0:00:07.603,0:00:11.000
Esta pode parecer [br]uma pilha ordenada de números,

0:00:11.000,0:00:14.506
mas, na verdade,[br]é um valioso tesouro matemático.

0:00:14.506,0:00:18.654
Os matemáticos indianos o chamavam[br]de Escadaria do Monte Meru.

0:00:18.654,0:00:21.131
No Irã, é o Triângulo Khayyam.

0:00:21.131,0:00:23.738
E na China, é o Triângulo de Yang Hui.

0:00:23.738,0:00:27.933
Em grande parte do mundo ocidental,[br]é conhecido como Triângulo de Pascal

0:00:27.933,0:00:30.925
devido ao matemático francês [br]Blaise Pascal,

0:00:30.925,0:00:35.144
o que parece um pouco injusto [br]visto que cuidou deste assunto bem depois,

0:00:35.144,0:00:37.356
mas ele ainda tinha muito [br]no que contribuir.

0:00:37.356,0:00:42.270
Então o que tem nisso que intrigou tanto[br]os matemáticos no mundo inteiro?

0:00:42.270,0:00:46.124
Em resumo, é cheio de padrões e segredos.

0:00:46.124,0:00:49.428
Antes de mais nada, [br]há o padrão que o gera.

0:00:49.428,0:00:54.477
Comecem com um e imaginem[br]zeros invisíveis de cada lado.

0:00:54.477,0:00:58.592
Somem os números aos pares,[br]e gere a próxima fileira.

0:00:58.592,0:01:02.066
Então façam isso repetidas vezes.

0:01:02.066,0:01:05.714
Continuem e acabarão com algo assim,

0:01:05.714,0:01:09.325
embora o verdadeiro Triângulo de Pascal[br]continue infinitamente.

0:01:09.325,0:01:14.914
Cada fileira corresponde ao que é chamado [br]de coeficientes de uma equação binomial

0:01:14.914,0:01:18.898
da forma de (x+y) elevado a n,

0:01:18.898,0:01:21.307
onde n é o número da linha,

0:01:21.307,0:01:23.746
começando a contar a partir do zero.

0:01:23.746,0:01:26.552
Se fizermos n=2 e a desenvolvermos,

0:01:26.552,0:01:31.107
temos (x^2) + 2xy + (y^2).

0:01:31.107,0:01:34.023
Os coeficientes, ou números [br]que antecedem as variáveis,

0:01:34.023,0:01:38.397
são os mesmos números [br]daquela linha do triângulo.

0:01:38.397,0:01:43.256
A mesma coisa vai acontecer para n=3,[br]que se desenvolve assim.

0:01:43.256,0:01:48.493
O triângulo é uma forma rápida e fácil[br]para checar todos esses coeficientes.

0:01:48.493,0:01:50.037
Porém há muito mais.

0:01:50.037,0:01:52.897
Por exemplo, somem[br]os números em cada fileira,

0:01:52.897,0:01:56.039
e serão formadas[br]potências de dois consecutivas.

0:01:56.039,0:01:57.451
Ou em uma dada fileira,

0:01:57.451,0:02:00.871
considere cada número como parte[br]de uma expansão decimal.

0:02:00.871,0:02:07.835
Em outras palavras, a linha dois é[br](1x1) + (2x10) + (1x100).

0:02:07.835,0:02:12.111
Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.

0:02:12.111,0:02:15.872
E veja o que acontece quando [br]fazemos a mesma coisa com a linha seis.

0:02:15.872,0:02:23.496
Obtemos 1.771.561, que é 11 elevado a 6,

0:02:23.496,0:02:25.136
e assim por diante.

0:02:25.136,0:02:27.890
Também há aplicações geométricas.

0:02:27.890,0:02:29.441
Olhem para as diagonais.

0:02:29.441,0:02:31.667
As duas primeiras [br]não são muito interessantes:

0:02:31.667,0:02:36.657
todos uns, e depois inteiros positivos,[br]também conhecidos como números naturais.

0:02:36.657,0:02:40.707
Mas os números da diagonal seguinte[br]são chamados de números triangulares

0:02:40.707,0:02:42.783
porque se pegarmos [br]todos esses números,

0:02:42.783,0:02:46.389
podemos agrupá-los[br]em triângulos equiláteros.

0:02:46.389,0:02:49.307
A próxima diagonal[br]é formada por números tetraédricos

0:02:49.307,0:02:54.592
pois, analogamente, [br]podemos agrupá-los em tetraedros.

0:02:54.592,0:02:57.996
E o que acham disto?[br]Ocultem todos os números ímpares.

0:02:57.996,0:03:00.881
Não é grande coisa[br]já que o triângulo é pequeno,

0:03:00.881,0:03:03.298
mas se acrescentarmos milhares de linhas,

0:03:03.298,0:03:07.439
obtemos um fractal,[br]conhecido por Triângulo de Sierpinski.

0:03:07.439,0:03:10.756
Esse triângulo não é apenas[br]uma obra de arte matemática.

0:03:10.756,0:03:12.742
Também é bastante útil,

0:03:12.742,0:03:15.481
especialmente quando se trata[br]de probabilidade e cálculos

0:03:15.481,0:03:18.496
no domínio da análise combinatória.

0:03:18.496,0:03:20.364
Digamos que queremos ter cinco filhos,[br]

0:03:20.364,0:03:22.340
e desejamos saber a probabilidade

0:03:22.340,0:03:26.590
de ter a família dos sonhos [br]com três meninas e dois meninos.

0:03:26.590,0:03:28.388
Na expressão binomial,

0:03:28.388,0:03:32.116
isso corresponde a (menina + menino)[br]elevado a quinta potência.

0:03:32.116,0:03:34.020
Portando, olhemos para a fileira cinco,

0:03:34.020,0:03:37.131
onde o primeiro número [br]corresponde a cinco meninas,

0:03:37.131,0:03:39.929
e o último a cinco meninos.

0:03:39.929,0:03:42.692
O terceiro número [br]é o que estamos procurando.

0:03:42.692,0:03:46.642
Dez do total da soma de todas [br]as possibilidades na linha.

0:03:46.642,0:03:51.490
Portanto 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.

0:03:51.490,0:03:55.316
Se, ao acaso, estivermos escolhendo [br]times de basquete de cinco jogadores

0:03:55.316,0:03:57.084
de um grupo de 20 amigos,

0:03:57.084,0:04:00.102
quantos times de cinco é possível formar?

0:04:00.102,0:04:02.792
Em análise combinatória, [br]esse problema seria descrito

0:04:02.792,0:04:05.062
como cinco escolhidos em doze,

0:04:05.062,0:04:07.217
e poderia ser calculado com esta fórmula,

0:04:07.217,0:04:09.818
ou poderíamos simplesmente olhar [br]para o sexto elemento

0:04:09.818,0:04:13.103
da linha 12 do triângulo, [br]e obter a resposta.

0:04:13.103,0:04:15.079
Os padrões no Triângulo de Pascal

0:04:15.079,0:04:19.387
constituem uma evidência elegante[br]do intrincado tecido da matemática.

0:04:19.387,0:04:23.271
Até hoje ainda revela novos segredos.

0:04:23.271,0:04:27.422
Por exemplo, os matemáticos recentemente[br]descobriram uma forma de os expandirem

0:04:27.422,0:04:30.019
para estes tipos de polinômios.

0:04:30.019,0:04:31.758
O que podemos encontrar em seguida?

0:04:31.758,0:04:34.097
Bem, isso é com vocês.