WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
Ово можда изгледа као уредно слагање
гомиле бројева,

00:00:11.000 --> 00:00:14.506
али то је у ствари
математички ковчег са благом.

00:00:14.506 --> 00:00:18.654
Индијски математичари су га називали
степеништем планине Меру.

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
А у Ирану Кајамов троугао.

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
У Кини Јанг Хуиев троугао.

00:00:23.738 --> 00:00:28.033
За већину западног света,
познат је каo Паскалов троугао

00:00:28.033 --> 00:00:31.085
по француском математичару Блезу Паскалу,

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
што је прилилично нефер,
с обзиром да је он закаснио на журку,

00:00:35.234 --> 00:00:37.476
али је ипак доста допринео.

00:00:37.476 --> 00:00:42.270
О чему се овде ради, када је толико
заинтригирало математичаре широм света?

00:00:42.270 --> 00:00:46.124
Укратко, препуно је правила и и тајни.

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
Прво и најважније, постоји образац
који га ствара.

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
Почиње са јединицом и замишљеним
нулама са обе стране.

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
Сабирамо их по паровима,
и добијамо следећи ред.

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
Сада то поновите, и опет поновите.

00:01:02.066 --> 00:01:05.784
Наставите даље и завршићете
са нечим као што изледа овако,

00:01:05.784 --> 00:01:09.325
а у ствари Паскалов троугао 
је бесконачан.

00:01:09.325 --> 00:01:14.914
Сада, сваки ред одговара такозваним
биноним коефицијентима

00:01:14.914 --> 00:01:18.898
у развоју израза (x + y)^n,

00:01:18.898 --> 00:01:21.307
где n означава број реда,

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
а почињемо бројање од нуле.

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
Ако је n = 2 развијањем израза

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
добијамо (x^2) + 2xy + (y^2).

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
Коефицијенти,
тј. бројеви испред промењивих,

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
су исти као и бројеви у том реду
у Паскаловом троуглу.

00:01:38.397 --> 00:01:43.256
Исто ће се догодити и за n = 3, 
где ћемо добити овакав израз.

00:01:43.256 --> 00:01:48.493
Троугао је брзи и лак начин да 
одредимо све ове коефицијенте.

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
Али постоји много више.

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
На пример, сабирањем 
бројева у сваком реду,

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
добићете узастопне степене броја 2.

00:01:56.039 --> 00:02:01.221
Или у датом реду, посматрате сваки број
као део декадног записа.

00:02:01.221 --> 00:02:07.835
Другим речима, други ред представља
(1x1) + (2x10) + (1x100).

00:02:07.835 --> 00:02:12.111
Добијате 121, што је 11^2.

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
Погледајте шта ће се догодити 
када урадите исто у шестом реду.

00:02:15.872 --> 00:02:25.136
Збир је 1 771 561,
што је 11^6, и тако даље.

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
Постоји и геометријска примена.

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
Погледајте дијагоналу.

00:02:29.691 --> 00:02:34.117
Прва два нису претерано занимљива, 
јер су све јединице и позитивни бројеви,

00:02:34.117 --> 00:02:36.656
познати и као природни бројеви.

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
Али бројеви на следећој дијагонали,
називају се троугаони бројеви,

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
јер ако узмете толико тачака,

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
можете их сместити 
у једнакостраничан троугао.

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
Следећа дијагонала,
има тетраедалне бројеве,

00:02:49.307 --> 00:02:54.622
јер их на сличан начин,
можете сместити у тетраедар.

00:02:54.622 --> 00:02:57.996
А шта мислите о овоме,
осенчите све непарне бројеве.

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
То не изгледа ништа посебно,
када је мали троугао,

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
али ако додате хиљаде редова,

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
добићете фрактал, 
познатији као Троугао Серпинског.

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
Овај троугао није само
део математичке уметности.

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
Такође је користан,

00:03:12.742 --> 00:03:15.481
поготово када је у питању вероватноћа
и сложенији рачун

00:03:15.481 --> 00:03:18.566
у области комбинаторике.

00:03:18.566 --> 00:03:20.454
На пример, желите да имате петоро деце,

00:03:20.454 --> 00:03:22.270
и желите да знате са
којом вероватноћом

00:03:22.270 --> 00:03:26.590
ћете имати вашу породицу из снова
са три девојчице и два дечака.

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
То је биномни израз,

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
који одговара броју девојчица и дечака 
на пети степен.

00:03:32.116 --> 00:03:33.660
Погледајмо пети ред,

00:03:33.660 --> 00:03:37.131
где први број одговара
случају када је пет девојчица,

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
а последњи ако је пет дечака.

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
Трећи број је онај
који ми тражимо.

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
Десет је сума свих
могућих догађаја у реду.

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
Дакле 10/32 је 31,25%.

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
Или ако бирате насумично пет играча
кошаркашког тима

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
од 12 пријатеља,

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
колико група од по 
петоро можете направити?

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
У комбинаторици, овај проблем би се свео
на то да од 12 бирамо 5,

00:04:05.062 --> 00:04:07.237
и може се израчунати помоћу ове формуле,

00:04:07.237 --> 00:04:11.708
или можете погледати само у шести
члан 12. реда у троуглу

00:04:11.708 --> 00:04:13.383
и добићете одговор.

00:04:13.383 --> 00:04:15.079
Шаблони у Паскаловом троуглу

00:04:15.079 --> 00:04:19.387
су доказ елегантно испреплетене
математичке тканина .

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
А и данас откривамо нове тајне.

00:04:23.271 --> 00:04:27.422
На пример, математичари су недавно
открили начин да га прошире

00:04:27.422 --> 00:04:30.019
на овакве полиноме.

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
Шта бисмо могли још да откријемо?

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
То зависи од вас.