< Return to Video

Matematyczne tajniki trójkąta Pascala - Wajdi Mohamed Ratemi

  • 0:07 - 0:10
    Może to i wygląda
    na ładnie poukładany stos cyferek,
  • 0:10 - 0:14
    ale dla matematyka to stos skarbów.
  • 0:14 - 0:18
    Matematycy indyjscy
    zwali go "schodami na górę Meru".
  • 0:18 - 0:22
    Irańscy "trójkątem Chajjama".
  • 0:22 - 0:25
    W Chinach użyczył mu imienia Yang Hui.
  • 0:25 - 0:28
    Świat zachodni
    zna go jako trójkąt Pascala,
  • 0:28 - 0:31
    od nazwiska francuskiego
    matematyka Błażeja Pascala,
  • 0:31 - 0:35
    co wydaje się ciut nieuczciwe,
    skoro Pascal żył dużo później, niż tamci.
  • 0:35 - 0:37
    Sporo za to odkrył.
  • 0:37 - 0:42
    Co takiego fascynuje w trójkącie
    matematyków na całym świecie?
  • 0:42 - 0:45
    Pełno w nim wzorów i tajemnic.
  • 0:45 - 0:49
    Po pierwsze - wzór, który go wytwarza.
  • 0:49 - 0:54
    Zacznij od jedynki
    z zerami po obu stronach.
  • 0:54 - 0:58
    Dodaj cyfry parami - powstanie drugi rząd.
  • 0:58 - 1:02
    Powtórz tę operację. I jeszcze raz.
  • 1:02 - 1:05
    Po kilku powtórzeniach
    otrzymasz coś takiego,
  • 1:05 - 1:09
    chociaż w zasadzie trójkąt Pascala
    ciągnie się w nieskończoność.
  • 1:09 - 1:15
    Każdy jego rząd zawiera
    tak zwane współczynniki dwumianu Newtona
  • 1:15 - 1:18
    czyli (x+y)^n,
  • 1:18 - 1:21
    gdzie n to numer rzędu,
  • 1:21 - 1:23
    liczony od zera.
  • 1:23 - 1:26
    Więc jeśli weźmiemy n = 2
    i rozpiszemy wzór,
  • 1:26 - 1:30
    wyjdzie (x^2) + 2xy + (y^2).
  • 1:30 - 1:34
    Współczynniki,
    czyli liczby przy zmiennych,
  • 1:34 - 1:38
    odpowiadają liczbom
    w n-tym rzędzie trójkąta Pascala.
  • 1:38 - 1:43
    Przy n =3 wzór rozwija się tak.
  • 1:43 - 1:48
    Dzięki trójkątowi można
    łatwo i szybko sprawdzić współczynniki.
  • 1:48 - 1:50
    Ale to dopiero początek.
  • 1:50 - 1:53
    Spróbuj na przykład zsumować
    liczby w jednym rzędzie,
  • 1:53 - 1:56
    a otrzymasz odpowiednią potęgę dwójki.
  • 1:56 - 2:01
    Albo potraktuj każdą liczbę
    jako cyfrę w rozwinięciu dziesiętnym.
  • 2:01 - 2:07
    Czyli w drugim rzędzie:
    (1x1) + (2x10) + (1x100).
  • 2:07 - 2:12
    To wynosi 121, czyli 11^2.
  • 2:12 - 2:16
    Spójrz, co będzie,
    kiedy zrobisz to samo z rzędem szóstym.
  • 2:16 - 2:25
    Po przeliczeniu wychodzi
    1,771,561, tj. 11^6, i tak dalej.
  • 2:25 - 2:28
    Są też zastosowania w geometrii.
  • 2:28 - 2:29
    Spójrz na rzędy po bokach.
  • 2:29 - 2:34
    Dwa pierwsze są nieciekawe:
    jedynki, potem całkowite liczby dodatnie,
  • 2:34 - 2:37
    czyli liczby naturalne.
  • 2:37 - 2:41
    Ale następny rząd
    zawiera liczby trójkątne:
  • 2:41 - 2:43
    kiedy weźmiesz tyle kropek,
  • 2:43 - 2:46
    możesz je ułożyć w trójkąt równoboczny.
  • 2:46 - 2:49
    W następnym rzędzie są liczby piramidalne,
  • 2:49 - 2:54
    czyli ilość kul, z których
    można ułożyć czworościan.
  • 2:54 - 2:58
    Teraz zaciemnij
    wszystkie liczby nieparzyste.
  • 2:58 - 3:01
    Na małym trójkącie
    nie wygląda to ciekawie,
  • 3:01 - 3:03
    ale kiedy wypełnisz tysiące rzędów,
  • 3:03 - 3:07
    zobaczysz fraktal - trójkąt Sierpińskiego.
  • 3:07 - 3:11
    Trójkąt jest nie tylko
    matematycznym dziełem sztuki,
  • 3:11 - 3:13
    ale też użytecznym narzędziem
  • 3:13 - 3:15
    szczególnie przy obliczeniach
    prawdopodobieństwa i tych,
  • 3:15 - 3:18
    które należą do dziedziny kombinatoryki.
  • 3:18 - 3:20
    Powiedzmy, że chcesz mieć pięcioro dzieci
  • 3:20 - 3:23
    i ciekawi cię prawdopodobieństwo
  • 3:23 - 3:26
    wymarzonego układu
    trzech dziewczynek i dwóch chłopców.
  • 3:26 - 3:28
    Możesz to przedstawić dwumianem:
  • 3:28 - 3:32
    (dziewczynka + chłopiec) ^5.
  • 3:32 - 3:34
    A więc spójrzmy na rząd piąty,
  • 3:34 - 3:37
    którego pierwsza liczba
    odpowiada pięciu dziewczynkom,
  • 3:37 - 3:40
    a ostatnia - pięciu chłopcom.
  • 3:40 - 3:43
    Trzecia liczba to ta, której szukamy.
  • 3:43 - 3:46
    Dziesięć szans spośród
    wszystkich w rzędzie, to znaczy
  • 3:46 - 3:51
    10/32, czyli 31,25%.
  • 3:51 - 3:55
    A może losowo wybierasz
    pięć osób do gry w koszykówkę
  • 3:55 - 3:57
    spośród dwanaściorga kolegów
  • 3:57 - 4:00
    i chcesz wiedzieć,
    ile można utworzyć grup po pięć osób?
  • 4:00 - 4:05
    W kombinatoryce nazywa się to 5-elementową
    kombinacją ze zbioru 12-elementowego,
  • 4:05 - 4:07
    i oblicza tym oto wzorem,
  • 4:07 - 4:12
    ale równie dobrze można wziąć szósty
    element z dwunastego rzędu trójkąta
  • 4:12 - 4:13
    i gotowe.
  • 4:13 - 4:16
    Wzory w trójkącie Pascala
    świadczą o elegancji,
  • 4:16 - 4:19
    z jaką splatają się wątki
    w tkaninie matematyki.
  • 4:19 - 4:23
    Po dziś dzień odkrywamy jego tajemnice.
  • 4:23 - 4:27
    Całkiem niedawno matematycy odkryli,
    jak rozszerzyć zastosowanie trójkąta
  • 4:27 - 4:30
    na takie wielomiany.
  • 4:30 - 4:32
    Co jeszcze odkryjemy?
  • 4:32 - 4:34
    To już twoje zadanie.
Title:
Matematyczne tajniki trójkąta Pascala - Wajdi Mohamed Ratemi
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

Pełna wersja lekcji: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

Trójkąt Pascala, na pierwszy rzut oka tylko starannie poukładany stos cyferek, w rzeczywistości jest matematycznym skarbcem. Ale co w nim takiego fascynującego dla matematyków? Wajdi Mohamed Ratemi opowiada o wzorach i tajemnicach wypełniających trójkąt Pascala.

Lekcja: Wajdi Mohamed Ratemi, animacja: Henrik Malmgren.

more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

Polish subtitles

Revisions