0:00:00.000,0:00:00.710
...

0:00:00.710,0:00:01.830
Résoudre la soustraction.

0:00:01.830,0:00:04.290
Exprimer la réponse sous la forme d'un quotient simplifié

0:00:04.290,0:00:06.890
et préciser le domaine de définition.

0:00:06.890,0:00:08.930
Nous avons deux quotients,

0:00:08.930,0:00:10.710
et nous devons les soustraire l'un à l'autre.

0:00:10.710,0:00:13.910
Exactement comme lorsque nous avons appris à soustraire des fractions,

0:00:13.910,0:00:17.200
ou à sommer des fractions, nous devons trouver un dénominateur commun.

0:00:17.200,0:00:19.080
La meilleure façon de trouver un dénominateur commun,

0:00:19.080,0:00:22.330
quand on traite avec des nombres réguliers, ou des expressions algébriques,

0:00:22.330,0:00:24.780
est de les factoriser, puis de s'assurer que notre

0:00:24.780,0:00:27.515
dénominateur commun a bien tous les facteurs -- ce qui

0:00:27.515,0:00:30.970
permet qu'il soit bien divisible par les deux dénominateurs de départ.

0:00:30.970,0:00:32.759
Ce premier dénominateur est déjà factorisé,

0:00:32.759,0:00:34.250
c'est tout simplement a+2.

0:00:34.250,0:00:37.610
Celui-ci, voyons comment on peut le factoriser :

0:00:37.610,0:00:39.440
on a a au carré+4a+4.

0:00:39.440,0:00:43.070
Bien, si vous voyez que 4, c'est 2 au carré, et 4 c'est aussi

0:00:43.070,0:00:47.890
2 fois 2, alors a au carré+4a+4 est égal à (a+2) fois (a+2),

0:00:47.890,0:00:49.790
ou autrement dit (a+2) au carré.

0:00:49.790,0:00:53.870
Je remplace donc a au carré+4a+4 par

0:00:53.870,0:00:56.560
(a+2)(a+2).

0:00:56.560,0:00:58.990
Ce dénominateur est évidemment divisible par lui-même --

0:00:58.990,0:01:03.280
tout nombre est divisible par lui-même, sauf 0,

0:01:03.280,0:01:07.040
et c'est aussi divisible par (a+2), donc

0:01:07.040,0:01:10.210
c'est bien le plus petit commun multiple de cette expression et

0:01:10.210,0:01:13.480
de celle-ci, et c'est donc un bon dénominateur commun.

0:01:13.480,0:01:16.070
Allons-y donc.

0:01:16.070,0:01:19.530
Cette expression commence par ce premier terme

0:01:19.530,0:01:26.480
a-2 divisé par a+2, mais on veut que

0:01:26.480,0:01:29.935
le dénominateur soit maintenant (a+2)(a+2)

0:01:29.935,0:01:31.620
ou autrement dit (a+2) au carré.

0:01:31.620,0:01:34.530
Donc on va multiplier le numérateur et le dénominateur

0:01:34.530,0:01:37.510
par (a+2), pour que le dénominateur soit le même que dans le 2ème terme.

0:01:37.510,0:01:40.450
On multiplie le numérateur et le dénominateur

0:01:40.450,0:01:43.750
par (a+2).

0:01:43.750,0:01:46.445
On suppose bien sûr que a n'est pas égal à -2,

0:01:46.445,0:01:48.270
sinon ce terme aurait été non défini, et

0:01:48.270,0:01:49.970
cela aussi.

0:01:49.970,0:01:51.950
Donc durant tout cet exercice, nous allons supposer que a

0:01:51.950,0:01:54.800
ne peut pas être égal à -2.

0:01:54.800,0:01:57.360
Le domaine de définition est l'ensemble des nombres rééls, a peut être n'importe quel

0:01:57.360,0:02:00.120
nombre réél, sauf -2.

0:02:00.120,0:02:03.780
Du coup, notre premier terme devient comme ça (j'allonge la ligne)

0:02:03.780,0:02:05.390
et le deuxième terme ne change pas, puisque

0:02:05.390,0:02:08.340
son dénominateur est déjà le dénominateur commun.

0:02:08.340,0:02:12.230
Donc moins (a-3) divisé par -- on peut l'écrire soit

0:02:12.230,0:02:15.660
(a+2)(a+2), ou la version développée ici.

0:02:15.660,0:02:17.040
On va plutôt l'écrire sous la forme factorisée,

0:02:17.040,0:02:21.820
ce sera plus facile à simplifier après : (a+2)(a+2).

0:02:21.820,0:02:25.400
Maintenant,

0:02:25.400,0:02:28.890
avant d'ajouter les deux numérateurs, ce serait une bonne idée

0:02:28.890,0:02:31.410
de d'abord multiplier cette partie-là, mais je vais déjà

0:02:31.410,0:02:35.050
écrire le dénominateur, on sait ce que c'est :

0:02:35.050,0:02:37.240
(a+2)(a+2).

0:02:37.240,0:02:40.890
Maintenant ce numérateur : si on a (a-2)(a+2),

0:02:40.890,0:02:42.000
on a déjà vu cette égalité remarquable.

0:02:42.000,0:02:45.540
On peut bien sûr multiplier et développer, mais on l'a suffisamment vue

0:02:45.540,0:02:47.960
je l'espère, pour reconnaître que cela est égal à

0:02:47.960,0:02:49.370
a au carré moins 2 au carré.

0:02:49.370,0:02:52.880
C'est-à-dire a au carré moins 4.

0:02:52.880,0:02:55.250
Vous pouvez sinon multiplier, vous verrez les termes du milieu s'annuler--

0:02:55.250,0:02:57.850
-2a s'annule avec 2a, et il ne vous reste que

0:02:57.850,0:03:02.230
a au carré moins 4, c'est bien ce que l'on a ici.

0:03:02.230,0:03:07.330
Bien, maintenant vous avez ceci : vous avez -(a-3),

0:03:07.330,0:03:11.440
faites bien attention, vous soustrayez (a-3),

0:03:11.440,0:03:13.630
donc vous devez distribuer le signe négatif,

0:03:13.630,0:03:15.860
ou bien multiplier ces termes par -1.

0:03:15.860,0:03:20.760
Donc vous pouvez mettre -a ici, puis

0:03:20.760,0:03:24.530
on a -(-3), ce qui fait +3.

0:03:24.530,0:03:33.050
On obtient donc a au carré moins a

0:03:33.050,0:03:42.220
et -4+3, ce qui fait -1

0:03:42.220,0:03:44.080
le tout toujours divisé par (a+2)(a+2).

0:03:44.080,0:03:46.285
On peut l'écrire (a+2) au carré, c'est pareil.

0:03:46.285,0:03:49.800
..

0:03:49.800,0:03:53.230
Maintenant, on peut vouloir factoriser le numérateur,

0:03:53.230,0:03:55.760
pour voir s'il ne contient pas un facteur commun avec

0:03:55.760,0:03:56.450
le dénominateur.

0:03:56.450,0:03:59.200
Le dénominateur est simplement (a+2) multiplié

0:03:59.200,0:04:00.040
par lui-même.

0:04:00.040,0:04:02.230
Et vous pouvez voir que (a+2) ne peut pas

0:04:02.230,0:04:05.600
être mis en facteur au numérateur -- si c'était le cas,

0:04:05.600,0:04:08.490
ce nombre serait divisible par 2,

0:04:08.490,0:04:09.260
et ce n'est pas divisible par 2.

0:04:09.260,0:04:12.780
Donc (a+2) ne peut pas être mis en facteur ici,

0:04:12.780,0:04:16.910
donc on ne va pas pouvoir simplifier

0:04:16.910,0:04:20.019
plus cette expression.

0:04:20.019,0:04:20.250
Donc

0:04:20.250,0:04:21.010
on a fini !

0:04:21.010,0:04:23.720
On a simplifié au maximum le quotient,

0:04:23.720,0:04:28.960
et le domaine de définition est l'ensemble des réels a,

0:04:28.960,0:04:31.950
sauf -2, a doit être différent

0:04:31.950,0:04:33.330
de -2.

0:04:33.330,0:04:36.210
Et on a fini !