme.
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On multiplie le numérateur et le dénominateur
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par (a+2).
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On suppose bien sûr que a n'est pas égal à -2,
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sinon ce terme aurait été non défini, et
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cela aussi.
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Donc durant tout cet exercice, nous allons supposer que a
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ne peut pas être égal à -2.
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Le domaine de définition est l'ensemble des nombres rééls, a peut être n'importe quel
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nombre réél, sauf -2.
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Du coup, notre premier terme devient comme ça (j'allonge la ligne)
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et le deuxième terme ne change pas, puisque
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son dénominateur est déjà le dénominateur commun.
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Donc moins (a-3) divisé par -- on peut l'écrire soit
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(a+2)(a+2), ou la version développée ici.
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On va plutôt l'écrire sous la forme factorisée,
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ce sera plus facile à simplifier après : (a+2)(a+2).
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Maintenant,
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avant d'ajouter les deux numérateurs, ce serait une bonne idée
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de d'abord multiplier cette partie-là, mais je vais déjà
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écrire le dénominateur, on sait ce que c'est :
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(a+2)(a+2).
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Maintenant ce numérateur : si on a (a-2)(a+2),
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on a déjà vu cette égalité remarquable.
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On peut bien sûr multiplier et développer, mais on l'a suffisamment vue
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je l'espère, pour reconnaître que cela est égal à
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a au carré moins 2 au carré.
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C'est-à-dire a au carré moins 4.
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Vous pouvez sinon multiplier, vous verrez les termes du milieu s'annuler--
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-2a s'annule avec 2a, et il ne vous reste que
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a au carré moins 4, c'est bien ce que l'on a ici.
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Bien, maintenant vous avez ceci : vous avez -(a-3),
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faites bien attention, vous soustrayez (a-3),
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donc vous devez distribuer le signe négatif,
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ou bien multiplier ces termes par -1.
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Donc vous pouvez mettre -a ici, puis
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on a -(-3), ce qui fait +3.
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On obtient donc a au carré moins a
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et -4+3, ce qui fait -1
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le tout toujours divisé par (a+2)(a+2).
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On peut l'écrire (a+2) au carré, c'est pareil.
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..
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Maintenant, on peut vouloir factoriser le numérateur,
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pour voir s'il ne contient pas un facteur commun avec
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le dénominateur.
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Le dénominateur est simplement (a+2) multiplié
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par lui-même.
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Et vous pouvez voir que (a+2) ne peut pas
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être mis en facteur au numérateur -- si c'était le cas,
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ce nombre serait divisible par 2,
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et ce n'est pas divisible par 2.
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Donc (a+2) ne peut pas être mis en facteur ici,
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donc on ne va pas pouvoir simplifier
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plus cette expression.
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Donc
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on a fini !
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On a simplifié au maximum le quotient,
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et le domaine de définition est l'ensemble des réels a,
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sauf -2, a doit être différent
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de -2.
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Et on a fini !
