1
00:00:00,000 --> 00:00:00,710
...

2
00:00:00,710 --> 00:00:01,830
Résoudre la soustraction.

3
00:00:01,830 --> 00:00:04,290
Exprimer la réponse sous la forme d'un quotient simplifié

4
00:00:04,290 --> 00:00:06,890
et préciser le domaine de définition.

5
00:00:06,890 --> 00:00:08,930
Nous avons deux quotients,

6
00:00:08,930 --> 00:00:10,710
et nous devons les soustraire l'un à l'autre.

7
00:00:10,710 --> 00:00:13,910
Exactement comme lorsque nous avons appris à soustraire des fractions,

8
00:00:13,910 --> 00:00:17,200
ou à sommer des fractions, nous devons trouver un dénominateur commun.

9
00:00:17,200 --> 00:00:19,080
La meilleure façon de trouver un dénominateur commun,

10
00:00:19,080 --> 00:00:22,330
quand on traite avec des nombres réguliers, ou des expressions algébriques,

11
00:00:22,330 --> 00:00:24,780
est de les factoriser, puis de s'assurer que notre

12
00:00:24,780 --> 00:00:27,515
dénominateur commun a bien tous les facteurs -- ce qui

13
00:00:27,515 --> 00:00:30,970
permet qu'il soit bien divisible par les deux dénominateurs de départ.

14
00:00:30,970 --> 00:00:32,759
Ce premier dénominateur est déjà factorisé,

15
00:00:32,759 --> 00:00:34,250
c'est tout simplement a+2.

16
00:00:34,250 --> 00:00:37,610
Celui-ci, voyons comment on peut le factoriser :

17
00:00:37,610 --> 00:00:39,440
on a a au carré+4a+4.

18
00:00:39,440 --> 00:00:43,070
Bien, si vous voyez que 4, c'est 2 au carré, et 4 c'est aussi

19
00:00:43,070 --> 00:00:47,890
2 fois 2, alors a au carré+4a+4 est égal à (a+2) fois (a+2),

20
00:00:47,890 --> 00:00:49,790
ou autrement dit (a+2) au carré.

21
00:00:49,790 --> 00:00:53,870
Je remplace donc a au carré+4a+4 par

22
00:00:53,870 --> 00:00:56,560
(a+2)(a+2).

23
00:00:56,560 --> 00:00:58,990
Ce dénominateur est évidemment divisible par lui-même --

24
00:00:58,990 --> 00:01:03,280
tout nombre est divisible par lui-même, sauf 0,

25
00:01:03,280 --> 00:01:07,040
et c'est aussi divisible par (a+2), donc

26
00:01:07,040 --> 00:01:10,210
c'est bien le plus petit commun multiple de cette expression et

27
00:01:10,210 --> 00:01:13,480
de celle-ci, et c'est donc un bon dénominateur commun.

28
00:01:13,480 --> 00:01:16,070
Allons-y donc.

29
00:01:16,070 --> 00:01:19,530
Cette expression commence par ce premier terme

30
00:01:19,530 --> 00:01:26,480
a-2 divisé par a+2, mais on veut que

31
00:01:26,480 --> 00:01:29,935
le dénominateur soit maintenant (a+2)(a+2)

32
00:01:29,935 --> 00:01:31,620
ou autrement dit (a+2) au carré.

33
00:01:31,620 --> 00:01:34,530
Donc on va multiplier le numérateur et le dénominateur

34
00:01:34,530 --> 00:01:37,510
par (a+2), pour que le dénominateur soit le même que dans le 2ème terme.

35
00:01:37,510 --> 00:01:40,450
On multiplie le numérateur et le dénominateur

36
00:01:40,450 --> 00:01:43,750
par (a+2).

37
00:01:43,750 --> 00:01:46,445
On suppose bien sûr que a n'est pas égal à -2,

38
00:01:46,445 --> 00:01:48,270
sinon ce terme aurait été non défini, et

39
00:01:48,270 --> 00:01:49,970
cela aussi.

40
00:01:49,970 --> 00:01:51,950
Donc durant tout cet exercice, nous allons supposer que a

41
00:01:51,950 --> 00:01:54,800
ne peut pas être égal à -2.

42
00:01:54,800 --> 00:01:57,360
Le domaine de définition est l'ensemble des nombres rééls, a peut être n'importe quel

43
00:01:57,360 --> 00:02:00,120
nombre réél, sauf -2.

44
00:02:00,120 --> 00:02:03,780
Du coup, notre premier terme devient comme ça (j'allonge la ligne)

45
00:02:03,780 --> 00:02:05,390
et le deuxième terme ne change pas, puisque

46
00:02:05,390 --> 00:02:08,340
son dénominateur est déjà le dénominateur commun.

47
00:02:08,340 --> 00:02:12,230
Donc moins (a-3) divisé par -- on peut l'écrire soit

48
00:02:12,230 --> 00:02:15,660
(a+2)(a+2), ou la version développée ici.

49
00:02:15,660 --> 00:02:17,040
On va plutôt l'écrire sous la forme factorisée,

50
00:02:17,040 --> 00:02:21,820
ce sera plus facile à simplifier après : (a+2)(a+2).

51
00:02:21,820 --> 00:02:25,400
Maintenant,

52
00:02:25,400 --> 00:02:28,890
avant d'ajouter les deux numérateurs, ce serait une bonne idée

53
00:02:28,890 --> 00:02:31,410
de d'abord multiplier cette partie-là, mais je vais déjà

54
00:02:31,410 --> 00:02:35,050
écrire le dénominateur, on sait ce que c'est :

55
00:02:35,050 --> 00:02:37,240
(a+2)(a+2).

56
00:02:37,240 --> 00:02:40,890
Maintenant ce numérateur : si on a (a-2)(a+2),

57
00:02:40,890 --> 00:02:42,000
on a déjà vu cette égalité remarquable.

58
00:02:42,000 --> 00:02:45,540
On peut bien sûr multiplier et développer, mais on l'a suffisamment vue

59
00:02:45,540 --> 00:02:47,960
je l'espère, pour reconnaître que cela est égal à

60
00:02:47,960 --> 00:02:49,370
a au carré moins 2 au carré.

61
00:02:49,370 --> 00:02:52,880
C'est-à-dire a au carré moins 4.

62
00:02:52,880 --> 00:02:55,250
Vous pouvez sinon multiplier, vous verrez les termes du milieu s'annuler--

63
00:02:55,250 --> 00:02:57,850
-2a s'annule avec 2a, et il ne vous reste que

64
00:02:57,850 --> 00:03:02,230
a au carré moins 4, c'est bien ce que l'on a ici.

65
00:03:02,230 --> 00:03:07,330
Bien, maintenant vous avez ceci : vous avez -(a-3),

66
00:03:07,330 --> 00:03:11,440
faites bien attention, vous soustrayez (a-3),

67
00:03:11,440 --> 00:03:13,630
donc vous devez distribuer le signe négatif,

68
00:03:13,630 --> 00:03:15,860
ou bien multiplier ces termes par -1.

69
00:03:15,860 --> 00:03:20,760
Donc vous pouvez mettre -a ici, puis

70
00:03:20,760 --> 00:03:24,530
on a -(-3), ce qui fait +3.

71
00:03:24,530 --> 00:03:33,050
On obtient donc a au carré moins a

72
00:03:33,050 --> 00:03:42,220
et -4+3, ce qui fait -1

73
00:03:42,220 --> 00:03:44,080
le tout toujours divisé par (a+2)(a+2).

74
00:03:44,080 --> 00:03:46,285
On peut l'écrire (a+2) au carré, c'est pareil.

75
00:03:46,285 --> 00:03:49,800
..

76
00:03:49,800 --> 00:03:53,230
Maintenant, on peut vouloir factoriser le numérateur,

77
00:03:53,230 --> 00:03:55,760
pour voir s'il ne contient pas un facteur commun avec

78
00:03:55,760 --> 00:03:56,450
le dénominateur.

79
00:03:56,450 --> 00:03:59,200
Le dénominateur est simplement (a+2) multiplié

80
00:03:59,200 --> 00:04:00,040
par lui-même.

81
00:04:00,040 --> 00:04:02,230
Et vous pouvez voir que (a+2) ne peut pas

82
00:04:02,230 --> 00:04:05,600
être mis en facteur au numérateur -- si c'était le cas,

83
00:04:05,600 --> 00:04:08,490
ce nombre serait divisible par 2,

84
00:04:08,490 --> 00:04:09,260
et ce n'est pas divisible par 2.

85
00:04:09,260 --> 00:04:12,780
Donc (a+2) ne peut pas être mis en facteur ici,

86
00:04:12,780 --> 00:04:16,910
donc on ne va pas pouvoir simplifier

87
00:04:16,910 --> 00:04:20,019
plus cette expression.

88
00:04:20,019 --> 00:04:20,250
Donc

89
00:04:20,250 --> 00:04:21,010
on a fini !

90
00:04:21,010 --> 00:04:23,720
On a simplifié au maximum le quotient,

91
00:04:23,720 --> 00:04:28,960
et le domaine de définition est l'ensemble des réels a,

92
00:04:28,960 --> 00:04:31,950
sauf -2, a doit être différent

93
00:04:31,950 --> 00:04:33,330
de -2.

94
00:04:33,330 --> 00:04:36,210
Et on a fini !