Isto pode parecer uma pilha de números bem arrumados,
mas, na verdade, é um rico manancial matemático.
Os matemáticos indianos chamavam-lhe a Escadaria do Monte Meru.
No Irão, é o Triângulo Khayyám.
E na China, é o Triângulo de Yang Hui.
Para grande parte do mundo ocidental é conhecido como o Triângulo de Pascal,
do matemático francês Blaise Pascal,
o que parece bastante injusto porque, obviamente, ele foi o último
embora ainda tenha contribuído muito.
O que é que tem de especial, que tanto intrigou matemáticos do mundo inteiro?
Em poucas palavras, está cheio de padrões e de segredos.
Primeiro e acima de tudo, há o padrão que o gera.
Comecem com um e imaginem um zero invisível de cada lado.
Somem-nos aos pares, gerando a linha seguinte.
Voltem a fazer o mesmo, uma e outra vez.
Continuem e vão acabar com uma coisa assim,
embora o Triângulo de Pascal continue até ao infinito.
Cada linha corresponde ao que se chama os coeficientes de expansão binomial
da forma (x+y) elevado a n,
em que n é o número da linha,
e começamos a contar a partir do zero.
Portanto, se fizermos n=2 e expandirmos,
temos (x^2) + 2xy + (y^2).
Os coeficientes, ou números em frente das variáveis,
são os mesmos que os números nessa linha do Triângulo de Pascal.
Veremos a mesma coisa com n=3, que expande assim.
Portanto, o triângulo é uma forma rápida e fácil de encontrar esses coeficientes.
Mas há muito mais ainda.
Por exemplo, somem os números em cada linha,
e obtêm sucessivas potências de dois.
Numa dada linha, tratem cada número como uma parte duma expansão decimal.
Por outras palavras, a linha dois é (1x1) + (2x10) + (1x100).
Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.
Vejam o que acontece, quando fazemos o mesmo na linha seis.
Obtemos 1 771 561,
que é 11 elevado a 6,
e assim sucessivamente.
Também há aplicações geométricas.
Olhem para as diagonais.
As duas primeiras não são muito interessantes:
a primeira é tudo uns, a segunda, os inteiros positivos,
também conhecidos por números naturais.
Mas os números na diagonal seguinte, chamam-se os números triangulares
porque, se agarrarmos nesses números,
podemos empilhar os círculos em triângulos equiláteros.
A diagonal seguinte tem os números tetraédricos
porque, do mesmo modo, podemos empilhar as esferas em tetraedros.
E agora isto: tapem todos os números ímpares.
Não se vê grande coisa quando o triângulo é pequeno,
mas se acrescentarmos milhares de linhas,
obtemos um fractal, conhecido por Triângulo de Sierpinski.
Este triângulo não é apenas uma obra de arte matemática.
Também é muito útil,
em especial no que se refere a probabilidades e cálculos
no domínio da combinatória.
Digamos que queremos ter cinco filhos,
e gostaríamos de saber a probabilidade
de ter uma família de sonho de três raparigas e dois rapazes.
Na expansão binomial,
isso corresponde a (rapariga mais rapaz) elevado à quinta potência.
Portanto, olhemos para a linha cinco,
em que o primeiro termo corresponde a cinco raparigas,
e o último corresponde a cinco rapazes.
O terceiro termo é aquele de que andamos à procura.
A parcela 10, na soma de todas as possibilidades na linha.
Portanto, 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.
Se, ao acaso, escolhermos uma equipa de basquetebol de cinco jogadores
num grupo de doze colegas,
quantos grupos possíveis de cinco existem?
Em termos combinatórios,
este problema seria descrito como "cinco escolhidos em doze"
e podia ser calculado com esta fórmula.
Ou podíamos olhar para o sexto elemento da linha doze do triângulo
e obter a resposta.
Os padrões no Triângulo de Pascal
são um testemunho do elegante tecido entretecido da matemática.
E ainda continuam a revelar novos segredos, hoje em dia.
Por exemplo, os matemáticos descobriram há pouco uma forma de o expandirem
até este tipo de polinomiais.
O que mais descobriremos a seguir?
Bem, isso agora é convosco.