0:00:07.473,0:00:11.000
Zarifçe düzenlenmiş bir yığın[br]sayıya benziyor olabilir;

0:00:11.000,0:00:14.506
fakat bu aslında matematiksel[br]bir hazine sandığı.

0:00:14.506,0:00:18.654
Hintli matematikçiler ona[br]Meru Dağı'nın Merdivenleri der.

0:00:18.654,0:00:21.131
İran'da Hayyam Üçgeni olarak bilinir.

0:00:21.131,0:00:23.738
Çin'de ise Yang Hui'nin[br]Üçgeni adı verilir.

0:00:23.738,0:00:28.033
Batı dünyasının büyük bölümünde[br]ise Pascal Üçgeni denir.

0:00:28.033,0:00:31.085
Bu ad, Fransız matematikçi[br]Blaise Pascal'ın onuruna verilmiştir.

0:00:31.085,0:00:35.234
Bu pek adil sayılmaz, çünkü[br]Pascal'ın partiye geç kaldığı çok açık.

0:00:35.234,0:00:37.476
Yine de pek çok katkıda bulunmuştur.

0:00:37.476,0:00:42.270
Peki dünyanın her yanından matematikçinin[br]ilgisini çeken ne var bunda?

0:00:42.270,0:00:46.124
Kısaca söylemek gerekirse,[br]desenler ve sırlarla dolu.

0:00:46.124,0:00:49.428
Bunların ilki ve en önemlisi,[br]onu üreten desenin kendisi.

0:00:49.428,0:00:54.477
1 ile başlayın ve iki tarafında görünmez[br]sıfırlar olduğunu hayal edin.

0:00:54.477,0:00:58.592
Bu sayıları ikişer ikişer toplayın[br]ve toplamları bir alt satıra yazın.

0:00:58.592,0:01:02.066
Ardından bunu tekrar tekrar[br]yinelemeyi sürdürün.

0:01:02.066,0:01:05.784
Devam ederseniz şuna benzer[br]bir şey elde edersiniz.

0:01:05.784,0:01:09.325
Tabii aslında Pascal Üçgeni[br]sonsuza kadar böyle gider.

0:01:09.325,0:01:14.914
Buradaki her satır, [br](x+y)^n biçimindeki

0:01:14.914,0:01:18.898
binom açılımının katsayılarına denk gelir.

0:01:18.898,0:01:21.307
n, saymaya sıfırdan başlandığında,

0:01:21.307,0:01:23.746
satırın sıra numarasıdır.

0:01:23.746,0:01:26.552
Yani eğer n=2 alıp açılımı yaparsanız,

0:01:26.552,0:01:31.107
(x^2) + 2xy + (y^2) elde edersiniz.

0:01:31.107,0:01:34.023
Katsayılar, yani[br]değişkenlerin önündeki sayılar,

0:01:34.023,0:01:38.397
Pascal Üçgeni'nin satırlarındaki[br]sayıların aynısıdır.

0:01:38.397,0:01:43.256
Şu şekilde açılımı yapılan[br]n=3 için de aynısı geçerlidir.

0:01:43.256,0:01:48.263
Dolayısıyla üçgen, bu katsayıların hepsini[br]görmenin hızlı ve kolay bir yoludur.

0:01:48.263,0:01:50.037
Dahası da var.

0:01:50.037,0:01:52.897
Örneğin her bir satırdaki[br]sayıları topladığınızda,

0:01:52.897,0:01:56.039
2'nin ardışık kuvvetlerini elde edersiniz.

0:01:56.039,0:02:01.221
Ya da bir satırdaki her sayıyı[br]ondalık bir açılımın parçası olarak alın.

0:02:01.221,0:02:07.835
Yani ikinci satır şöyle olur:[br](1x1) + (2x10) + (1x100).[br]

0:02:07.835,0:02:12.111
121 bulunur, ki o da 11^2 demektir.

0:02:12.111,0:02:15.872
Şimdi aynı şeyi 6. satıra[br]yapınca ne çıktığına bakın.

0:02:15.872,0:02:25.136
Toplamda 1.771.561 eder.[br]Bu 11^6 demektir ve böyle sürer.

0:02:25.136,0:02:27.890
Ayrıca geometrik uygulamaları da var.

0:02:27.890,0:02:29.691
Köşegenlere bakın.

0:02:29.691,0:02:34.117
İlk ikisi pek ilginç değil:[br]1'ler ve pozitif tamsayılar,

0:02:34.117,0:02:36.656
yani doğal sayılar.

0:02:36.656,0:02:40.707
Fakat bir sonraki köşegendeki sayılara[br]üçgensel sayılar denir.

0:02:40.707,0:02:43.343
Çünkü bunlar kadar sayıda nokta alırsanız,

0:02:43.343,0:02:46.389
eşkenar üçgen şeklinde dizebilirsiniz.

0:02:46.389,0:02:49.307
Sonraki köşegende ise[br]dörtyüzlü sayılar vardır.

0:02:49.307,0:02:54.622
Benzer biçimde, bunlar kadar sayıda[br]küreyi dörtyüzlü dizebilirsiniz.

0:02:54.622,0:02:57.996
Bir de şuna bakın:[br]Tüm tek sayıları gölgeleyelim.

0:02:57.996,0:03:00.881
Üçgen küçükken pek bir şeye benzemiyor.

0:03:00.881,0:03:03.298
Ama binlerce satır eklediğinizde,

0:03:03.298,0:03:07.439
Sierpinski Üçgeni olarak bilinen[br]bir fraktal elde edersiniz.

0:03:07.439,0:03:10.756
Bu üçgen matematiksel[br]bir sanattan ibaret değildir.

0:03:10.756,0:03:12.742
Aynı zamanda çok yararlıdır;

0:03:12.742,0:03:15.481
özellikle de olasılık ve

0:03:15.481,0:03:18.566
kombinetorik hesaplamaları konusunda.

0:03:18.566,0:03:20.714
Diyelim 5 çocuk sahibi olmak istiyorsunuz.

0:03:20.714,0:03:23.760
Hayalinizdeki gibi 3 kızınızın[br]ve 2 oğlunuzun

0:03:23.760,0:03:26.590
olma olasılığını merak ediyorsunuz.

0:03:26.590,0:03:28.388
Binom açılımında,

0:03:28.388,0:03:32.116
bunun karşılığı[br]kız artı erkek üssü 5 olur.

0:03:32.116,0:03:33.870
Şimdi 5. satıra bakalım.

0:03:33.870,0:03:37.131
Buradaki ilk sayı 5 kıza,

0:03:37.131,0:03:39.929
son sayı ise 5 erkeğe karşılık gelir.

0:03:39.929,0:03:42.692
Bizim aradığımız ise üçüncü sayı olur.

0:03:42.692,0:03:46.642
Satırdaki tüm olasılıkların[br]toplamı içinden 10,

0:03:46.642,0:03:51.490
yani 10/32 veya %31,25.

0:03:51.490,0:03:55.316
Eğer 12 arkadaşınız arasından[br]basketbol takımı için

0:03:55.316,0:03:57.084
rastgele 5 kişi seçiyorsanız,

0:03:57.084,0:04:00.102
kaç tane olası 5 kişilik[br]grup çıkarabilirsiniz?

0:04:00.102,0:04:05.062
Kombinetorik terimleriyle, bu probleme[br]12'den 5 seçmek denir.

0:04:05.062,0:04:07.237
Şu formülle hesaplanabilir

0:04:07.237,0:04:11.708
veya üçgenin 12. satırındaki[br]6. elemana bakarak da

0:04:11.708,0:04:13.383
yanıtı bulabilirsiniz.

0:04:13.383,0:04:15.079
Pascal Üçgeni'ndeki şablonlar

0:04:15.079,0:04:19.387
matematiğin zarif dokusunun vasiyeti.

0:04:19.387,0:04:23.271
Üstelik bugün hâlâ[br]yeni sırları açığa çıkıyor.

0:04:23.271,0:04:27.422
Örneğin matematikçiler yakın zamanda[br]bu tür polinomlara

0:04:27.422,0:04:30.019
onu açmanın yolunu buldu.

0:04:30.019,0:04:31.758
Acaba başka neler bulabiliriz?

0:04:31.758,0:04:34.097
Bu size bağlı.