Os segredos matemáticos do Triângulo de Pascal — Wajdi Mohamed Ratemi

Vejam a lição completa : http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

O Triângulo de Pascal que, a princípio, pode parecer apenas uma pilha de números bem arrumados, é na verdade um rico manancial matemático. Mas porque é que ele tem intrigado matemáticos no mundo inteiro? Wajdi Mohamed Ratemi mostra como o Triângulo de Pascal está cheio de padrões e de segredos.

Lição de Wajdi Mohamed Ratemi, animação de Henrik Malmgren.

Isto pode parecer uma pilha
de números bem arrumados,

mas, na verdade,
é um rico manancial matemático.

Os matemáticos indianos chamavam-lhe
a Escadaria do Monte Meru.

No Irão, é o Triângulo Khayyám.

E na China, é o Triângulo de Yang Hui.

Para grande parte do mundo ocidental
é conhecido como o Triângulo de Pascal,

do matemático francês Blaise Pascal,

o que parece bastante injusto
porque, obviamente, ele foi o último

embora ainda tenha contribuído muito.

O que é que tem de especial, que tanto
intrigou matemáticos do mundo inteiro?

Em poucas palavras,
está cheio de padrões e de segredos.

Primeiro e acima de tudo,
há o padrão que o gera.

Comecem com um e imaginem
um zero invisível de cada lado.

Somem-nos aos pares,
gerando a linha seguinte.

Voltem a fazer o mesmo,
uma e outra vez.

Continuem e vão acabar
com uma coisa assim,

embora o Triângulo de Pascal
continue até ao infinito.

Cada linha corresponde ao que se chama
os coeficientes de expansão binomial

da forma (x+y) elevado a n,

em que n é o número da linha,

e começamos a contar a partir do zero.

Portanto, se fizermos n=2 e expandirmos,

temos (x^2) + 2xy + (y^2).

Os coeficientes, ou números
em frente das variáveis,

são os mesmos que os números
nessa linha do Triângulo de Pascal.

Veremos a mesma coisa com n=3,
que expande assim.

Portanto, o triângulo é uma forma rápida
e fácil de encontrar esses coeficientes.

Mas há muito mais ainda.

Por exemplo,
somem os números em cada linha,

e obtêm sucessivas potências de dois.

Numa dada linha, tratem cada número
como uma parte duma expansão decimal.

Por outras palavras, a linha dois é
(1x1) + (2x10) + (1x100).

Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.

Vejam o que acontece,
quando fazemos o mesmo na linha seis.

Obtemos 1 771 561,

que é 11 elevado a 6,

e assim sucessivamente.

Também há aplicações geométricas.

Olhem para as diagonais.

As duas primeiras
não são muito interessantes:

a primeira é tudo uns,
a segunda, os inteiros positivos,

também conhecidos por números naturais.

Mas os números na diagonal seguinte,
chamam-se os números triangulares

porque, se agarrarmos nesses números,

podemos empilhar os círculos
em triângulos equiláteros.

A diagonal seguinte
tem os números tetraédricos

porque, do mesmo modo,
podemos empilhar as esferas em tetraedros.

E agora isto: tapem
todos os números ímpares.

Não se vê grande coisa
quando o triângulo é pequeno,

mas se acrescentarmos milhares de linhas,

obtemos um fractal, conhecido
por Triângulo de Sierpinski.

Este triângulo não é apenas
uma obra de arte matemática.

Também é muito útil,

em especial no que se refere
a probabilidades e cálculos

no domínio da combinatória.

Digamos que queremos ter cinco filhos,

e gostaríamos de saber a probabilidade

de ter uma família de sonho
de três raparigas e dois rapazes.

Na expansão binomial,

isso corresponde a (rapariga mais rapaz)
elevado à quinta potência.

Portanto, olhemos para a linha cinco,

em que o primeiro termo
corresponde a cinco raparigas,

e o último corresponde a cinco rapazes.

O terceiro termo é aquele
de que andamos à procura.

A parcela 10, na soma
de todas as possibilidades na linha.

Portanto, 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.

Se, ao acaso, escolhermos uma equipa
de basquetebol de cinco jogadores

num grupo de doze colegas,

quantos grupos possíveis de cinco existem?

Em termos combinatórios,

este problema seria descrito
como "cinco escolhidos em doze"

e podia ser calculado com esta fórmula.

Ou podíamos olhar para o sexto elemento
da linha doze do triângulo

e obter a resposta.

Os padrões no Triângulo de Pascal

são um testemunho do elegante
tecido entretecido da matemática.

E ainda continuam a revelar
novos segredos, hoje em dia.

Por exemplo, os matemáticos descobriram
há pouco uma forma de o expandirem

até este tipo de polinomiais.

O que mais descobriremos a seguir?

Bem, isso agora é convosco.