0:00:07.603,0:00:11.000
Isto pode parecer uma pilha [br]de números bem arrumados,

0:00:11.000,0:00:14.236
mas, na verdade,[br]é um rico manancial matemático.

0:00:14.666,0:00:18.654
Os matemáticos indianos chamavam-lhe[br]a Escadaria do Monte Meru.

0:00:18.654,0:00:21.131
No Irão, é o Triângulo Khayyám.

0:00:21.131,0:00:23.738
E na China, é o Triângulo de Yang Hui.

0:00:23.928,0:00:28.033
Para grande parte do mundo ocidental[br]é conhecido como o Triângulo de Pascal,

0:00:28.033,0:00:31.085
do matemático francês Blaise Pascal,

0:00:31.085,0:00:35.234
o que parece bastante injusto[br]porque, obviamente, ele foi o último

0:00:35.234,0:00:37.596
embora ainda tenha contribuído muito.

0:00:37.596,0:00:42.280
O que é que tem de especial, que tanto[br]intrigou matemáticos do mundo inteiro?

0:00:42.280,0:00:45.714
Em poucas palavras, [br]está cheio de padrões e de segredos.

0:00:46.124,0:00:49.608
Primeiro e acima de tudo,[br]há o padrão que o gera.

0:00:49.608,0:00:54.167
Comecem com um e imaginem [br]um zero invisível de cada lado.

0:00:54.477,0:00:57.812
Somem-nos aos pares, [br]gerando a linha seguinte.

0:00:58.812,0:01:02.146
Voltem a fazer o mesmo,[br]uma e outra vez.

0:01:02.146,0:01:05.784
Continuem e vão acabar[br]com uma coisa assim,

0:01:05.784,0:01:08.785
embora o Triângulo de Pascal[br]continue até ao infinito.

0:01:09.965,0:01:15.034
Cada linha corresponde ao que se chama[br]os coeficientes de expansão binomial

0:01:15.034,0:01:18.908
da forma (x+y) elevado a n,

0:01:18.908,0:01:21.307
em que n é o número da linha,

0:01:21.307,0:01:23.746
e começamos a contar a partir do zero.

0:01:23.746,0:01:27.102
Portanto, se fizermos n=2 e expandirmos,

0:01:27.102,0:01:31.107
temos (x^2) + 2xy + (y^2).

0:01:31.107,0:01:34.353
Os coeficientes, ou números [br]em frente das variáveis,

0:01:34.353,0:01:38.397
são os mesmos que os números [br]nessa linha do Triângulo de Pascal.

0:01:38.697,0:01:43.066
Veremos a mesma coisa com n=3, [br]que expande assim.

0:01:43.446,0:01:47.693
Portanto, o triângulo é uma forma rápida[br]e fácil de encontrar esses coeficientes.

0:01:48.493,0:01:50.327
Mas há muito mais ainda.

0:01:50.327,0:01:53.207
Por exemplo,[br]somem os números em cada linha,

0:01:53.207,0:01:56.039
e obtêm sucessivas potências de dois.

0:01:56.289,0:02:01.221
Numa dada linha, tratem cada número[br]como uma parte duma expansão decimal.

0:02:01.221,0:02:07.505
Por outras palavras, a linha dois é[br](1x1) + (2x10) + (1x100).

0:02:07.835,0:02:11.241
Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.

0:02:12.111,0:02:15.802
Vejam o que acontece, [br]quando fazemos o mesmo na linha seis.

0:02:16.352,0:02:21.116
Obtemos 1 771 561,

0:02:21.116,0:02:23.556
que é 11 elevado a 6,

0:02:23.556,0:02:25.486
e assim sucessivamente.

0:02:25.486,0:02:28.020
Também há aplicações geométricas.

0:02:28.020,0:02:29.921
Olhem para as diagonais.

0:02:29.921,0:02:32.117
As duas primeiras [br]não são muito interessantes:

0:02:32.117,0:02:34.916
a primeira é tudo uns, [br]a segunda, os inteiros positivos,

0:02:34.916,0:02:37.127
também conhecidos por números naturais.

0:02:37.127,0:02:41.193
Mas os números na diagonal seguinte,[br]chamam-se os números triangulares

0:02:41.193,0:02:43.639
porque, se agarrarmos nesses números,

0:02:43.639,0:02:46.557
podemos empilhar os círculos[br]em triângulos equiláteros.

0:02:46.917,0:02:49.822
A diagonal seguinte[br]tem os números tetraédricos

0:02:49.822,0:02:54.376
porque, do mesmo modo, [br]podemos empilhar as esferas em tetraedros.

0:02:54.786,0:02:58.171
E agora isto: tapem[br]todos os números ímpares.

0:02:58.541,0:03:01.578
Não se vê grande coisa [br]quando o triângulo é pequeno,

0:03:01.578,0:03:03.729
mas se acrescentarmos milhares de linhas,

0:03:03.729,0:03:07.176
obtemos um fractal, conhecido [br]por Triângulo de Sierpinski.

0:03:07.866,0:03:11.272
Este triângulo não é apenas [br]uma obra de arte matemática.

0:03:11.272,0:03:12.951
Também é muito útil,

0:03:12.951,0:03:16.046
em especial no que se refere[br]a probabilidades e cálculos

0:03:16.046,0:03:18.164
no domínio da combinatória.

0:03:18.754,0:03:21.210
Digamos que queremos ter cinco filhos,

0:03:21.210,0:03:23.160
e gostaríamos de saber a probabilidade

0:03:23.160,0:03:26.288
de ter uma família de sonho [br]de três raparigas e dois rapazes.

0:03:27.088,0:03:28.996
Na expansão binomial,

0:03:28.996,0:03:32.570
isso corresponde a (rapariga mais rapaz)[br]elevado à quinta potência.

0:03:32.570,0:03:34.651
Portanto, olhemos para a linha cinco,

0:03:34.651,0:03:37.269
em que o primeiro termo[br]corresponde a cinco raparigas,

0:03:37.269,0:03:40.052
e o último corresponde a cinco rapazes.

0:03:40.392,0:03:43.332
O terceiro termo é aquele[br]de que andamos à procura.

0:03:43.332,0:03:46.630
A parcela 10, na soma [br]de todas as possibilidades na linha.

0:03:46.630,0:03:51.476
Portanto, 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.

0:03:52.176,0:03:55.814
Se, ao acaso, escolhermos uma equipa [br]de basquetebol de cinco jogadores

0:03:55.814,0:03:57.522
num grupo de doze colegas,

0:03:57.522,0:04:00.252
quantos grupos possíveis de cinco existem?

0:04:00.252,0:04:02.097
Em termos combinatórios,

0:04:02.097,0:04:05.097
este problema seria descrito[br]como "cinco escolhidos em doze"

0:04:05.097,0:04:07.778
e podia ser calculado com esta fórmula.

0:04:07.778,0:04:12.053
Ou podíamos olhar para o sexto elemento[br]da linha doze do triângulo

0:04:12.053,0:04:13.659
e obter a resposta.

0:04:13.659,0:04:15.667
Os padrões no Triângulo de Pascal

0:04:15.667,0:04:19.421
são um testemunho do elegante[br]tecido entretecido da matemática.

0:04:19.981,0:04:23.572
E ainda continuam a revelar [br]novos segredos, hoje em dia.

0:04:23.572,0:04:27.659
Por exemplo, os matemáticos descobriram[br]há pouco uma forma de o expandirem

0:04:27.659,0:04:29.998
até este tipo de polinomiais.

0:04:29.998,0:04:31.757
O que mais descobriremos a seguir?

0:04:31.757,0:04:34.332
Bem, isso agora é convosco.