Zarifçe düzenlenmiş bir yığın sayıya benziyor olabilir;
fakat bu aslında matematiksel bir hazine sandığı.
Hintli matematikçiler ona Meru Dağı'nın Merdivenleri der.
İran'da Hayyam Üçgeni olarak bilinir.
Çin'de ise Yang Hui'nin Üçgeni adı verilir.
Batı dünyasının büyük bölümünde ise Pascal Üçgeni denir.
Bu ad, Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın onuruna verilmiştir.
Bu pek adil sayılmaz, çünkü Pascal'ın partiye geç kaldığı çok açık.
Yine de pek çok katkıda bulunmuştur.
Peki dünyanın her yanından matematikçinin ilgisini çeken ne var bunda?
Kısaca söylemek gerekirse, desenler ve sırlarla dolu.
Bunların ilki ve en önemlisi, onu üreten desenin kendisi.
1 ile başlayın ve iki tarafında görünmez sıfırlar olduğunu hayal edin.
Bu sayıları ikişer ikişer toplayın ve toplamları bir alt satıra yazın.
Ardından bunu tekrar tekrar yinelemeyi sürdürün.
Devam ederseniz şuna benzer bir şey elde edersiniz.
Tabii aslında Pascal Üçgeni sonsuza kadar böyle gider.
Buradaki her satır, (x+y)^n biçimindeki
binom açılımının katsayılarına denk gelir.
n, saymaya sıfırdan başlandığında,
satırın sıra numarasıdır.
Yani eğer n=2 alıp açılımı yaparsanız,
(x^2) + 2xy + (y^2) elde edersiniz.
Katsayılar, yani değişkenlerin önündeki sayılar,
Pascal Üçgeni'nin satırlarındaki sayıların aynısıdır.
Şu şekilde açılımı yapılan n=3 için de aynısı geçerlidir.
Dolayısıyla üçgen, bu katsayıların hepsini görmenin hızlı ve kolay bir yoludur.
Dahası da var.
Örneğin her bir satırdaki sayıları topladığınızda,
2'nin ardışık kuvvetlerini elde edersiniz.
Ya da bir satırdaki her sayıyı ondalık bir açılımın parçası olarak alın.
Yani ikinci satır şöyle olur: (1x1) + (2x10) + (1x100).
121 bulunur, ki o da 11^2 demektir.
Şimdi aynı şeyi 6. satıra yapınca ne çıktığına bakın.
Toplamda 1.771.561 eder. Bu 11^6 demektir ve böyle sürer.
Ayrıca geometrik uygulamaları da var.
Köşegenlere bakın.
İlk ikisi pek ilginç değil: 1'ler ve pozitif tamsayılar,
yani doğal sayılar.
Fakat bir sonraki köşegendeki sayılara üçgensel sayılar denir.
Çünkü bunlar kadar sayıda nokta alırsanız,
eşkenar üçgen şeklinde dizebilirsiniz.
Sonraki köşegende ise dörtyüzlü sayılar vardır.
Benzer biçimde, bunlar kadar sayıda küreyi dörtyüzlü dizebilirsiniz.
Bir de şuna bakın: Tüm tek sayıları gölgeleyelim.
Üçgen küçükken pek bir şeye benzemiyor.
Ama binlerce satır eklediğinizde,
Sierpinski Üçgeni olarak bilinen bir fraktal elde edersiniz.
Bu üçgen matematiksel bir sanattan ibaret değildir.
Aynı zamanda çok yararlıdır;
özellikle de olasılık ve
kombinetorik hesaplamaları konusunda.
Diyelim 5 çocuk sahibi olmak istiyorsunuz.
Hayalinizdeki gibi 3 kızınızın ve 2 oğlunuzun
olma olasılığını merak ediyorsunuz.
Binom açılımında,
bunun karşılığı kız artı erkek üssü 5 olur.
Şimdi 5. satıra bakalım.
Buradaki ilk sayı 5 kıza,
son sayı ise 5 erkeğe karşılık gelir.
Bizim aradığımız ise üçüncü sayı olur.
Satırdaki tüm olasılıkların toplamı içinden 10,
yani 10/32 veya %31,25.
Eğer 12 arkadaşınız arasından basketbol takımı için
rastgele 5 kişi seçiyorsanız,
kaç tane olası 5 kişilik grup çıkarabilirsiniz?
Kombinetorik terimleriyle, bu probleme 12'den 5 seçmek denir.
Şu formülle hesaplanabilir
veya üçgenin 12. satırındaki 6. elemana bakarak da
yanıtı bulabilirsiniz.
Pascal Üçgeni'ndeki şablonlar
matematiğin zarif dokusunun vasiyeti.
Üstelik bugün hâlâ yeni sırları açığa çıkıyor.
Örneğin matematikçiler yakın zamanda bu tür polinomlara
onu açmanın yolunu buldu.
Acaba başka neler bulabiliriz?
Bu size bağlı.