1
00:00:07,603 --> 00:00:11,000
Esta pode parecer 
uma pilha ordenada de números,

2
00:00:11,000 --> 00:00:14,506
mas, na verdade,
é um valioso tesouro matemático.

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,654
Os matemáticos indianos o chamavam
de Escadaria do Monte Meru.

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
No Irã, é o Triângulo Khayyam.

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
E na China, é o Triângulo de Yang Hui.

6
00:00:23,738 --> 00:00:27,933
Em grande parte do mundo ocidental,
é conhecido como Triângulo de Pascal

7
00:00:27,933 --> 00:00:30,925
devido ao matemático francês 
Blaise Pascal,

8
00:00:30,925 --> 00:00:35,144
o que parece um pouco injusto 
visto que cuidou deste assunto bem depois,

9
00:00:35,144 --> 00:00:37,356
mas ele ainda tinha muito 
no que contribuir.

10
00:00:37,356 --> 00:00:42,270
Então o que tem nisso que intrigou tanto
os matemáticos no mundo inteiro?

11
00:00:42,270 --> 00:00:46,124
Em resumo, é cheio de padrões e segredos.

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,428
Antes de mais nada, 
há o padrão que o gera.

13
00:00:49,428 --> 00:00:54,477
Comecem com um e imaginem
zeros invisíveis de cada lado.

14
00:00:54,477 --> 00:00:58,592
Somem os números aos pares,
e gere a próxima fileira.

15
00:00:58,592 --> 00:01:02,066
Então façam isso repetidas vezes.

16
00:01:02,066 --> 00:01:05,714
Continuem e acabarão com algo assim,

17
00:01:05,714 --> 00:01:09,325
embora o verdadeiro Triângulo de Pascal
continue infinitamente.

18
00:01:09,325 --> 00:01:14,914
Cada fileira corresponde ao que é chamado 
de coeficientes de uma equação binomial

19
00:01:14,914 --> 00:01:18,898
da forma de (x+y) elevado a n,

20
00:01:18,898 --> 00:01:21,307
onde n é o número da linha,

21
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
começando a contar a partir do zero.

22
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
Se fizermos n=2 e a desenvolvermos,

23
00:01:26,552 --> 00:01:31,107
temos (x^2) + 2xy + (y^2).

24
00:01:31,107 --> 00:01:34,023
Os coeficientes, ou números 
que antecedem as variáveis,

25
00:01:34,023 --> 00:01:38,397
são os mesmos números 
daquela linha do triângulo.

26
00:01:38,397 --> 00:01:43,256
A mesma coisa vai acontecer para n=3,
que se desenvolve assim.

27
00:01:43,256 --> 00:01:48,493
O triângulo é uma forma rápida e fácil
para checar todos esses coeficientes.

28
00:01:48,493 --> 00:01:50,037
Porém há muito mais.

29
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
Por exemplo, somem
os números em cada fileira,

30
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
e serão formadas
potências de dois consecutivas.

31
00:01:56,039 --> 00:01:57,451
Ou em uma dada fileira,

32
00:01:57,451 --> 00:02:00,871
considere cada número como parte
de uma expansão decimal.

33
00:02:00,871 --> 00:02:07,835
Em outras palavras, a linha dois é
(1x1) + (2x10) + (1x100).

34
00:02:07,835 --> 00:02:12,111
Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.

35
00:02:12,111 --> 00:02:15,872
E veja o que acontece quando 
fazemos a mesma coisa com a linha seis.

36
00:02:15,872 --> 00:02:23,496
Obtemos 1.771.561, que é 11 elevado a 6,

37
00:02:23,496 --> 00:02:25,136
e assim por diante.

38
00:02:25,136 --> 00:02:27,890
Também há aplicações geométricas.

39
00:02:27,890 --> 00:02:29,441
Olhem para as diagonais.

40
00:02:29,441 --> 00:02:31,667
As duas primeiras 
não são muito interessantes:

41
00:02:31,667 --> 00:02:36,657
todos uns, e depois inteiros positivos,
também conhecidos como números naturais.

42
00:02:36,657 --> 00:02:40,707
Mas os números da diagonal seguinte
são chamados de números triangulares

43
00:02:40,707 --> 00:02:42,783
porque se pegarmos 
todos esses números,

44
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
podemos agrupá-los
em triângulos equiláteros.

45
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
A próxima diagonal
é formada por números tetraédricos

46
00:02:49,307 --> 00:02:54,592
pois, analogamente, 
podemos agrupá-los em tetraedros.

47
00:02:54,592 --> 00:02:57,996
E o que acham disto?
Ocultem todos os números ímpares.

48
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
Não é grande coisa
já que o triângulo é pequeno,

49
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
mas se acrescentarmos milhares de linhas,

50
00:03:03,298 --> 00:03:07,439
obtemos um fractal,
conhecido por Triângulo de Sierpinski.

51
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
Esse triângulo não é apenas
uma obra de arte matemática.

52
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
Também é bastante útil,

53
00:03:12,742 --> 00:03:15,481
especialmente quando se trata
de probabilidade e cálculos

54
00:03:15,481 --> 00:03:18,496
no domínio da análise combinatória.

55
00:03:18,496 --> 00:03:20,364
Digamos que queremos ter cinco filhos,


56
00:03:20,364 --> 00:03:22,340
e desejamos saber a probabilidade

57
00:03:22,340 --> 00:03:26,590
de ter a família dos sonhos 
com três meninas e dois meninos.

58
00:03:26,590 --> 00:03:28,388
Na expressão binomial,

59
00:03:28,388 --> 00:03:32,116
isso corresponde a (menina + menino)
elevado a quinta potência.

60
00:03:32,116 --> 00:03:34,020
Portando, olhemos para a fileira cinco,

61
00:03:34,020 --> 00:03:37,131
onde o primeiro número 
corresponde a cinco meninas,

62
00:03:37,131 --> 00:03:39,929
e o último a cinco meninos.

63
00:03:39,929 --> 00:03:42,692
O terceiro número 
é o que estamos procurando.

64
00:03:42,692 --> 00:03:46,642
Dez do total da soma de todas 
as possibilidades na linha.

65
00:03:46,642 --> 00:03:51,490
Portanto 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.

66
00:03:51,490 --> 00:03:55,316
Se, ao acaso, estivermos escolhendo 
times de basquete de cinco jogadores

67
00:03:55,316 --> 00:03:57,084
de um grupo de 20 amigos,

68
00:03:57,084 --> 00:04:00,102
quantos times de cinco é possível formar?

69
00:04:00,102 --> 00:04:02,792
Em análise combinatória, 
esse problema seria descrito

70
00:04:02,792 --> 00:04:05,062
como cinco escolhidos em doze,

71
00:04:05,062 --> 00:04:07,217
e poderia ser calculado com esta fórmula,

72
00:04:07,217 --> 00:04:09,818
ou poderíamos simplesmente olhar 
para o sexto elemento

73
00:04:09,818 --> 00:04:13,103
da linha 12 do triângulo, 
e obter a resposta.

74
00:04:13,103 --> 00:04:15,079
Os padrões no Triângulo de Pascal

75
00:04:15,079 --> 00:04:19,387
constituem uma evidência elegante
do intrincado tecido da matemática.

76
00:04:19,387 --> 00:04:23,271
Até hoje ainda revela novos segredos.

77
00:04:23,271 --> 00:04:27,422
Por exemplo, os matemáticos recentemente
descobriram uma forma de os expandirem

78
00:04:27,422 --> 00:04:30,019
para estes tipos de polinômios.

79
00:04:30,019 --> 00:04:31,758
O que podemos encontrar em seguida?

80
00:04:31,758 --> 00:04:34,097
Bem, isso é com vocês.