Математичке тајне Паскаловог троугла - Вајди Мохамед Ратеми (Wajdi Mohamed Ratemi)

Погледајте целу лекцију: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

Паскалов троугао, који се испрва чини као уредно наслагана гомила бројева, заправо представља математичко благо. Али шта је то код њега занимало математичаре широм света? Вајди Мохамед Ратеми показује како је Паскалов троугао пун шаблона и тајни.

Лекција: Вајди Мохамед Ратеми; анимација: Хенрик Малмгрен.

Ово можда изгледа као уредно слагање
гомиле бројева,

али то је у ствари
математички ковчег са благом.

Индијски математичари су га називали
степеништем планине Меру.

А у Ирану Кајамов троугао.

У Кини Јанг Хуиев троугао.

За већину западног света,
познат је каo Паскалов троугао

по француском математичару Блезу Паскалу,

што је прилилично нефер,
с обзиром да је он закаснио на журку,

али је ипак доста допринео.

О чему се овде ради, када је толико
заинтригирало математичаре широм света?

Укратко, препуно је правила и и тајни.

Прво и најважније, постоји образац
који га ствара.

Почиње са јединицом и замишљеним
нулама са обе стране.

Сабирамо их по паровима,
и добијамо следећи ред.

Сада то поновите, и опет поновите.

Наставите даље и завршићете
са нечим као што изледа овако,

а у ствари Паскалов троугао
је бесконачан.

Сада, сваки ред одговара такозваним
биноним коефицијентима

у развоју израза (x + y)^n,

где n означава број реда,

а почињемо бројање од нуле.

Ако је n = 2 развијањем израза

добијамо (x^2) + 2xy + (y^2).

Коефицијенти,
тј. бројеви испред промењивих,

су исти као и бројеви у том реду
у Паскаловом троуглу.

Исто ће се догодити и за n = 3,
где ћемо добити овакав израз.

Троугао је брзи и лак начин да
одредимо све ове коефицијенте.

Али постоји много више.

На пример, сабирањем
бројева у сваком реду,

добићете узастопне степене броја 2.

Или у датом реду, посматрате сваки број
као део декадног записа.

Другим речима, други ред представља
(1x1) + (2x10) + (1x100).

Добијате 121, што је 11^2.

Погледајте шта ће се догодити
када урадите исто у шестом реду.

Збир је 1 771 561,
што је 11^6, и тако даље.

Постоји и геометријска примена.

Погледајте дијагоналу.

Прва два нису претерано занимљива,
јер су све јединице и позитивни бројеви,

познати и као природни бројеви.

Али бројеви на следећој дијагонали,
називају се троугаони бројеви,

јер ако узмете толико тачака,

можете их сместити
у једнакостраничан троугао.

Следећа дијагонала,
има тетраедалне бројеве,

јер их на сличан начин,
можете сместити у тетраедар.

А шта мислите о овоме,
осенчите све непарне бројеве.

То не изгледа ништа посебно,
када је мали троугао,

али ако додате хиљаде редова,

добићете фрактал,
познатији као Троугао Серпинског.

Овај троугао није само
део математичке уметности.

Такође је користан,

поготово када је у питању вероватноћа
и сложенији рачун

у области комбинаторике.

На пример, желите да имате петоро деце,

и желите да знате са
којом вероватноћом

ћете имати вашу породицу из снова
са три девојчице и два дечака.

То је биномни израз,

који одговара броју девојчица и дечака
на пети степен.

Погледајмо пети ред,

где први број одговара
случају када је пет девојчица,

а последњи ако је пет дечака.

Трећи број је онај
који ми тражимо.

Десет је сума свих
могућих догађаја у реду.

Дакле 10/32 је 31,25%.

Или ако бирате насумично пет играча
кошаркашког тима

од 12 пријатеља,

колико група од по
петоро можете направити?

У комбинаторици, овај проблем би се свео
на то да од 12 бирамо 5,

и може се израчунати помоћу ове формуле,

или можете погледати само у шести
члан 12. реда у троуглу

и добићете одговор.

Шаблони у Паскаловом троуглу

су доказ елегантно испреплетене
математичке тканина .

А и данас откривамо нове тајне.

На пример, математичари су недавно
открили начин да га прошире

на овакве полиноме.

Шта бисмо могли још да откријемо?

То зависи од вас.