1
00:00:07,603 --> 00:00:11,000
Isto pode parecer uma pilha 
de números bem arrumados,

2
00:00:11,000 --> 00:00:14,236
mas, na verdade,
é um rico manancial matemático.

3
00:00:14,666 --> 00:00:18,654
Os matemáticos indianos chamavam-lhe
a Escadaria do Monte Meru.

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
No Irão, é o Triângulo Khayyám.

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
E na China, é o Triângulo de Yang Hui.

6
00:00:23,928 --> 00:00:28,033
Para grande parte do mundo ocidental
é conhecido como o Triângulo de Pascal,

7
00:00:28,033 --> 00:00:31,085
do matemático francês Blaise Pascal,

8
00:00:31,085 --> 00:00:35,234
o que parece bastante injusto
porque, obviamente, ele foi o último

9
00:00:35,234 --> 00:00:37,596
embora ainda tenha contribuído muito.

10
00:00:37,596 --> 00:00:42,280
O que é que tem de especial, que tanto
intrigou matemáticos do mundo inteiro?

11
00:00:42,280 --> 00:00:45,714
Em poucas palavras, 
está cheio de padrões e de segredos.

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,608
Primeiro e acima de tudo,
há o padrão que o gera.

13
00:00:49,608 --> 00:00:54,167
Comecem com um e imaginem 
um zero invisível de cada lado.

14
00:00:54,477 --> 00:00:57,812
Somem-nos aos pares, 
gerando a linha seguinte.

15
00:00:58,812 --> 00:01:02,146
Voltem a fazer o mesmo,
uma e outra vez.

16
00:01:02,146 --> 00:01:05,784
Continuem e vão acabar
com uma coisa assim,

17
00:01:05,784 --> 00:01:08,785
embora o Triângulo de Pascal
continue até ao infinito.

18
00:01:09,965 --> 00:01:15,034
Cada linha corresponde ao que se chama
os coeficientes de expansão binomial

19
00:01:15,034 --> 00:01:18,908
da forma (x+y) elevado a n,

20
00:01:18,908 --> 00:01:21,307
em que n é o número da linha,

21
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
e começamos a contar a partir do zero.

22
00:01:23,746 --> 00:01:27,102
Portanto, se fizermos n=2 e expandirmos,

23
00:01:27,102 --> 00:01:31,107
temos (x^2) + 2xy + (y^2).

24
00:01:31,107 --> 00:01:34,353
Os coeficientes, ou números 
em frente das variáveis,

25
00:01:34,353 --> 00:01:38,397
são os mesmos que os números 
nessa linha do Triângulo de Pascal.

26
00:01:38,697 --> 00:01:43,066
Veremos a mesma coisa com n=3, 
que expande assim.

27
00:01:43,446 --> 00:01:47,693
Portanto, o triângulo é uma forma rápida
e fácil de encontrar esses coeficientes.

28
00:01:48,493 --> 00:01:50,327
Mas há muito mais ainda.

29
00:01:50,327 --> 00:01:53,207
Por exemplo,
somem os números em cada linha,

30
00:01:53,207 --> 00:01:56,039
e obtêm sucessivas potências de dois.

31
00:01:56,289 --> 00:02:01,221
Numa dada linha, tratem cada número
como uma parte duma expansão decimal.

32
00:02:01,221 --> 00:02:07,505
Por outras palavras, a linha dois é
(1x1) + (2x10) + (1x100).

33
00:02:07,835 --> 00:02:11,241
Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.

34
00:02:12,111 --> 00:02:15,802
Vejam o que acontece, 
quando fazemos o mesmo na linha seis.

35
00:02:16,352 --> 00:02:21,116
Obtemos 1 771 561,

36
00:02:21,116 --> 00:02:23,556
que é 11 elevado a 6,

37
00:02:23,556 --> 00:02:25,486
e assim sucessivamente.

38
00:02:25,486 --> 00:02:28,020
Também há aplicações geométricas.

39
00:02:28,020 --> 00:02:29,921
Olhem para as diagonais.

40
00:02:29,921 --> 00:02:32,117
As duas primeiras 
não são muito interessantes:

41
00:02:32,117 --> 00:02:34,916
a primeira é tudo uns, 
a segunda, os inteiros positivos,

42
00:02:34,916 --> 00:02:37,127
também conhecidos por números naturais.

43
00:02:37,127 --> 00:02:41,193
Mas os números na diagonal seguinte,
chamam-se os números triangulares

44
00:02:41,193 --> 00:02:43,639
porque, se agarrarmos nesses números,

45
00:02:43,639 --> 00:02:46,557
podemos empilhar os círculos
em triângulos equiláteros.

46
00:02:46,917 --> 00:02:49,822
A diagonal seguinte
tem os números tetraédricos

47
00:02:49,822 --> 00:02:54,376
porque, do mesmo modo, 
podemos empilhar as esferas em tetraedros.

48
00:02:54,786 --> 00:02:58,171
E agora isto: tapem
todos os números ímpares.

49
00:02:58,541 --> 00:03:01,578
Não se vê grande coisa 
quando o triângulo é pequeno,

50
00:03:01,578 --> 00:03:03,729
mas se acrescentarmos milhares de linhas,

51
00:03:03,729 --> 00:03:07,176
obtemos um fractal, conhecido 
por Triângulo de Sierpinski.

52
00:03:07,866 --> 00:03:11,272
Este triângulo não é apenas 
uma obra de arte matemática.

53
00:03:11,272 --> 00:03:12,951
Também é muito útil,

54
00:03:12,951 --> 00:03:16,046
em especial no que se refere
a probabilidades e cálculos

55
00:03:16,046 --> 00:03:18,164
no domínio da combinatória.

56
00:03:18,754 --> 00:03:21,210
Digamos que queremos ter cinco filhos,

57
00:03:21,210 --> 00:03:23,160
e gostaríamos de saber a probabilidade

58
00:03:23,160 --> 00:03:26,288
de ter uma família de sonho 
de três raparigas e dois rapazes.

59
00:03:27,088 --> 00:03:28,996
Na expansão binomial,

60
00:03:28,996 --> 00:03:32,570
isso corresponde a (rapariga mais rapaz)
elevado à quinta potência.

61
00:03:32,570 --> 00:03:34,651
Portanto, olhemos para a linha cinco,

62
00:03:34,651 --> 00:03:37,269
em que o primeiro termo
corresponde a cinco raparigas,

63
00:03:37,269 --> 00:03:40,052
e o último corresponde a cinco rapazes.

64
00:03:40,392 --> 00:03:43,332
O terceiro termo é aquele
de que andamos à procura.

65
00:03:43,332 --> 00:03:46,630
A parcela 10, na soma 
de todas as possibilidades na linha.

66
00:03:46,630 --> 00:03:51,476
Portanto, 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.

67
00:03:52,176 --> 00:03:55,814
Se, ao acaso, escolhermos uma equipa 
de basquetebol de cinco jogadores

68
00:03:55,814 --> 00:03:57,522
num grupo de doze colegas,

69
00:03:57,522 --> 00:04:00,252
quantos grupos possíveis de cinco existem?

70
00:04:00,252 --> 00:04:02,097
Em termos combinatórios,

71
00:04:02,097 --> 00:04:05,097
este problema seria descrito
como "cinco escolhidos em doze"

72
00:04:05,097 --> 00:04:07,778
e podia ser calculado com esta fórmula.

73
00:04:07,778 --> 00:04:12,053
Ou podíamos olhar para o sexto elemento
da linha doze do triângulo

74
00:04:12,053 --> 00:04:13,659
e obter a resposta.

75
00:04:13,659 --> 00:04:15,667
Os padrões no Triângulo de Pascal

76
00:04:15,667 --> 00:04:19,421
são um testemunho do elegante
tecido entretecido da matemática.

77
00:04:19,981 --> 00:04:23,572
E ainda continuam a revelar 
novos segredos, hoje em dia.

78
00:04:23,572 --> 00:04:27,659
Por exemplo, os matemáticos descobriram
há pouco uma forma de o expandirem

79
00:04:27,659 --> 00:04:29,998
até este tipo de polinomiais.

80
00:04:29,998 --> 00:04:31,757
O que mais descobriremos a seguir?

81
00:04:31,757 --> 00:04:34,332
Bem, isso agora é convosco.