WEBVTT

00:00:07.473 --> 00:00:11.000
Zarifçe düzenlenmiş bir yığın
sayıya benziyor olabilir;

00:00:11.000 --> 00:00:14.506
fakat bu aslında matematiksel
bir hazine sandığı.

00:00:14.506 --> 00:00:18.654
Hintli matematikçiler ona
Meru Dağı'nın Merdivenleri der.

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
İran'da Hayyam Üçgeni olarak bilinir.

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
Çin'de ise Yang Hui'nin
Üçgeni adı verilir.

00:00:23.738 --> 00:00:28.033
Batı dünyasının büyük bölümünde
ise Pascal Üçgeni denir.

00:00:28.033 --> 00:00:31.085
Bu ad, Fransız matematikçi
Blaise Pascal'ın onuruna verilmiştir.

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
Bu pek adil sayılmaz, çünkü
Pascal'ın partiye geç kaldığı çok açık.

00:00:35.234 --> 00:00:37.476
Yine de pek çok katkıda bulunmuştur.

00:00:37.476 --> 00:00:42.270
Peki dünyanın her yanından matematikçinin
ilgisini çeken ne var bunda?

00:00:42.270 --> 00:00:46.124
Kısaca söylemek gerekirse,
desenler ve sırlarla dolu.

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
Bunların ilki ve en önemlisi,
onu üreten desenin kendisi.

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
1 ile başlayın ve iki tarafında görünmez
sıfırlar olduğunu hayal edin.

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
Bu sayıları ikişer ikişer toplayın
ve toplamları bir alt satıra yazın.

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
Ardından bunu tekrar tekrar
yinelemeyi sürdürün.

00:01:02.066 --> 00:01:05.784
Devam ederseniz şuna benzer
bir şey elde edersiniz.

00:01:05.784 --> 00:01:09.325
Tabii aslında Pascal Üçgeni
sonsuza kadar böyle gider.

00:01:09.325 --> 00:01:14.914
Buradaki her satır, 
(x+y)^n biçimindeki

00:01:14.914 --> 00:01:18.898
binom açılımının katsayılarına denk gelir.

00:01:18.898 --> 00:01:21.307
n, saymaya sıfırdan başlandığında,

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
satırın sıra numarasıdır.

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
Yani eğer n=2 alıp açılımı yaparsanız,

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
(x^2) + 2xy + (y^2) elde edersiniz.

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
Katsayılar, yani
değişkenlerin önündeki sayılar,

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
Pascal Üçgeni'nin satırlarındaki
sayıların aynısıdır.

00:01:38.397 --> 00:01:43.256
Şu şekilde açılımı yapılan
n=3 için de aynısı geçerlidir.

00:01:43.256 --> 00:01:48.263
Dolayısıyla üçgen, bu katsayıların hepsini
görmenin hızlı ve kolay bir yoludur.

00:01:48.263 --> 00:01:50.037
Dahası da var.

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
Örneğin her bir satırdaki
sayıları topladığınızda,

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
2'nin ardışık kuvvetlerini elde edersiniz.

00:01:56.039 --> 00:02:01.221
Ya da bir satırdaki her sayıyı
ondalık bir açılımın parçası olarak alın.

00:02:01.221 --> 00:02:07.835
Yani ikinci satır şöyle olur:
(1x1) + (2x10) + (1x100).


00:02:07.835 --> 00:02:12.111
121 bulunur, ki o da 11^2 demektir.

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
Şimdi aynı şeyi 6. satıra
yapınca ne çıktığına bakın.

00:02:15.872 --> 00:02:25.136
Toplamda 1.771.561 eder.
Bu 11^6 demektir ve böyle sürer.

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
Ayrıca geometrik uygulamaları da var.

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
Köşegenlere bakın.

00:02:29.691 --> 00:02:34.117
İlk ikisi pek ilginç değil:
1'ler ve pozitif tamsayılar,

00:02:34.117 --> 00:02:36.656
yani doğal sayılar.

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
Fakat bir sonraki köşegendeki sayılara
üçgensel sayılar denir.

00:02:40.707 --> 00:02:43.343
Çünkü bunlar kadar sayıda nokta alırsanız,

00:02:43.343 --> 00:02:46.389
eşkenar üçgen şeklinde dizebilirsiniz.

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
Sonraki köşegende ise
dörtyüzlü sayılar vardır.

00:02:49.307 --> 00:02:54.622
Benzer biçimde, bunlar kadar sayıda
küreyi dörtyüzlü dizebilirsiniz.

00:02:54.622 --> 00:02:57.996
Bir de şuna bakın:
Tüm tek sayıları gölgeleyelim.

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
Üçgen küçükken pek bir şeye benzemiyor.

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
Ama binlerce satır eklediğinizde,

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
Sierpinski Üçgeni olarak bilinen
bir fraktal elde edersiniz.

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
Bu üçgen matematiksel
bir sanattan ibaret değildir.

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
Aynı zamanda çok yararlıdır;

00:03:12.742 --> 00:03:15.481
özellikle de olasılık ve

00:03:15.481 --> 00:03:18.566
kombinetorik hesaplamaları konusunda.

00:03:18.566 --> 00:03:20.714
Diyelim 5 çocuk sahibi olmak istiyorsunuz.

00:03:20.714 --> 00:03:23.760
Hayalinizdeki gibi 3 kızınızın
ve 2 oğlunuzun

00:03:23.760 --> 00:03:26.590
olma olasılığını merak ediyorsunuz.

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
Binom açılımında,

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
bunun karşılığı
kız artı erkek üssü 5 olur.

00:03:32.116 --> 00:03:33.870
Şimdi 5. satıra bakalım.

00:03:33.870 --> 00:03:37.131
Buradaki ilk sayı 5 kıza,

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
son sayı ise 5 erkeğe karşılık gelir.

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
Bizim aradığımız ise üçüncü sayı olur.

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
Satırdaki tüm olasılıkların
toplamı içinden 10,

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
yani 10/32 veya %31,25.

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
Eğer 12 arkadaşınız arasından
basketbol takımı için

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
rastgele 5 kişi seçiyorsanız,

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
kaç tane olası 5 kişilik
grup çıkarabilirsiniz?

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
Kombinetorik terimleriyle, bu probleme
12'den 5 seçmek denir.

00:04:05.062 --> 00:04:07.237
Şu formülle hesaplanabilir

00:04:07.237 --> 00:04:11.708
veya üçgenin 12. satırındaki
6. elemana bakarak da

00:04:11.708 --> 00:04:13.383
yanıtı bulabilirsiniz.

00:04:13.383 --> 00:04:15.079
Pascal Üçgeni'ndeki şablonlar

00:04:15.079 --> 00:04:19.387
matematiğin zarif dokusunun vasiyeti.

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
Üstelik bugün hâlâ
yeni sırları açığa çıkıyor.

00:04:23.271 --> 00:04:27.422
Örneğin matematikçiler yakın zamanda
bu tür polinomlara

00:04:27.422 --> 00:04:30.019
onu açmanın yolunu buldu.

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
Acaba başka neler bulabiliriz?

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
Bu size bağlı.