Esta pode parecer uma pilha ordenada de números,
mas, na verdade, é um valioso tesouro matemático.
Os matemáticos indianos o chamavam de Escadaria do Monte Meru.
No Irã, é o Triângulo Khayyam.
E na China, é o Triângulo de Yang Hui.
Em grande parte do mundo ocidental, é conhecido como Triângulo de Pascal
devido ao matemático francês Blaise Pascal,
o que parece um pouco injusto visto que cuidou deste assunto bem depois,
mas ele ainda tinha muito no que contribuir.
Então o que tem nisso que intrigou tanto os matemáticos no mundo inteiro?
Em resumo, é cheio de padrões e segredos.
Antes de mais nada, há o padrão que o gera.
Comecem com um e imaginem zeros invisíveis de cada lado.
Somem os números aos pares, e gere a próxima fileira.
Então façam isso repetidas vezes.
Continuem e acabarão com algo assim,
embora o verdadeiro Triângulo de Pascal continue infinitamente.
Cada fileira corresponde ao que é chamado de coeficientes de uma equação binomial
da forma de (x+y) elevado a n,
onde n é o número da linha,
começando a contar a partir do zero.
Se fizermos n=2 e a desenvolvermos,
temos (x^2) + 2xy + (y^2).
Os coeficientes, ou números que antecedem as variáveis,
são os mesmos números daquela linha do triângulo.
A mesma coisa vai acontecer para n=3, que se desenvolve assim.
O triângulo é uma forma rápida e fácil para checar todos esses coeficientes.
Porém há muito mais.
Por exemplo, somem os números em cada fileira,
e serão formadas potências de dois consecutivas.
Ou em uma dada fileira,
considere cada número como parte de uma expansão decimal.
Em outras palavras, a linha dois é (1x1) + (2x10) + (1x100).
Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.
E veja o que acontece quando fazemos a mesma coisa com a linha seis.
Obtemos 1.771.561, que é 11 elevado a 6,
e assim por diante.
Também há aplicações geométricas.
Olhem para as diagonais.
As duas primeiras não são muito interessantes:
todos uns, e depois inteiros positivos, também conhecidos como números naturais.
Mas os números da diagonal seguinte são chamados de números triangulares
porque se pegarmos todos esses números,
podemos agrupá-los em triângulos equiláteros.
A próxima diagonal é formada por números tetraédricos
pois, analogamente, podemos agrupá-los em tetraedros.
E o que acham disto? Ocultem todos os números ímpares.
Não é grande coisa já que o triângulo é pequeno,
mas se acrescentarmos milhares de linhas,
obtemos um fractal, conhecido por Triângulo de Sierpinski.
Esse triângulo não é apenas uma obra de arte matemática.
Também é bastante útil,
especialmente quando se trata de probabilidade e cálculos
no domínio da análise combinatória.
Digamos que queremos ter cinco filhos,
e desejamos saber a probabilidade
de ter a família dos sonhos com três meninas e dois meninos.
Na expressão binomial,
isso corresponde a (menina + menino) elevado a quinta potência.
Portando, olhemos para a fileira cinco,
onde o primeiro número corresponde a cinco meninas,
e o último a cinco meninos.
O terceiro número é o que estamos procurando.
Dez do total da soma de todas as possibilidades na linha.
Portanto 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.
Se, ao acaso, estivermos escolhendo times de basquete de cinco jogadores
de um grupo de 20 amigos,
quantos times de cinco é possível formar?
Em análise combinatória, esse problema seria descrito
como cinco escolhidos em doze,
e poderia ser calculado com esta fórmula,
ou poderíamos simplesmente olhar para o sexto elemento
da linha 12 do triângulo, e obter a resposta.
Os padrões no Triângulo de Pascal
constituem uma evidência elegante do intrincado tecido da matemática.
Até hoje ainda revela novos segredos.
Por exemplo, os matemáticos recentemente descobriram uma forma de os expandirem
para estes tipos de polinômios.
O que podemos encontrar em seguida?
Bem, isso é com vocês.