... Résoudre la soustraction. Exprimer la réponse sous la forme d'un quotient simplifié et préciser le domaine de définition. Nous avons deux quotients, et nous devons les soustraire l'un à l'autre. Exactement comme lorsque nous avons appris à soustraire des fractions, ou à sommer des fractions, nous devons trouver un dénominateur commun. La meilleure façon de trouver un dénominateur commun, quand on traite avec des nombres réguliers, ou des expressions algébriques, est de les factoriser, puis de s'assurer que notre dénominateur commun a bien tous les facteurs -- ce qui permet qu'il soit bien divisible par les deux dénominateurs de départ. Ce premier dénominateur est déjà factorisé, c'est tout simplement a+2. Celui-ci, voyons comment on peut le factoriser : on a a au carré+4a+4. Bien, si vous voyez que 4, c'est 2 au carré, et 4 c'est aussi 2 fois 2, alors a au carré+4a+4 est égal à (a+2) fois (a+2), ou autrement dit (a+2) au carré. Je remplace donc a au carré+4a+4 par (a+2)(a+2). Ce dénominateur est évidemment divisible par lui-même -- tout nombre est divisible par lui-même, sauf 0, et c'est aussi divisible par (a+2), donc c'est bien le plus petit commun multiple de cette expression et de celle-ci, et c'est donc un bon dénominateur commun. Allons-y donc. Cette expression commence par ce premier terme a-2 divisé par a+2, mais on veut que le dénominateur soit maintenant (a+2)(a+2) ou autrement dit (a+2) au carré. Donc on va multiplier le numérateur et le dénominateur par (a+2), pour que le dénominateur soit le même que dans le 2ème terme. On multiplie le numérateur et le dénominateur par (a+2). On suppose bien sûr que a n'est pas égal à -2, sinon ce terme aurait été non défini, et cela aussi. Donc durant tout cet exercice, nous allons supposer que a ne peut pas être égal à -2. Le domaine de définition est l'ensemble des nombres rééls, a peut être n'importe quel nombre réél, sauf -2. Du coup, notre premier terme devient comme ça (j'allonge la ligne) et le deuxième terme ne change pas, puisque son dénominateur est déjà le dénominateur commun. Donc moins (a-3) divisé par -- on peut l'écrire soit (a+2)(a+2), ou la version développée ici. On va plutôt l'écrire sous la forme factorisée, ce sera plus facile à simplifier après : (a+2)(a+2). Maintenant, avant d'ajouter les deux numérateurs, ce serait une bonne idée de d'abord multiplier cette partie-là, mais je vais déjà écrire le dénominateur, on sait ce que c'est : (a+2)(a+2). Maintenant ce numérateur : si on a (a-2)(a+2), on a déjà vu cette égalité remarquable. On peut bien sûr multiplier et développer, mais on l'a suffisamment vue je l'espère, pour reconnaître que cela est égal à a au carré moins 2 au carré. C'est-à-dire a au carré moins 4. Vous pouvez sinon multiplier, vous verrez les termes du milieu s'annuler-- -2a s'annule avec 2a, et il ne vous reste que a au carré moins 4, c'est bien ce que l'on a ici. Bien, maintenant vous avez ceci : vous avez -(a-3), faites bien attention, vous soustrayez (a-3), donc vous devez distribuer le signe négatif, ou bien multiplier ces termes par -1. Donc vous pouvez mettre -a ici, puis on a -(-3), ce qui fait +3. On obtient donc a au carré moins a et -4+3, ce qui fait -1 le tout toujours divisé par (a+2)(a+2). On peut l'écrire (a+2) au carré, c'est pareil. .. Maintenant, on peut vouloir factoriser le numérateur, pour voir s'il ne contient pas un facteur commun avec le dénominateur. Le dénominateur est simplement (a+2) multiplié par lui-même. Et vous pouvez voir que (a+2) ne peut pas être mis en facteur au numérateur -- si c'était le cas, ce nombre serait divisible par 2, et ce n'est pas divisible par 2. Donc (a+2) ne peut pas être mis en facteur ici, donc on ne va pas pouvoir simplifier plus cette expression. Donc on a fini ! On a simplifié au maximum le quotient, et le domaine de définition est l'ensemble des réels a, sauf -2, a doit être différent de -2. Et on a fini !