Matematyczne tajniki trójkąta Pascala - Wajdi Mohamed Ratemi

Pełna wersja lekcji: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

Trójkąt Pascala, na pierwszy rzut oka tylko starannie poukładany stos cyferek, w rzeczywistości jest matematycznym skarbcem. Ale co w nim takiego fascynującego dla matematyków? Wajdi Mohamed Ratemi opowiada o wzorach i tajemnicach wypełniających trójkąt Pascala.

Lekcja: Wajdi Mohamed Ratemi, animacja: Henrik Malmgren.

Może to i wygląda
na ładnie poukładany stos cyferek,

ale dla matematyka to stos skarbów.

Matematycy indyjscy
zwali go "schodami na górę Meru".

Irańscy "trójkątem Chajjama".

W Chinach użyczył mu imienia Yang Hui.

Świat zachodni
zna go jako trójkąt Pascala,

od nazwiska francuskiego
matematyka Błażeja Pascala,

co wydaje się ciut nieuczciwe,
skoro Pascal żył dużo później, niż tamci.

Sporo za to odkrył.

Co takiego fascynuje w trójkącie
matematyków na całym świecie?

Pełno w nim wzorów i tajemnic.

Po pierwsze - wzór, który go wytwarza.

Zacznij od jedynki
z zerami po obu stronach.

Dodaj cyfry parami - powstanie drugi rząd.

Powtórz tę operację. I jeszcze raz.

Po kilku powtórzeniach
otrzymasz coś takiego,

chociaż w zasadzie trójkąt Pascala
ciągnie się w nieskończoność.

Każdy jego rząd zawiera
tak zwane współczynniki dwumianu Newtona

czyli (x+y)^n,

gdzie n to numer rzędu,

liczony od zera.

Więc jeśli weźmiemy n = 2
i rozpiszemy wzór,

wyjdzie (x^2) + 2xy + (y^2).

Współczynniki,
czyli liczby przy zmiennych,

odpowiadają liczbom
w n-tym rzędzie trójkąta Pascala.

Przy n =3 wzór rozwija się tak.

Dzięki trójkątowi można
łatwo i szybko sprawdzić współczynniki.

Ale to dopiero początek.

Spróbuj na przykład zsumować
liczby w jednym rzędzie,

a otrzymasz odpowiednią potęgę dwójki.

Albo potraktuj każdą liczbę
jako cyfrę w rozwinięciu dziesiętnym.

Czyli w drugim rzędzie:
(1x1) + (2x10) + (1x100).

To wynosi 121, czyli 11^2.

Spójrz, co będzie,
kiedy zrobisz to samo z rzędem szóstym.

Po przeliczeniu wychodzi
1,771,561, tj. 11^6, i tak dalej.

Są też zastosowania w geometrii.

Spójrz na rzędy po bokach.

Dwa pierwsze są nieciekawe:
jedynki, potem całkowite liczby dodatnie,

czyli liczby naturalne.

Ale następny rząd
zawiera liczby trójkątne:

kiedy weźmiesz tyle kropek,

możesz je ułożyć w trójkąt równoboczny.

W następnym rzędzie są liczby piramidalne,

czyli ilość kul, z których
można ułożyć czworościan.

Teraz zaciemnij
wszystkie liczby nieparzyste.

Na małym trójkącie
nie wygląda to ciekawie,

ale kiedy wypełnisz tysiące rzędów,

zobaczysz fraktal - trójkąt Sierpińskiego.

Trójkąt jest nie tylko
matematycznym dziełem sztuki,

ale też użytecznym narzędziem

szczególnie przy obliczeniach
prawdopodobieństwa i tych,

które należą do dziedziny kombinatoryki.

Powiedzmy, że chcesz mieć pięcioro dzieci

i ciekawi cię prawdopodobieństwo

wymarzonego układu
trzech dziewczynek i dwóch chłopców.

Możesz to przedstawić dwumianem:

(dziewczynka + chłopiec) ^5.

A więc spójrzmy na rząd piąty,

którego pierwsza liczba
odpowiada pięciu dziewczynkom,

a ostatnia - pięciu chłopcom.

Trzecia liczba to ta, której szukamy.

Dziesięć szans spośród
wszystkich w rzędzie, to znaczy

10/32, czyli 31,25%.

A może losowo wybierasz
pięć osób do gry w koszykówkę

spośród dwanaściorga kolegów

i chcesz wiedzieć,
ile można utworzyć grup po pięć osób?

W kombinatoryce nazywa się to 5-elementową
kombinacją ze zbioru 12-elementowego,

i oblicza tym oto wzorem,

ale równie dobrze można wziąć szósty
element z dwunastego rzędu trójkąta

i gotowe.

Wzory w trójkącie Pascala
świadczą o elegancji,

z jaką splatają się wątki
w tkaninie matematyki.

Po dziś dzień odkrywamy jego tajemnice.

Całkiem niedawno matematycy odkryli,
jak rozszerzyć zastosowanie trójkąta

na takie wielomiany.

Co jeszcze odkryjemy?

To już twoje zadanie.