Pascal üçgeninin matematiksel sırları - Wajdi Mohamed Ratemi

Dersin tamamı: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

Pascal üçgeni, ilk bakışta güzelce düzenlenmiş sayılardan ibaret gibi görünür. Ama aslında matematiksel bir hazinedir. Peki neden dünyanın her yanndaki matematikçileri bu kadar etkiliyor? Wajdi Mohamed Ratemi, Pascal üçgenindeki şablonları ve sırları anlatıyor.

Ders: Wajdi Mohamed Ratemi, animasyon: Henrik Malmgren.

Zarifçe düzenlenmiş bir yığın
sayıya benziyor olabilir;

fakat bu aslında matematiksel
bir hazine sandığı.

Hintli matematikçiler ona
Meru Dağı'nın Merdivenleri der.

İran'da Hayyam Üçgeni olarak bilinir.

Çin'de ise Yang Hui'nin
Üçgeni adı verilir.

Batı dünyasının büyük bölümünde
ise Pascal Üçgeni denir.

Bu ad, Fransız matematikçi
Blaise Pascal'ın onuruna verilmiştir.

Bu pek adil sayılmaz, çünkü
Pascal'ın partiye geç kaldığı çok açık.

Yine de pek çok katkıda bulunmuştur.

Peki dünyanın her yanından matematikçinin
ilgisini çeken ne var bunda?

Kısaca söylemek gerekirse,
desenler ve sırlarla dolu.

Bunların ilki ve en önemlisi,
onu üreten desenin kendisi.

1 ile başlayın ve iki tarafında görünmez
sıfırlar olduğunu hayal edin.

Bu sayıları ikişer ikişer toplayın
ve toplamları bir alt satıra yazın.

Ardından bunu tekrar tekrar
yinelemeyi sürdürün.

Devam ederseniz şuna benzer
bir şey elde edersiniz.

Tabii aslında Pascal Üçgeni
sonsuza kadar böyle gider.

Buradaki her satır,
(x+y)^n biçimindeki

binom açılımının katsayılarına denk gelir.

n, saymaya sıfırdan başlandığında,

satırın sıra numarasıdır.

Yani eğer n=2 alıp açılımı yaparsanız,

(x^2) + 2xy + (y^2) elde edersiniz.

Katsayılar, yani
değişkenlerin önündeki sayılar,

Pascal Üçgeni'nin satırlarındaki
sayıların aynısıdır.

Şu şekilde açılımı yapılan
n=3 için de aynısı geçerlidir.

Dolayısıyla üçgen, bu katsayıların hepsini
görmenin hızlı ve kolay bir yoludur.

Dahası da var.

Örneğin her bir satırdaki
sayıları topladığınızda,

2'nin ardışık kuvvetlerini elde edersiniz.

Ya da bir satırdaki her sayıyı
ondalık bir açılımın parçası olarak alın.

Yani ikinci satır şöyle olur:
(1x1) + (2x10) + (1x100).

121 bulunur, ki o da 11^2 demektir.

Şimdi aynı şeyi 6. satıra
yapınca ne çıktığına bakın.

Toplamda 1.771.561 eder.
Bu 11^6 demektir ve böyle sürer.

Ayrıca geometrik uygulamaları da var.

Köşegenlere bakın.

İlk ikisi pek ilginç değil:
1'ler ve pozitif tamsayılar,

yani doğal sayılar.

Fakat bir sonraki köşegendeki sayılara
üçgensel sayılar denir.

Çünkü bunlar kadar sayıda nokta alırsanız,

eşkenar üçgen şeklinde dizebilirsiniz.

Sonraki köşegende ise
dörtyüzlü sayılar vardır.

Benzer biçimde, bunlar kadar sayıda
küreyi dörtyüzlü dizebilirsiniz.

Bir de şuna bakın:
Tüm tek sayıları gölgeleyelim.

Üçgen küçükken pek bir şeye benzemiyor.

Ama binlerce satır eklediğinizde,

Sierpinski Üçgeni olarak bilinen
bir fraktal elde edersiniz.

Bu üçgen matematiksel
bir sanattan ibaret değildir.

Aynı zamanda çok yararlıdır;

özellikle de olasılık ve

kombinetorik hesaplamaları konusunda.

Diyelim 5 çocuk sahibi olmak istiyorsunuz.

Hayalinizdeki gibi 3 kızınızın
ve 2 oğlunuzun

olma olasılığını merak ediyorsunuz.

Binom açılımında,

bunun karşılığı
kız artı erkek üssü 5 olur.

Şimdi 5. satıra bakalım.

Buradaki ilk sayı 5 kıza,

son sayı ise 5 erkeğe karşılık gelir.

Bizim aradığımız ise üçüncü sayı olur.

Satırdaki tüm olasılıkların
toplamı içinden 10,

yani 10/32 veya %31,25.

Eğer 12 arkadaşınız arasından
basketbol takımı için

rastgele 5 kişi seçiyorsanız,

kaç tane olası 5 kişilik
grup çıkarabilirsiniz?

Kombinetorik terimleriyle, bu probleme
12'den 5 seçmek denir.

Şu formülle hesaplanabilir

veya üçgenin 12. satırındaki
6. elemana bakarak da

yanıtı bulabilirsiniz.

Pascal Üçgeni'ndeki şablonlar

matematiğin zarif dokusunun vasiyeti.

Üstelik bugün hâlâ
yeni sırları açığa çıkıyor.

Örneğin matematikçiler yakın zamanda
bu tür polinomlara

onu açmanın yolunu buldu.

Acaba başka neler bulabiliriz?

Bu size bağlı.