< Return to Video

Pascal üçgeninin matematiksel sırları - Wajdi Mohamed Ratemi

  • 0:07 - 0:11
    Zarifçe düzenlenmiş bir yığın
    sayıya benziyor olabilir;
  • 0:11 - 0:15
    fakat bu aslında matematiksel
    bir hazine sandığı.
  • 0:15 - 0:19
    Hintli matematikçiler ona
    Meru Dağı'nın Merdivenleri der.
  • 0:19 - 0:21
    İran'da Hayyam Üçgeni olarak bilinir.
  • 0:21 - 0:24
    Çin'de ise Yang Hui'nin
    Üçgeni adı verilir.
  • 0:24 - 0:28
    Batı dünyasının büyük bölümünde
    ise Pascal Üçgeni denir.
  • 0:28 - 0:31
    Bu ad, Fransız matematikçi
    Blaise Pascal'ın onuruna verilmiştir.
  • 0:31 - 0:35
    Bu pek adil sayılmaz, çünkü
    Pascal'ın partiye geç kaldığı çok açık.
  • 0:35 - 0:37
    Yine de pek çok katkıda bulunmuştur.
  • 0:37 - 0:42
    Peki dünyanın her yanından matematikçinin
    ilgisini çeken ne var bunda?
  • 0:42 - 0:46
    Kısaca söylemek gerekirse,
    desenler ve sırlarla dolu.
  • 0:46 - 0:49
    Bunların ilki ve en önemlisi,
    onu üreten desenin kendisi.
  • 0:49 - 0:54
    1 ile başlayın ve iki tarafında görünmez
    sıfırlar olduğunu hayal edin.
  • 0:54 - 0:59
    Bu sayıları ikişer ikişer toplayın
    ve toplamları bir alt satıra yazın.
  • 0:59 - 1:02
    Ardından bunu tekrar tekrar
    yinelemeyi sürdürün.
  • 1:02 - 1:06
    Devam ederseniz şuna benzer
    bir şey elde edersiniz.
  • 1:06 - 1:09
    Tabii aslında Pascal Üçgeni
    sonsuza kadar böyle gider.
  • 1:09 - 1:15
    Buradaki her satır,
    (x+y)^n biçimindeki
  • 1:15 - 1:19
    binom açılımının katsayılarına denk gelir.
  • 1:19 - 1:21
    n, saymaya sıfırdan başlandığında,
  • 1:21 - 1:24
    satırın sıra numarasıdır.
  • 1:24 - 1:27
    Yani eğer n=2 alıp açılımı yaparsanız,
  • 1:27 - 1:31
    (x^2) + 2xy + (y^2) elde edersiniz.
  • 1:31 - 1:34
    Katsayılar, yani
    değişkenlerin önündeki sayılar,
  • 1:34 - 1:38
    Pascal Üçgeni'nin satırlarındaki
    sayıların aynısıdır.
  • 1:38 - 1:43
    Şu şekilde açılımı yapılan
    n=3 için de aynısı geçerlidir.
  • 1:43 - 1:48
    Dolayısıyla üçgen, bu katsayıların hepsini
    görmenin hızlı ve kolay bir yoludur.
  • 1:48 - 1:50
    Dahası da var.
  • 1:50 - 1:53
    Örneğin her bir satırdaki
    sayıları topladığınızda,
  • 1:53 - 1:56
    2'nin ardışık kuvvetlerini elde edersiniz.
  • 1:56 - 2:01
    Ya da bir satırdaki her sayıyı
    ondalık bir açılımın parçası olarak alın.
  • 2:01 - 2:08
    Yani ikinci satır şöyle olur:
    (1x1) + (2x10) + (1x100).
  • 2:08 - 2:12
    121 bulunur, ki o da 11^2 demektir.
  • 2:12 - 2:16
    Şimdi aynı şeyi 6. satıra
    yapınca ne çıktığına bakın.
  • 2:16 - 2:25
    Toplamda 1.771.561 eder.
    Bu 11^6 demektir ve böyle sürer.
  • 2:25 - 2:28
    Ayrıca geometrik uygulamaları da var.
  • 2:28 - 2:30
    Köşegenlere bakın.
  • 2:30 - 2:34
    İlk ikisi pek ilginç değil:
    1'ler ve pozitif tamsayılar,
  • 2:34 - 2:37
    yani doğal sayılar.
  • 2:37 - 2:41
    Fakat bir sonraki köşegendeki sayılara
    üçgensel sayılar denir.
  • 2:41 - 2:43
    Çünkü bunlar kadar sayıda nokta alırsanız,
  • 2:43 - 2:46
    eşkenar üçgen şeklinde dizebilirsiniz.
  • 2:46 - 2:49
    Sonraki köşegende ise
    dörtyüzlü sayılar vardır.
  • 2:49 - 2:55
    Benzer biçimde, bunlar kadar sayıda
    küreyi dörtyüzlü dizebilirsiniz.
  • 2:55 - 2:58
    Bir de şuna bakın:
    Tüm tek sayıları gölgeleyelim.
  • 2:58 - 3:01
    Üçgen küçükken pek bir şeye benzemiyor.
  • 3:01 - 3:03
    Ama binlerce satır eklediğinizde,
  • 3:03 - 3:07
    Sierpinski Üçgeni olarak bilinen
    bir fraktal elde edersiniz.
  • 3:07 - 3:11
    Bu üçgen matematiksel
    bir sanattan ibaret değildir.
  • 3:11 - 3:13
    Aynı zamanda çok yararlıdır;
  • 3:13 - 3:15
    özellikle de olasılık ve
  • 3:15 - 3:19
    kombinetorik hesaplamaları konusunda.
  • 3:19 - 3:21
    Diyelim 5 çocuk sahibi olmak istiyorsunuz.
  • 3:21 - 3:24
    Hayalinizdeki gibi 3 kızınızın
    ve 2 oğlunuzun
  • 3:24 - 3:27
    olma olasılığını merak ediyorsunuz.
  • 3:27 - 3:28
    Binom açılımında,
  • 3:28 - 3:32
    bunun karşılığı
    kız artı erkek üssü 5 olur.
  • 3:32 - 3:34
    Şimdi 5. satıra bakalım.
  • 3:34 - 3:37
    Buradaki ilk sayı 5 kıza,
  • 3:37 - 3:40
    son sayı ise 5 erkeğe karşılık gelir.
  • 3:40 - 3:43
    Bizim aradığımız ise üçüncü sayı olur.
  • 3:43 - 3:47
    Satırdaki tüm olasılıkların
    toplamı içinden 10,
  • 3:47 - 3:51
    yani 10/32 veya %31,25.
  • 3:51 - 3:55
    Eğer 12 arkadaşınız arasından
    basketbol takımı için
  • 3:55 - 3:57
    rastgele 5 kişi seçiyorsanız,
  • 3:57 - 4:00
    kaç tane olası 5 kişilik
    grup çıkarabilirsiniz?
  • 4:00 - 4:05
    Kombinetorik terimleriyle, bu probleme
    12'den 5 seçmek denir.
  • 4:05 - 4:07
    Şu formülle hesaplanabilir
  • 4:07 - 4:12
    veya üçgenin 12. satırındaki
    6. elemana bakarak da
  • 4:12 - 4:13
    yanıtı bulabilirsiniz.
  • 4:13 - 4:15
    Pascal Üçgeni'ndeki şablonlar
  • 4:15 - 4:19
    matematiğin zarif dokusunun vasiyeti.
  • 4:19 - 4:23
    Üstelik bugün hâlâ
    yeni sırları açığa çıkıyor.
  • 4:23 - 4:27
    Örneğin matematikçiler yakın zamanda
    bu tür polinomlara
  • 4:27 - 4:30
    onu açmanın yolunu buldu.
  • 4:30 - 4:32
    Acaba başka neler bulabiliriz?
  • 4:32 - 4:34
    Bu size bağlı.
Title:
Pascal üçgeninin matematiksel sırları - Wajdi Mohamed Ratemi
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

Dersin tamamı: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

Pascal üçgeni, ilk bakışta güzelce düzenlenmiş sayılardan ibaret gibi görünür. Ama aslında matematiksel bir hazinedir. Peki neden dünyanın her yanndaki matematikçileri bu kadar etkiliyor? Wajdi Mohamed Ratemi, Pascal üçgenindeki şablonları ve sırları anlatıyor.

Ders: Wajdi Mohamed Ratemi, animasyon: Henrik Malmgren.

more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

Turkish subtitles

Revisions