Os segredos matemáticos do Triângulo de Pascal — Wajdi Mohamed Ratemi
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0:08 - 0:11Isto pode parecer uma pilha
de números bem arrumados, -
0:11 - 0:14mas, na verdade,
é um rico manancial matemático. -
0:15 - 0:19Os matemáticos indianos chamavam-lhe
a Escadaria do Monte Meru. -
0:19 - 0:21No Irão, é o Triângulo Khayyám.
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0:21 - 0:24E na China, é o Triângulo de Yang Hui.
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0:24 - 0:28Para grande parte do mundo ocidental
é conhecido como o Triângulo de Pascal, -
0:28 - 0:31do matemático francês Blaise Pascal,
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0:31 - 0:35o que parece bastante injusto
porque, obviamente, ele foi o último -
0:35 - 0:38embora ainda tenha contribuído muito.
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0:38 - 0:42O que é que tem de especial, que tanto
intrigou matemáticos do mundo inteiro? -
0:42 - 0:46Em poucas palavras,
está cheio de padrões e de segredos. -
0:46 - 0:50Primeiro e acima de tudo,
há o padrão que o gera. -
0:50 - 0:54Comecem com um e imaginem
um zero invisível de cada lado. -
0:54 - 0:58Somem-nos aos pares,
gerando a linha seguinte. -
0:59 - 1:02Voltem a fazer o mesmo,
uma e outra vez. -
1:02 - 1:06Continuem e vão acabar
com uma coisa assim, -
1:06 - 1:09embora o Triângulo de Pascal
continue até ao infinito. -
1:10 - 1:15Cada linha corresponde ao que se chama
os coeficientes de expansão binomial -
1:15 - 1:19da forma (x+y) elevado a n,
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1:19 - 1:21em que n é o número da linha,
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1:21 - 1:24e começamos a contar a partir do zero.
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1:24 - 1:27Portanto, se fizermos n=2 e expandirmos,
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1:27 - 1:31temos (x^2) + 2xy + (y^2).
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1:31 - 1:34Os coeficientes, ou números
em frente das variáveis, -
1:34 - 1:38são os mesmos que os números
nessa linha do Triângulo de Pascal. -
1:39 - 1:43Veremos a mesma coisa com n=3,
que expande assim. -
1:43 - 1:48Portanto, o triângulo é uma forma rápida
e fácil de encontrar esses coeficientes. -
1:48 - 1:50Mas há muito mais ainda.
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1:50 - 1:53Por exemplo,
somem os números em cada linha, -
1:53 - 1:56e obtêm sucessivas potências de dois.
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1:56 - 2:01Numa dada linha, tratem cada número
como uma parte duma expansão decimal. -
2:01 - 2:08Por outras palavras, a linha dois é
(1x1) + (2x10) + (1x100). -
2:08 - 2:11Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.
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2:12 - 2:16Vejam o que acontece,
quando fazemos o mesmo na linha seis. -
2:16 - 2:21Obtemos 1 771 561,
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2:21 - 2:24que é 11 elevado a 6,
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2:24 - 2:25e assim sucessivamente.
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2:25 - 2:28Também há aplicações geométricas.
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2:28 - 2:30Olhem para as diagonais.
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2:30 - 2:32As duas primeiras
não são muito interessantes: -
2:32 - 2:35a primeira é tudo uns,
a segunda, os inteiros positivos, -
2:35 - 2:37também conhecidos por números naturais.
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2:37 - 2:41Mas os números na diagonal seguinte,
chamam-se os números triangulares -
2:41 - 2:44porque, se agarrarmos nesses números,
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2:44 - 2:47podemos empilhar os círculos
em triângulos equiláteros. -
2:47 - 2:50A diagonal seguinte
tem os números tetraédricos -
2:50 - 2:54porque, do mesmo modo,
podemos empilhar as esferas em tetraedros. -
2:55 - 2:58E agora isto: tapem
todos os números ímpares. -
2:59 - 3:02Não se vê grande coisa
quando o triângulo é pequeno, -
3:02 - 3:04mas se acrescentarmos milhares de linhas,
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3:04 - 3:07obtemos um fractal, conhecido
por Triângulo de Sierpinski. -
3:08 - 3:11Este triângulo não é apenas
uma obra de arte matemática. -
3:11 - 3:13Também é muito útil,
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3:13 - 3:16em especial no que se refere
a probabilidades e cálculos -
3:16 - 3:18no domínio da combinatória.
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3:19 - 3:21Digamos que queremos ter cinco filhos,
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3:21 - 3:23e gostaríamos de saber a probabilidade
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3:23 - 3:26de ter uma família de sonho
de três raparigas e dois rapazes. -
3:27 - 3:29Na expansão binomial,
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3:29 - 3:33isso corresponde a (rapariga mais rapaz)
elevado à quinta potência. -
3:33 - 3:35Portanto, olhemos para a linha cinco,
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3:35 - 3:37em que o primeiro termo
corresponde a cinco raparigas, -
3:37 - 3:40e o último corresponde a cinco rapazes.
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3:40 - 3:43O terceiro termo é aquele
de que andamos à procura. -
3:43 - 3:47A parcela 10, na soma
de todas as possibilidades na linha. -
3:47 - 3:51Portanto, 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.
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3:52 - 3:56Se, ao acaso, escolhermos uma equipa
de basquetebol de cinco jogadores -
3:56 - 3:58num grupo de doze colegas,
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3:58 - 4:00quantos grupos possíveis de cinco existem?
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4:00 - 4:02Em termos combinatórios,
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4:02 - 4:05este problema seria descrito
como "cinco escolhidos em doze" -
4:05 - 4:08e podia ser calculado com esta fórmula.
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4:08 - 4:12Ou podíamos olhar para o sexto elemento
da linha doze do triângulo -
4:12 - 4:14e obter a resposta.
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4:14 - 4:16Os padrões no Triângulo de Pascal
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4:16 - 4:19são um testemunho do elegante
tecido entretecido da matemática. -
4:20 - 4:24E ainda continuam a revelar
novos segredos, hoje em dia. -
4:24 - 4:28Por exemplo, os matemáticos descobriram
há pouco uma forma de o expandirem -
4:28 - 4:30até este tipo de polinomiais.
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4:30 - 4:32O que mais descobriremos a seguir?
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4:32 - 4:34Bem, isso agora é convosco.
- Title:
- Os segredos matemáticos do Triângulo de Pascal — Wajdi Mohamed Ratemi
- Speaker:
- Wajdi Mohamed Ratemi
- Description:
-
Vejam a lição completa : http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi
O Triângulo de Pascal que, a princípio, pode parecer apenas uma pilha de números bem arrumados, é na verdade um rico manancial matemático. Mas porque é que ele tem intrigado matemáticos no mundo inteiro? Wajdi Mohamed Ratemi mostra como o Triângulo de Pascal está cheio de padrões e de segredos.
Lição de Wajdi Mohamed Ratemi, animação de Henrik Malmgren.
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:50
Margarida Ferreira approved Portuguese subtitles for The mathematical secrets of Pascal's triangle | ||
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