< Return to Video

Os segredos matemáticos do Triângulo de Pascal - Wajdi Mohamed Ratemi

  • 0:08 - 0:11
    Esta pode parecer
    uma pilha ordenada de números,
  • 0:11 - 0:15
    mas, na verdade,
    é um valioso tesouro matemático.
  • 0:15 - 0:19
    Os matemáticos indianos o chamavam
    de Escadaria do Monte Meru.
  • 0:19 - 0:21
    No Irã, é o Triângulo Khayyam.
  • 0:21 - 0:24
    E na China, é o Triângulo de Yang Hui.
  • 0:24 - 0:28
    Em grande parte do mundo ocidental,
    é conhecido como Triângulo de Pascal
  • 0:28 - 0:31
    devido ao matemático francês
    Blaise Pascal,
  • 0:31 - 0:35
    o que parece um pouco injusto
    visto que cuidou deste assunto bem depois,
  • 0:35 - 0:37
    mas ele ainda tinha muito
    no que contribuir.
  • 0:37 - 0:42
    Então o que tem nisso que intrigou tanto
    os matemáticos no mundo inteiro?
  • 0:42 - 0:46
    Em resumo, é cheio de padrões e segredos.
  • 0:46 - 0:49
    Antes de mais nada,
    há o padrão que o gera.
  • 0:49 - 0:54
    Comecem com um e imaginem
    zeros invisíveis de cada lado.
  • 0:54 - 0:59
    Somem os números aos pares,
    e gere a próxima fileira.
  • 0:59 - 1:02
    Então façam isso repetidas vezes.
  • 1:02 - 1:06
    Continuem e acabarão com algo assim,
  • 1:06 - 1:09
    embora o verdadeiro Triângulo de Pascal
    continue infinitamente.
  • 1:09 - 1:15
    Cada fileira corresponde ao que é chamado
    de coeficientes de uma equação binomial
  • 1:15 - 1:19
    da forma de (x+y) elevado a n,
  • 1:19 - 1:21
    onde n é o número da linha,
  • 1:21 - 1:24
    começando a contar a partir do zero.
  • 1:24 - 1:27
    Se fizermos n=2 e a desenvolvermos,
  • 1:27 - 1:31
    temos (x^2) + 2xy + (y^2).
  • 1:31 - 1:34
    Os coeficientes, ou números
    que antecedem as variáveis,
  • 1:34 - 1:38
    são os mesmos números
    daquela linha do triângulo.
  • 1:38 - 1:43
    A mesma coisa vai acontecer para n=3,
    que se desenvolve assim.
  • 1:43 - 1:48
    O triângulo é uma forma rápida e fácil
    para checar todos esses coeficientes.
  • 1:48 - 1:50
    Porém há muito mais.
  • 1:50 - 1:53
    Por exemplo, somem
    os números em cada fileira,
  • 1:53 - 1:56
    e serão formadas
    potências de dois consecutivas.
  • 1:56 - 1:57
    Ou em uma dada fileira,
  • 1:57 - 2:01
    considere cada número como parte
    de uma expansão decimal.
  • 2:01 - 2:08
    Em outras palavras, a linha dois é
    (1x1) + (2x10) + (1x100).
  • 2:08 - 2:12
    Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.
  • 2:12 - 2:16
    E veja o que acontece quando
    fazemos a mesma coisa com a linha seis.
  • 2:16 - 2:23
    Obtemos 1.771.561, que é 11 elevado a 6,
  • 2:23 - 2:25
    e assim por diante.
  • 2:25 - 2:28
    Também há aplicações geométricas.
  • 2:28 - 2:29
    Olhem para as diagonais.
  • 2:29 - 2:32
    As duas primeiras
    não são muito interessantes:
  • 2:32 - 2:37
    todos uns, e depois inteiros positivos,
    também conhecidos como números naturais.
  • 2:37 - 2:41
    Mas os números da diagonal seguinte
    são chamados de números triangulares
  • 2:41 - 2:43
    porque se pegarmos
    todos esses números,
  • 2:43 - 2:46
    podemos agrupá-los
    em triângulos equiláteros.
  • 2:46 - 2:49
    A próxima diagonal
    é formada por números tetraédricos
  • 2:49 - 2:55
    pois, analogamente,
    podemos agrupá-los em tetraedros.
  • 2:55 - 2:58
    E o que acham disto?
    Ocultem todos os números ímpares.
  • 2:58 - 3:01
    Não é grande coisa
    já que o triângulo é pequeno,
  • 3:01 - 3:03
    mas se acrescentarmos milhares de linhas,
  • 3:03 - 3:07
    obtemos um fractal,
    conhecido por Triângulo de Sierpinski.
  • 3:07 - 3:11
    Esse triângulo não é apenas
    uma obra de arte matemática.
  • 3:11 - 3:13
    Também é bastante útil,
  • 3:13 - 3:15
    especialmente quando se trata
    de probabilidade e cálculos
  • 3:15 - 3:18
    no domínio da análise combinatória.
  • 3:18 - 3:20
    Digamos que queremos ter cinco filhos,
  • 3:20 - 3:22
    e desejamos saber a probabilidade
  • 3:22 - 3:27
    de ter a família dos sonhos
    com três meninas e dois meninos.
  • 3:27 - 3:28
    Na expressão binomial,
  • 3:28 - 3:32
    isso corresponde a (menina + menino)
    elevado a quinta potência.
  • 3:32 - 3:34
    Portando, olhemos para a fileira cinco,
  • 3:34 - 3:37
    onde o primeiro número
    corresponde a cinco meninas,
  • 3:37 - 3:40
    e o último a cinco meninos.
  • 3:40 - 3:43
    O terceiro número
    é o que estamos procurando.
  • 3:43 - 3:47
    Dez do total da soma de todas
    as possibilidades na linha.
  • 3:47 - 3:51
    Portanto 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.
  • 3:51 - 3:55
    Se, ao acaso, estivermos escolhendo
    times de basquete de cinco jogadores
  • 3:55 - 3:57
    de um grupo de 20 amigos,
  • 3:57 - 4:00
    quantos times de cinco é possível formar?
  • 4:00 - 4:03
    Em análise combinatória,
    esse problema seria descrito
  • 4:03 - 4:05
    como cinco escolhidos em doze,
  • 4:05 - 4:07
    e poderia ser calculado com esta fórmula,
  • 4:07 - 4:10
    ou poderíamos simplesmente olhar
    para o sexto elemento
  • 4:10 - 4:13
    da linha 12 do triângulo,
    e obter a resposta.
  • 4:13 - 4:15
    Os padrões no Triângulo de Pascal
  • 4:15 - 4:19
    constituem uma evidência elegante
    do intrincado tecido da matemática.
  • 4:19 - 4:23
    Até hoje ainda revela novos segredos.
  • 4:23 - 4:27
    Por exemplo, os matemáticos recentemente
    descobriram uma forma de os expandirem
  • 4:27 - 4:30
    para estes tipos de polinômios.
  • 4:30 - 4:32
    O que podemos encontrar em seguida?
  • 4:32 - 4:34
    Bem, isso é com vocês.
Title:
Os segredos matemáticos do Triângulo de Pascal - Wajdi Mohamed Ratemi
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

Veja a lição completa: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

O Triângulo de Pascal, que a primeira vista pode parecer só uma pilha ordenada de números, é na verdade, um valioso tesouro matemático. Mas o que tem nisso que intrigou tanto os matemáticos no mundo inteiro? Wajdi Mohamed Ratemi mostra como o Triângulo de Pascal é cheio de padrões e segredos.

Licão de Wajdi Mohamed Ratemi, animação de Henrik Malmgren.

more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

Portuguese, Brazilian subtitles

Revisions