1 00:00:07,603 --> 00:00:11,000 Isto pode parecer uma pilha de números bem arrumados, 2 00:00:11,000 --> 00:00:14,236 mas, na verdade, é um rico manancial matemático. 3 00:00:14,666 --> 00:00:18,654 Os matemáticos indianos chamavam-lhe a Escadaria do Monte Meru. 4 00:00:18,654 --> 00:00:21,131 No Irão, é o Triângulo Khayyám. 5 00:00:21,131 --> 00:00:23,738 E na China, é o Triângulo de Yang Hui. 6 00:00:23,928 --> 00:00:28,033 Para grande parte do mundo ocidental é conhecido como o Triângulo de Pascal, 7 00:00:28,033 --> 00:00:31,085 do matemático francês Blaise Pascal, 8 00:00:31,085 --> 00:00:35,234 o que parece bastante injusto porque, obviamente, ele foi o último 9 00:00:35,234 --> 00:00:37,596 embora ainda tenha contribuído muito. 10 00:00:37,596 --> 00:00:42,280 O que é que tem de especial, que tanto intrigou matemáticos do mundo inteiro? 11 00:00:42,280 --> 00:00:45,714 Em poucas palavras, está cheio de padrões e de segredos. 12 00:00:46,124 --> 00:00:49,608 Primeiro e acima de tudo, há o padrão que o gera. 13 00:00:49,608 --> 00:00:54,167 Comecem com um e imaginem um zero invisível de cada lado. 14 00:00:54,477 --> 00:00:57,812 Somem-nos aos pares, gerando a linha seguinte. 15 00:00:58,812 --> 00:01:02,146 Voltem a fazer o mesmo, uma e outra vez. 16 00:01:02,146 --> 00:01:05,784 Continuem e vão acabar com uma coisa assim, 17 00:01:05,784 --> 00:01:08,785 embora o Triângulo de Pascal continue até ao infinito. 18 00:01:09,965 --> 00:01:15,034 Cada linha corresponde ao que se chama os coeficientes de expansão binomial 19 00:01:15,034 --> 00:01:18,908 da forma (x+y) elevado a n, 20 00:01:18,908 --> 00:01:21,307 em que n é o número da linha, 21 00:01:21,307 --> 00:01:23,746 e começamos a contar a partir do zero. 22 00:01:23,746 --> 00:01:27,102 Portanto, se fizermos n=2 e expandirmos, 23 00:01:27,102 --> 00:01:31,107 temos (x^2) + 2xy + (y^2). 24 00:01:31,107 --> 00:01:34,353 Os coeficientes, ou números em frente das variáveis, 25 00:01:34,353 --> 00:01:38,397 são os mesmos que os números nessa linha do Triângulo de Pascal. 26 00:01:38,697 --> 00:01:43,066 Veremos a mesma coisa com n=3, que expande assim. 27 00:01:43,446 --> 00:01:47,693 Portanto, o triângulo é uma forma rápida e fácil de encontrar esses coeficientes. 28 00:01:48,493 --> 00:01:50,327 Mas há muito mais ainda. 29 00:01:50,327 --> 00:01:53,207 Por exemplo, somem os números em cada linha, 30 00:01:53,207 --> 00:01:56,039 e obtêm sucessivas potências de dois. 31 00:01:56,289 --> 00:02:01,221 Numa dada linha, tratem cada número como uma parte duma expansão decimal. 32 00:02:01,221 --> 00:02:07,505 Por outras palavras, a linha dois é (1x1) + (2x10) + (1x100). 33 00:02:07,835 --> 00:02:11,241 Obtemos 121, que é 11 elevado a 2. 34 00:02:12,111 --> 00:02:15,802 Vejam o que acontece, quando fazemos o mesmo na linha seis. 35 00:02:16,352 --> 00:02:21,116 Obtemos 1 771 561, 36 00:02:21,116 --> 00:02:23,556 que é 11 elevado a 6, 37 00:02:23,556 --> 00:02:25,486 e assim sucessivamente. 38 00:02:25,486 --> 00:02:28,020 Também há aplicações geométricas. 39 00:02:28,020 --> 00:02:29,921 Olhem para as diagonais. 40 00:02:29,921 --> 00:02:32,117 As duas primeiras não são muito interessantes: 41 00:02:32,117 --> 00:02:34,916 a primeira é tudo uns, a segunda, os inteiros positivos, 42 00:02:34,916 --> 00:02:37,127 também conhecidos por números naturais. 43 00:02:37,127 --> 00:02:41,193 Mas os números na diagonal seguinte, chamam-se os números triangulares 44 00:02:41,193 --> 00:02:43,639 porque, se agarrarmos nesses números, 45 00:02:43,639 --> 00:02:46,557 podemos empilhar os círculos em triângulos equiláteros. 46 00:02:46,917 --> 00:02:49,822 A diagonal seguinte tem os números tetraédricos 47 00:02:49,822 --> 00:02:54,376 porque, do mesmo modo, podemos empilhar as esferas em tetraedros. 48 00:02:54,786 --> 00:02:58,171 E agora isto: tapem todos os números ímpares. 49 00:02:58,541 --> 00:03:01,578 Não se vê grande coisa quando o triângulo é pequeno, 50 00:03:01,578 --> 00:03:03,729 mas se acrescentarmos milhares de linhas, 51 00:03:03,729 --> 00:03:07,176 obtemos um fractal, conhecido por Triângulo de Sierpinski. 52 00:03:07,866 --> 00:03:11,272 Este triângulo não é apenas uma obra de arte matemática. 53 00:03:11,272 --> 00:03:12,951 Também é muito útil, 54 00:03:12,951 --> 00:03:16,046 em especial no que se refere a probabilidades e cálculos 55 00:03:16,046 --> 00:03:18,164 no domínio da combinatória. 56 00:03:18,754 --> 00:03:21,210 Digamos que queremos ter cinco filhos, 57 00:03:21,210 --> 00:03:23,160 e gostaríamos de saber a probabilidade 58 00:03:23,160 --> 00:03:26,288 de ter uma família de sonho de três raparigas e dois rapazes. 59 00:03:27,088 --> 00:03:28,996 Na expansão binomial, 60 00:03:28,996 --> 00:03:32,570 isso corresponde a (rapariga mais rapaz) elevado à quinta potência. 61 00:03:32,570 --> 00:03:34,651 Portanto, olhemos para a linha cinco, 62 00:03:34,651 --> 00:03:37,269 em que o primeiro termo corresponde a cinco raparigas, 63 00:03:37,269 --> 00:03:40,052 e o último corresponde a cinco rapazes. 64 00:03:40,392 --> 00:03:43,332 O terceiro termo é aquele de que andamos à procura. 65 00:03:43,332 --> 00:03:46,630 A parcela 10, na soma de todas as possibilidades na linha. 66 00:03:46,630 --> 00:03:51,476 Portanto, 10 sobre 32, ou seja, 31,25%. 67 00:03:52,176 --> 00:03:55,814 Se, ao acaso, escolhermos uma equipa de basquetebol de cinco jogadores 68 00:03:55,814 --> 00:03:57,522 num grupo de doze colegas, 69 00:03:57,522 --> 00:04:00,252 quantos grupos possíveis de cinco existem? 70 00:04:00,252 --> 00:04:02,097 Em termos combinatórios, 71 00:04:02,097 --> 00:04:05,097 este problema seria descrito como "cinco escolhidos em doze" 72 00:04:05,097 --> 00:04:07,778 e podia ser calculado com esta fórmula. 73 00:04:07,778 --> 00:04:12,053 Ou podíamos olhar para o sexto elemento da linha doze do triângulo 74 00:04:12,053 --> 00:04:13,659 e obter a resposta. 75 00:04:13,659 --> 00:04:15,667 Os padrões no Triângulo de Pascal 76 00:04:15,667 --> 00:04:19,421 são um testemunho do elegante tecido entretecido da matemática. 77 00:04:19,981 --> 00:04:23,572 E ainda continuam a revelar novos segredos, hoje em dia. 78 00:04:23,572 --> 00:04:27,659 Por exemplo, os matemáticos descobriram há pouco uma forma de o expandirem 79 00:04:27,659 --> 00:04:29,998 até este tipo de polinomiais. 80 00:04:29,998 --> 00:04:31,757 O que mais descobriremos a seguir? 81 00:04:31,757 --> 00:04:34,332 Bem, isso agora é convosco.