WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
Esta pode parecer 
uma pilha ordenada de números,

00:00:11.000 --> 00:00:14.506
mas, na verdade,
é um valioso tesouro matemático.

00:00:14.506 --> 00:00:18.654
Os matemáticos indianos o chamavam
de Escadaria do Monte Meru.

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
No Irã, é o Triângulo Khayyam.

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
E na China, é o Triângulo de Yang Hui.

00:00:23.738 --> 00:00:27.933
Em grande parte do mundo ocidental,
é conhecido como Triângulo de Pascal

00:00:27.933 --> 00:00:30.925
devido ao matemático francês 
Blaise Pascal,

00:00:30.925 --> 00:00:35.144
o que parece um pouco injusto 
visto que cuidou deste assunto bem depois,

00:00:35.144 --> 00:00:37.356
mas ele ainda tinha muito 
no que contribuir.

00:00:37.356 --> 00:00:42.270
Então o que tem nisso que intrigou tanto
os matemáticos no mundo inteiro?

00:00:42.270 --> 00:00:46.124
Em resumo, é cheio de padrões e segredos.

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
Antes de mais nada, 
há o padrão que o gera.

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
Comecem com um e imaginem
zeros invisíveis de cada lado.

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
Somem os números aos pares,
e gere a próxima fileira.

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
Então façam isso repetidas vezes.

00:01:02.066 --> 00:01:05.714
Continuem e acabarão com algo assim,

00:01:05.714 --> 00:01:09.325
embora o verdadeiro Triângulo de Pascal
continue infinitamente.

00:01:09.325 --> 00:01:14.914
Cada fileira corresponde ao que é chamado 
de coeficientes de uma equação binomial

00:01:14.914 --> 00:01:18.898
da forma de (x+y) elevado a n,

00:01:18.898 --> 00:01:21.307
onde n é o número da linha,

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
começando a contar a partir do zero.

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
Se fizermos n=2 e a desenvolvermos,

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
temos (x^2) + 2xy + (y^2).

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
Os coeficientes, ou números 
que antecedem as variáveis,

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
são os mesmos números 
daquela linha do triângulo.

00:01:38.397 --> 00:01:43.256
A mesma coisa vai acontecer para n=3,
que se desenvolve assim.

00:01:43.256 --> 00:01:48.493
O triângulo é uma forma rápida e fácil
para checar todos esses coeficientes.

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
Porém há muito mais.

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
Por exemplo, somem
os números em cada fileira,

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
e serão formadas
potências de dois consecutivas.

00:01:56.039 --> 00:01:57.451
Ou em uma dada fileira,

00:01:57.451 --> 00:02:00.871
considere cada número como parte
de uma expansão decimal.

00:02:00.871 --> 00:02:07.835
Em outras palavras, a linha dois é
(1x1) + (2x10) + (1x100).

00:02:07.835 --> 00:02:12.111
Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
E veja o que acontece quando 
fazemos a mesma coisa com a linha seis.

00:02:15.872 --> 00:02:23.496
Obtemos 1.771.561, que é 11 elevado a 6,

00:02:23.496 --> 00:02:25.136
e assim por diante.

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
Também há aplicações geométricas.

00:02:27.890 --> 00:02:29.441
Olhem para as diagonais.

00:02:29.441 --> 00:02:31.667
As duas primeiras 
não são muito interessantes:

00:02:31.667 --> 00:02:36.657
todos uns, e depois inteiros positivos,
também conhecidos como números naturais.

00:02:36.657 --> 00:02:40.707
Mas os números da diagonal seguinte
são chamados de números triangulares

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
porque se pegarmos 
todos esses números,

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
podemos agrupá-los
em triângulos equiláteros.

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
A próxima diagonal
é formada por números tetraédricos

00:02:49.307 --> 00:02:54.592
pois, analogamente, 
podemos agrupá-los em tetraedros.

00:02:54.592 --> 00:02:57.996
E o que acham disto?
Ocultem todos os números ímpares.

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
Não é grande coisa
já que o triângulo é pequeno,

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
mas se acrescentarmos milhares de linhas,

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
obtemos um fractal,
conhecido por Triângulo de Sierpinski.

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
Esse triângulo não é apenas
uma obra de arte matemática.

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
Também é bastante útil,

00:03:12.742 --> 00:03:15.481
especialmente quando se trata
de probabilidade e cálculos

00:03:15.481 --> 00:03:18.496
no domínio da análise combinatória.

00:03:18.496 --> 00:03:20.364
Digamos que queremos ter cinco filhos,


00:03:20.364 --> 00:03:22.340
e desejamos saber a probabilidade

00:03:22.340 --> 00:03:26.590
de ter a família dos sonhos 
com três meninas e dois meninos.

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
Na expressão binomial,

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
isso corresponde a (menina + menino)
elevado a quinta potência.

00:03:32.116 --> 00:03:34.020
Portando, olhemos para a fileira cinco,

00:03:34.020 --> 00:03:37.131
onde o primeiro número 
corresponde a cinco meninas,

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
e o último a cinco meninos.

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
O terceiro número 
é o que estamos procurando.

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
Dez do total da soma de todas 
as possibilidades na linha.

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
Portanto 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
Se, ao acaso, estivermos escolhendo 
times de basquete de cinco jogadores

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
de um grupo de 20 amigos,

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
quantos times de cinco é possível formar?

00:04:00.102 --> 00:04:02.792
Em análise combinatória, 
esse problema seria descrito

00:04:02.792 --> 00:04:05.062
como cinco escolhidos em doze,

00:04:05.062 --> 00:04:07.217
e poderia ser calculado com esta fórmula,

00:04:07.217 --> 00:04:09.818
ou poderíamos simplesmente olhar 
para o sexto elemento

00:04:09.818 --> 00:04:13.103
da linha 12 do triângulo, 
e obter a resposta.

00:04:13.103 --> 00:04:15.079
Os padrões no Triângulo de Pascal

00:04:15.079 --> 00:04:19.387
constituem uma evidência elegante
do intrincado tecido da matemática.

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
Até hoje ainda revela novos segredos.

00:04:23.271 --> 00:04:27.422
Por exemplo, os matemáticos recentemente
descobriram uma forma de os expandirem

00:04:27.422 --> 00:04:30.019
para estes tipos de polinômios.

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
O que podemos encontrar em seguida?

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
Bem, isso é com vocês.