1
00:00:07,473 --> 00:00:11,000
Zarifçe düzenlenmiş bir yığın
sayıya benziyor olabilir;

2
00:00:11,000 --> 00:00:14,506
fakat bu aslında matematiksel
bir hazine sandığı.

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,654
Hintli matematikçiler ona
Meru Dağı'nın Merdivenleri der.

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
İran'da Hayyam Üçgeni olarak bilinir.

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
Çin'de ise Yang Hui'nin
Üçgeni adı verilir.

6
00:00:23,738 --> 00:00:28,033
Batı dünyasının büyük bölümünde
ise Pascal Üçgeni denir.

7
00:00:28,033 --> 00:00:31,085
Bu ad, Fransız matematikçi
Blaise Pascal'ın onuruna verilmiştir.

8
00:00:31,085 --> 00:00:35,234
Bu pek adil sayılmaz, çünkü
Pascal'ın partiye geç kaldığı çok açık.

9
00:00:35,234 --> 00:00:37,476
Yine de pek çok katkıda bulunmuştur.

10
00:00:37,476 --> 00:00:42,270
Peki dünyanın her yanından matematikçinin
ilgisini çeken ne var bunda?

11
00:00:42,270 --> 00:00:46,124
Kısaca söylemek gerekirse,
desenler ve sırlarla dolu.

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,428
Bunların ilki ve en önemlisi,
onu üreten desenin kendisi.

13
00:00:49,428 --> 00:00:54,477
1 ile başlayın ve iki tarafında görünmez
sıfırlar olduğunu hayal edin.

14
00:00:54,477 --> 00:00:58,592
Bu sayıları ikişer ikişer toplayın
ve toplamları bir alt satıra yazın.

15
00:00:58,592 --> 00:01:02,066
Ardından bunu tekrar tekrar
yinelemeyi sürdürün.

16
00:01:02,066 --> 00:01:05,784
Devam ederseniz şuna benzer
bir şey elde edersiniz.

17
00:01:05,784 --> 00:01:09,325
Tabii aslında Pascal Üçgeni
sonsuza kadar böyle gider.

18
00:01:09,325 --> 00:01:14,914
Buradaki her satır, 
(x+y)^n biçimindeki

19
00:01:14,914 --> 00:01:18,898
binom açılımının katsayılarına denk gelir.

20
00:01:18,898 --> 00:01:21,307
n, saymaya sıfırdan başlandığında,

21
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
satırın sıra numarasıdır.

22
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
Yani eğer n=2 alıp açılımı yaparsanız,

23
00:01:26,552 --> 00:01:31,107
(x^2) + 2xy + (y^2) elde edersiniz.

24
00:01:31,107 --> 00:01:34,023
Katsayılar, yani
değişkenlerin önündeki sayılar,

25
00:01:34,023 --> 00:01:38,397
Pascal Üçgeni'nin satırlarındaki
sayıların aynısıdır.

26
00:01:38,397 --> 00:01:43,256
Şu şekilde açılımı yapılan
n=3 için de aynısı geçerlidir.

27
00:01:43,256 --> 00:01:48,263
Dolayısıyla üçgen, bu katsayıların hepsini
görmenin hızlı ve kolay bir yoludur.

28
00:01:48,263 --> 00:01:50,037
Dahası da var.

29
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
Örneğin her bir satırdaki
sayıları topladığınızda,

30
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
2'nin ardışık kuvvetlerini elde edersiniz.

31
00:01:56,039 --> 00:02:01,221
Ya da bir satırdaki her sayıyı
ondalık bir açılımın parçası olarak alın.

32
00:02:01,221 --> 00:02:07,835
Yani ikinci satır şöyle olur:
(1x1) + (2x10) + (1x100).


33
00:02:07,835 --> 00:02:12,111
121 bulunur, ki o da 11^2 demektir.

34
00:02:12,111 --> 00:02:15,872
Şimdi aynı şeyi 6. satıra
yapınca ne çıktığına bakın.

35
00:02:15,872 --> 00:02:25,136
Toplamda 1.771.561 eder.
Bu 11^6 demektir ve böyle sürer.

36
00:02:25,136 --> 00:02:27,890
Ayrıca geometrik uygulamaları da var.

37
00:02:27,890 --> 00:02:29,691
Köşegenlere bakın.

38
00:02:29,691 --> 00:02:34,117
İlk ikisi pek ilginç değil:
1'ler ve pozitif tamsayılar,

39
00:02:34,117 --> 00:02:36,656
yani doğal sayılar.

40
00:02:36,656 --> 00:02:40,707
Fakat bir sonraki köşegendeki sayılara
üçgensel sayılar denir.

41
00:02:40,707 --> 00:02:43,343
Çünkü bunlar kadar sayıda nokta alırsanız,

42
00:02:43,343 --> 00:02:46,389
eşkenar üçgen şeklinde dizebilirsiniz.

43
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
Sonraki köşegende ise
dörtyüzlü sayılar vardır.

44
00:02:49,307 --> 00:02:54,622
Benzer biçimde, bunlar kadar sayıda
küreyi dörtyüzlü dizebilirsiniz.

45
00:02:54,622 --> 00:02:57,996
Bir de şuna bakın:
Tüm tek sayıları gölgeleyelim.

46
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
Üçgen küçükken pek bir şeye benzemiyor.

47
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
Ama binlerce satır eklediğinizde,

48
00:03:03,298 --> 00:03:07,439
Sierpinski Üçgeni olarak bilinen
bir fraktal elde edersiniz.

49
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
Bu üçgen matematiksel
bir sanattan ibaret değildir.

50
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
Aynı zamanda çok yararlıdır;

51
00:03:12,742 --> 00:03:15,481
özellikle de olasılık ve

52
00:03:15,481 --> 00:03:18,566
kombinetorik hesaplamaları konusunda.

53
00:03:18,566 --> 00:03:20,714
Diyelim 5 çocuk sahibi olmak istiyorsunuz.

54
00:03:20,714 --> 00:03:23,760
Hayalinizdeki gibi 3 kızınızın
ve 2 oğlunuzun

55
00:03:23,760 --> 00:03:26,590
olma olasılığını merak ediyorsunuz.

56
00:03:26,590 --> 00:03:28,388
Binom açılımında,

57
00:03:28,388 --> 00:03:32,116
bunun karşılığı
kız artı erkek üssü 5 olur.

58
00:03:32,116 --> 00:03:33,870
Şimdi 5. satıra bakalım.

59
00:03:33,870 --> 00:03:37,131
Buradaki ilk sayı 5 kıza,

60
00:03:37,131 --> 00:03:39,929
son sayı ise 5 erkeğe karşılık gelir.

61
00:03:39,929 --> 00:03:42,692
Bizim aradığımız ise üçüncü sayı olur.

62
00:03:42,692 --> 00:03:46,642
Satırdaki tüm olasılıkların
toplamı içinden 10,

63
00:03:46,642 --> 00:03:51,490
yani 10/32 veya %31,25.

64
00:03:51,490 --> 00:03:55,316
Eğer 12 arkadaşınız arasından
basketbol takımı için

65
00:03:55,316 --> 00:03:57,084
rastgele 5 kişi seçiyorsanız,

66
00:03:57,084 --> 00:04:00,102
kaç tane olası 5 kişilik
grup çıkarabilirsiniz?

67
00:04:00,102 --> 00:04:05,062
Kombinetorik terimleriyle, bu probleme
12'den 5 seçmek denir.

68
00:04:05,062 --> 00:04:07,237
Şu formülle hesaplanabilir

69
00:04:07,237 --> 00:04:11,708
veya üçgenin 12. satırındaki
6. elemana bakarak da

70
00:04:11,708 --> 00:04:13,383
yanıtı bulabilirsiniz.

71
00:04:13,383 --> 00:04:15,079
Pascal Üçgeni'ndeki şablonlar

72
00:04:15,079 --> 00:04:19,387
matematiğin zarif dokusunun vasiyeti.

73
00:04:19,387 --> 00:04:23,271
Üstelik bugün hâlâ
yeni sırları açığa çıkıyor.

74
00:04:23,271 --> 00:04:27,422
Örneğin matematikçiler yakın zamanda
bu tür polinomlara

75
00:04:27,422 --> 00:04:30,019
onu açmanın yolunu buldu.

76
00:04:30,019 --> 00:04:31,758
Acaba başka neler bulabiliriz?

77
00:04:31,758 --> 00:04:34,097
Bu size bağlı.