WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
Isto pode parecer uma pilha 
de números bem arrumados,

00:00:11.000 --> 00:00:14.236
mas, na verdade,
é um rico manancial matemático.

00:00:14.666 --> 00:00:18.654
Os matemáticos indianos chamavam-lhe
a Escadaria do Monte Meru.

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
No Irão, é o Triângulo Khayyám.

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
E na China, é o Triângulo de Yang Hui.

00:00:23.928 --> 00:00:28.033
Para grande parte do mundo ocidental
é conhecido como o Triângulo de Pascal,

00:00:28.033 --> 00:00:31.085
do matemático francês Blaise Pascal,

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
o que parece bastante injusto
porque, obviamente, ele foi o último

00:00:35.234 --> 00:00:37.596
embora ainda tenha contribuído muito.

00:00:37.596 --> 00:00:42.280
O que é que tem de especial, que tanto
intrigou matemáticos do mundo inteiro?

00:00:42.280 --> 00:00:45.714
Em poucas palavras, 
está cheio de padrões e de segredos.

00:00:46.124 --> 00:00:49.608
Primeiro e acima de tudo,
há o padrão que o gera.

00:00:49.608 --> 00:00:54.167
Comecem com um e imaginem 
um zero invisível de cada lado.

00:00:54.477 --> 00:00:57.812
Somem-nos aos pares, 
gerando a linha seguinte.

00:00:58.812 --> 00:01:02.146
Voltem a fazer o mesmo,
uma e outra vez.

00:01:02.146 --> 00:01:05.784
Continuem e vão acabar
com uma coisa assim,

00:01:05.784 --> 00:01:08.785
embora o Triângulo de Pascal
continue até ao infinito.

00:01:09.965 --> 00:01:15.034
Cada linha corresponde ao que se chama
os coeficientes de expansão binomial

00:01:15.034 --> 00:01:18.908
da forma (x+y) elevado a n,

00:01:18.908 --> 00:01:21.307
em que n é o número da linha,

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
e começamos a contar a partir do zero.

00:01:23.746 --> 00:01:27.102
Portanto, se fizermos n=2 e expandirmos,

00:01:27.102 --> 00:01:31.107
temos (x^2) + 2xy + (y^2).

00:01:31.107 --> 00:01:34.353
Os coeficientes, ou números 
em frente das variáveis,

00:01:34.353 --> 00:01:38.397
são os mesmos que os números 
nessa linha do Triângulo de Pascal.

00:01:38.697 --> 00:01:43.066
Veremos a mesma coisa com n=3, 
que expande assim.

00:01:43.446 --> 00:01:47.693
Portanto, o triângulo é uma forma rápida
e fácil de encontrar esses coeficientes.

00:01:48.493 --> 00:01:50.327
Mas há muito mais ainda.

00:01:50.327 --> 00:01:53.207
Por exemplo,
somem os números em cada linha,

00:01:53.207 --> 00:01:56.039
e obtêm sucessivas potências de dois.

00:01:56.289 --> 00:02:01.221
Numa dada linha, tratem cada número
como uma parte duma expansão decimal.

00:02:01.221 --> 00:02:07.505
Por outras palavras, a linha dois é
(1x1) + (2x10) + (1x100).

00:02:07.835 --> 00:02:11.241
Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.

00:02:12.111 --> 00:02:15.802
Vejam o que acontece, 
quando fazemos o mesmo na linha seis.

00:02:16.352 --> 00:02:21.116
Obtemos 1 771 561,

00:02:21.116 --> 00:02:23.556
que é 11 elevado a 6,

00:02:23.556 --> 00:02:25.486
e assim sucessivamente.

00:02:25.486 --> 00:02:28.020
Também há aplicações geométricas.

00:02:28.020 --> 00:02:29.921
Olhem para as diagonais.

00:02:29.921 --> 00:02:32.117
As duas primeiras 
não são muito interessantes:

00:02:32.117 --> 00:02:34.916
a primeira é tudo uns, 
a segunda, os inteiros positivos,

00:02:34.916 --> 00:02:37.127
também conhecidos por números naturais.

00:02:37.127 --> 00:02:41.193
Mas os números na diagonal seguinte,
chamam-se os números triangulares

00:02:41.193 --> 00:02:43.639
porque, se agarrarmos nesses números,

00:02:43.639 --> 00:02:46.557
podemos empilhar os círculos
em triângulos equiláteros.

00:02:46.917 --> 00:02:49.822
A diagonal seguinte
tem os números tetraédricos

00:02:49.822 --> 00:02:54.376
porque, do mesmo modo, 
podemos empilhar as esferas em tetraedros.

00:02:54.786 --> 00:02:58.171
E agora isto: tapem
todos os números ímpares.

00:02:58.541 --> 00:03:01.578
Não se vê grande coisa 
quando o triângulo é pequeno,

00:03:01.578 --> 00:03:03.729
mas se acrescentarmos milhares de linhas,

00:03:03.729 --> 00:03:07.176
obtemos um fractal, conhecido 
por Triângulo de Sierpinski.

00:03:07.866 --> 00:03:11.272
Este triângulo não é apenas 
uma obra de arte matemática.

00:03:11.272 --> 00:03:12.951
Também é muito útil,

00:03:12.951 --> 00:03:16.046
em especial no que se refere
a probabilidades e cálculos

00:03:16.046 --> 00:03:18.164
no domínio da combinatória.

00:03:18.754 --> 00:03:21.210
Digamos que queremos ter cinco filhos,

00:03:21.210 --> 00:03:23.160
e gostaríamos de saber a probabilidade

00:03:23.160 --> 00:03:26.288
de ter uma família de sonho 
de três raparigas e dois rapazes.

00:03:27.088 --> 00:03:28.996
Na expansão binomial,

00:03:28.996 --> 00:03:32.570
isso corresponde a (rapariga mais rapaz)
elevado à quinta potência.

00:03:32.570 --> 00:03:34.651
Portanto, olhemos para a linha cinco,

00:03:34.651 --> 00:03:37.269
em que o primeiro termo
corresponde a cinco raparigas,

00:03:37.269 --> 00:03:40.052
e o último corresponde a cinco rapazes.

00:03:40.392 --> 00:03:43.332
O terceiro termo é aquele
de que andamos à procura.

00:03:43.332 --> 00:03:46.630
A parcela 10, na soma 
de todas as possibilidades na linha.

00:03:46.630 --> 00:03:51.476
Portanto, 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.

00:03:52.176 --> 00:03:55.814
Se, ao acaso, escolhermos uma equipa 
de basquetebol de cinco jogadores

00:03:55.814 --> 00:03:57.522
num grupo de doze colegas,

00:03:57.522 --> 00:04:00.252
quantos grupos possíveis de cinco existem?

00:04:00.252 --> 00:04:02.097
Em termos combinatórios,

00:04:02.097 --> 00:04:05.097
este problema seria descrito
como "cinco escolhidos em doze"

00:04:05.097 --> 00:04:07.778
e podia ser calculado com esta fórmula.

00:04:07.778 --> 00:04:12.053
Ou podíamos olhar para o sexto elemento
da linha doze do triângulo

00:04:12.053 --> 00:04:13.659
e obter a resposta.

00:04:13.659 --> 00:04:15.667
Os padrões no Triângulo de Pascal

00:04:15.667 --> 00:04:19.421
são um testemunho do elegante
tecido entretecido da matemática.

00:04:19.981 --> 00:04:23.572
E ainda continuam a revelar 
novos segredos, hoje em dia.

00:04:23.572 --> 00:04:27.659
Por exemplo, os matemáticos descobriram
há pouco uma forma de o expandirem

00:04:27.659 --> 00:04:29.998
até este tipo de polinomiais.

00:04:29.998 --> 00:04:31.757
O que mais descobriremos a seguir?

00:04:31.757 --> 00:04:34.332
Bem, isso agora é convosco.