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Os segredos matemáticos do Triângulo de Pascal — Wajdi Mohamed Ratemi

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    Isto pode parecer uma pilha
    de números bem arrumados,
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    mas, na verdade,
    é um rico manancial matemático.
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    Os matemáticos indianos chamavam-lhe
    a Escadaria do Monte Meru.
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    No Irão, é o Triângulo Khayyám.
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    E na China, é o Triângulo de Yang Hui.
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    Para grande parte do mundo ocidental
    é conhecido como o Triângulo de Pascal,
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    do matemático francês Blaise Pascal,
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    o que parece bastante injusto
    porque, obviamente, ele foi o último
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    embora ainda tenha contribuído muito.
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    O que é que tem de especial, que tanto
    intrigou matemáticos do mundo inteiro?
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    Em poucas palavras,
    está cheio de padrões e de segredos.
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    Primeiro e acima de tudo,
    há o padrão que o gera.
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    Comecem com um e imaginem
    um zero invisível de cada lado.
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    Somem-nos aos pares,
    gerando a linha seguinte.
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    Voltem a fazer o mesmo,
    uma e outra vez.
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    Continuem e vão acabar
    com uma coisa assim,
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    embora o Triângulo de Pascal
    continue até ao infinito.
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    Cada linha corresponde ao que se chama
    os coeficientes de expansão binomial
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    da forma (x+y) elevado a n,
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    em que n é o número da linha,
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    e começamos a contar a partir do zero.
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    Portanto, se fizermos n=2 e expandirmos,
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    temos (x^2) + 2xy + (y^2).
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    Os coeficientes, ou números
    em frente das variáveis,
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    são os mesmos que os números
    nessa linha do Triângulo de Pascal.
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    Veremos a mesma coisa com n=3,
    que expande assim.
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    Portanto, o triângulo é uma forma rápida
    e fácil de encontrar esses coeficientes.
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    Mas há muito mais ainda.
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    Por exemplo,
    somem os números em cada linha,
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    e obtêm sucessivas potências de dois.
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    Numa dada linha, tratem cada número
    como uma parte duma expansão decimal.
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    Por outras palavras, a linha dois é
    (1x1) + (2x10) + (1x100).
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    Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.
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    Vejam o que acontece,
    quando fazemos o mesmo na linha seis.
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    Obtemos 1 771 561,
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    que é 11 elevado a 6,
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    e assim sucessivamente.
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    Também há aplicações geométricas.
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    Olhem para as diagonais.
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    As duas primeiras
    não são muito interessantes:
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    a primeira é tudo uns,
    a segunda, os inteiros positivos,
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    também conhecidos por números naturais.
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    Mas os números na diagonal seguinte,
    chamam-se os números triangulares
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    porque, se agarrarmos nesses números,
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    podemos empilhar os círculos
    em triângulos equiláteros.
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    A diagonal seguinte
    tem os números tetraédricos
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    porque, do mesmo modo,
    podemos empilhar as esferas em tetraedros.
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    E agora isto: tapem
    todos os números ímpares.
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    Não se vê grande coisa
    quando o triângulo é pequeno,
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    mas se acrescentarmos milhares de linhas,
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    obtemos um fractal, conhecido
    por Triângulo de Sierpinski.
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    Este triângulo não é apenas
    uma obra de arte matemática.
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    Também é muito útil,
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    em especial no que se refere
    a probabilidades e cálculos
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    no domínio da combinatória.
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    Digamos que queremos ter cinco filhos,
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    e gostaríamos de saber a probabilidade
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    de ter uma família de sonho
    de três raparigas e dois rapazes.
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    Na expansão binomial,
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    isso corresponde a (rapariga mais rapaz)
    elevado à quinta potência.
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    Portanto, olhemos para a linha cinco,
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    em que o primeiro termo
    corresponde a cinco raparigas,
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    e o último corresponde a cinco rapazes.
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    O terceiro termo é aquele
    de que andamos à procura.
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    A parcela 10, na soma
    de todas as possibilidades na linha.
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    Portanto, 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.
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    Se, ao acaso, escolhermos uma equipa
    de basquetebol de cinco jogadores
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    num grupo de doze colegas,
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    quantos grupos possíveis de cinco existem?
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    Em termos combinatórios,
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    este problema seria descrito
    como "cinco escolhidos em doze"
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    e podia ser calculado com esta fórmula.
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    Ou podíamos olhar para o sexto elemento
    da linha doze do triângulo
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    e obter a resposta.
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    Os padrões no Triângulo de Pascal
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    são um testemunho do elegante
    tecido entretecido da matemática.
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    E ainda continuam a revelar
    novos segredos, hoje em dia.
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    Por exemplo, os matemáticos descobriram
    há pouco uma forma de o expandirem
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    até este tipo de polinomiais.
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    O que mais descobriremos a seguir?
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    Bem, isso agora é convosco.
Title:
Os segredos matemáticos do Triângulo de Pascal — Wajdi Mohamed Ratemi
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

Vejam a lição completa : http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

O Triângulo de Pascal que, a princípio, pode parecer apenas uma pilha de números bem arrumados, é na verdade um rico manancial matemático. Mas porque é que ele tem intrigado matemáticos no mundo inteiro? Wajdi Mohamed Ratemi mostra como o Triângulo de Pascal está cheio de padrões e de segredos.

Lição de Wajdi Mohamed Ratemi, animação de Henrik Malmgren.

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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

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