WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:00.710 ... 00:00:00.710 --> 00:00:01.830 Résoudre la soustraction. 00:00:01.830 --> 00:00:04.290 Exprimer la réponse sous la forme d'un quotient simplifié 00:00:04.290 --> 00:00:06.890 et préciser le domaine de définition. 00:00:06.890 --> 00:00:08.930 Nous avons deux quotients, 00:00:08.930 --> 00:00:10.710 et nous devons les soustraire l'un à l'autre. 00:00:10.710 --> 00:00:13.910 Exactement comme lorsque nous avons appris à soustraire des fractions, 00:00:13.910 --> 00:00:17.200 ou à sommer des fractions, nous devons trouver un dénominateur commun. 00:00:17.200 --> 00:00:19.080 La meilleure façon de trouver un dénominateur commun, 00:00:19.080 --> 00:00:22.330 quand on traite avec des nombres réguliers, ou des expressions algébriques, 00:00:22.330 --> 00:00:24.780 est de les factoriser, puis de s'assurer que notre 00:00:24.780 --> 00:00:27.515 dénominateur commun a bien tous les facteurs -- ce qui 00:00:27.515 --> 00:00:30.970 permet qu'il soit bien divisible par les deux dénominateurs de départ. 00:00:30.970 --> 00:00:32.759 Ce premier dénominateur est déjà factorisé, 00:00:32.759 --> 00:00:34.250 c'est tout simplement a+2. 00:00:34.250 --> 00:00:37.610 Celui-ci, voyons comment on peut le factoriser : 00:00:37.610 --> 00:00:39.440 on a a au carré+4a+4. 00:00:39.440 --> 00:00:43.070 Bien, si vous voyez que 4, c'est 2 au carré, et 4 c'est aussi 00:00:43.070 --> 00:00:47.890 2 fois 2, alors a au carré+4a+4 est égal à (a+2) fois (a+2), 00:00:47.890 --> 00:00:49.790 ou autrement dit (a+2) au carré. 00:00:49.790 --> 00:00:53.870 Je remplace donc a au carré+4a+4 par 00:00:53.870 --> 00:00:56.560 (a+2)(a+2). 00:00:56.560 --> 00:00:58.990 Ce dénominateur est évidemment divisible par lui-même -- 00:00:58.990 --> 00:01:03.280 tout nombre est divisible par lui-même, sauf 0, 00:01:03.280 --> 00:01:07.040 et c'est aussi divisible par (a+2), donc 00:01:07.040 --> 00:01:10.210 c'est bien le plus petit commun multiple de cette expression et 00:01:10.210 --> 00:01:13.480 de celle-ci, et c'est donc un bon dénominateur commun. 00:01:13.480 --> 00:01:16.070 Allons-y donc. 00:01:16.070 --> 00:01:19.530 Cette expression commence par ce premier terme 00:01:19.530 --> 00:01:26.480 a-2 divisé par a+2, mais on veut que 00:01:26.480 --> 00:01:29.935 le dénominateur soit maintenant (a+2)(a+2) 00:01:29.935 --> 00:01:31.620 ou autrement dit (a+2) au carré. 00:01:31.620 --> 00:01:34.530 Donc on va multiplier le numérateur et le dénominateur 00:01:34.530 --> 00:01:37.510 par (a+2), pour que le dénominateur soit le même que dans le 2ème terme. 00:01:37.510 --> 00:01:40.450 On multiplie le numérateur et le dénominateur 00:01:40.450 --> 00:01:43.750 par (a+2). 00:01:43.750 --> 00:01:46.445 On suppose bien sûr que a n'est pas égal à -2, 00:01:46.445 --> 00:01:48.270 sinon ce terme aurait été non défini, et 00:01:48.270 --> 00:01:49.970 cela aussi. 00:01:49.970 --> 00:01:51.950 Donc durant tout cet exercice, nous allons supposer que a 00:01:51.950 --> 00:01:54.800 ne peut pas être égal à -2. 00:01:54.800 --> 00:01:57.360 Le domaine de définition est l'ensemble des nombres rééls, a peut être n'importe quel 00:01:57.360 --> 00:02:00.120 nombre réél, sauf -2. 00:02:00.120 --> 00:02:03.780 Du coup, notre premier terme devient comme ça (j'allonge la ligne) 00:02:03.780 --> 00:02:05.390 et le deuxième terme ne change pas, puisque 00:02:05.390 --> 00:02:08.340 son dénominateur est déjà le dénominateur commun. 00:02:08.340 --> 00:02:12.230 Donc moins (a-3) divisé par -- on peut l'écrire soit 00:02:12.230 --> 00:02:15.660 (a+2)(a+2), ou la version développée ici. 00:02:15.660 --> 00:02:17.040 On va plutôt l'écrire sous la forme factorisée, 00:02:17.040 --> 00:02:21.820 ce sera plus facile à simplifier après : (a+2)(a+2). 00:02:21.820 --> 00:02:25.400 Maintenant, 00:02:25.400 --> 00:02:28.890 avant d'ajouter les deux numérateurs, ce serait une bonne idée 00:02:28.890 --> 00:02:31.410 de d'abord multiplier cette partie-là, mais je vais déjà 00:02:31.410 --> 00:02:35.050 écrire le dénominateur, on sait ce que c'est : 00:02:35.050 --> 00:02:37.240 (a+2)(a+2). 00:02:37.240 --> 00:02:40.890 Maintenant ce numérateur : si on a (a-2)(a+2), 00:02:40.890 --> 00:02:42.000 on a déjà vu cette égalité remarquable. 00:02:42.000 --> 00:02:45.540 On peut bien sûr multiplier et développer, mais on l'a suffisamment vue 00:02:45.540 --> 00:02:47.960 je l'espère, pour reconnaître que cela est égal à 00:02:47.960 --> 00:02:49.370 a au carré moins 2 au carré. 00:02:49.370 --> 00:02:52.880 C'est-à-dire a au carré moins 4. 00:02:52.880 --> 00:02:55.250 Vous pouvez sinon multiplier, vous verrez les termes du milieu s'annuler-- 00:02:55.250 --> 00:02:57.850 -2a s'annule avec 2a, et il ne vous reste que 00:02:57.850 --> 00:03:02.230 a au carré moins 4, c'est bien ce que l'on a ici. 00:03:02.230 --> 00:03:07.330 Bien, maintenant vous avez ceci : vous avez -(a-3), 00:03:07.330 --> 00:03:11.440 faites bien attention, vous soustrayez (a-3), 00:03:11.440 --> 00:03:13.630 donc vous devez distribuer le signe négatif, 00:03:13.630 --> 00:03:15.860 ou bien multiplier ces termes par -1. 00:03:15.860 --> 00:03:20.760 Donc vous pouvez mettre -a ici, puis 00:03:20.760 --> 00:03:24.530 on a -(-3), ce qui fait +3. 00:03:24.530 --> 00:03:33.050 On obtient donc a au carré moins a 00:03:33.050 --> 00:03:42.220 et -4+3, ce qui fait -1 00:03:42.220 --> 00:03:44.080 le tout toujours divisé par (a+2)(a+2). 00:03:44.080 --> 00:03:46.285 On peut l'écrire (a+2) au carré, c'est pareil. 00:03:46.285 --> 00:03:49.800 .. 00:03:49.800 --> 00:03:53.230 Maintenant, on peut vouloir factoriser le numérateur, 00:03:53.230 --> 00:03:55.760 pour voir s'il ne contient pas un facteur commun avec 00:03:55.760 --> 00:03:56.450 le dénominateur. 00:03:56.450 --> 00:03:59.200 Le dénominateur est simplement (a+2) multiplié 00:03:59.200 --> 00:04:00.040 par lui-même. 00:04:00.040 --> 00:04:02.230 Et vous pouvez voir que (a+2) ne peut pas 00:04:02.230 --> 00:04:05.600 être mis en facteur au numérateur -- si c'était le cas, 00:04:05.600 --> 00:04:08.490 ce nombre serait divisible par 2, 00:04:08.490 --> 00:04:09.260 et ce n'est pas divisible par 2. 00:04:09.260 --> 00:04:12.780 Donc (a+2) ne peut pas être mis en facteur ici, 00:04:12.780 --> 00:04:16.910 donc on ne va pas pouvoir simplifier 00:04:16.910 --> 00:04:20.019 plus cette expression. 00:04:20.019 --> 00:04:20.250 Donc 00:04:20.250 --> 00:04:21.010 on a fini ! 00:04:21.010 --> 00:04:23.720 On a simplifié au maximum le quotient, 00:04:23.720 --> 00:04:28.960 et le domaine de définition est l'ensemble des réels a, 00:04:28.960 --> 00:04:31.950 sauf -2, a doit être différent 00:04:31.950 --> 00:04:33.330 de -2. 00:04:33.330 --> 00:04:36.210 Et on a fini !