1
00:00:07,193 --> 00:00:10,440
Może to i wygląda
na ładnie poukładany stos cyferek,

2
00:00:10,440 --> 00:00:13,646
ale dla matematyka to stos skarbów.

3
00:00:13,646 --> 00:00:18,124
Matematycy indyjscy
zwali go "schodami na górę Meru".

4
00:00:18,124 --> 00:00:21,701
Irańscy "trójkątem Chajjama".

5
00:00:21,701 --> 00:00:25,108
W Chinach użyczył mu imienia Yang Hui.

6
00:00:25,108 --> 00:00:28,033
Świat zachodni
zna go jako trójkąt Pascala,

7
00:00:28,033 --> 00:00:30,825
od nazwiska francuskiego
matematyka Błażeja Pascala,

8
00:00:30,825 --> 00:00:34,794
co wydaje się ciut nieuczciwe,
skoro Pascal żył dużo później, niż tamci.

9
00:00:34,794 --> 00:00:36,986
Sporo za to odkrył.

10
00:00:36,986 --> 00:00:41,930
Co takiego fascynuje w trójkącie 
matematyków na całym świecie?

11
00:00:41,930 --> 00:00:45,404
Pełno w nim wzorów i tajemnic.

12
00:00:45,404 --> 00:00:49,078
Po pierwsze - wzór, który go wytwarza.

13
00:00:49,078 --> 00:00:53,967
Zacznij od jedynki
z zerami po obu stronach.

14
00:00:53,967 --> 00:00:58,032
Dodaj cyfry parami - powstanie drugi rząd.

15
00:00:58,032 --> 00:01:01,766
Powtórz tę operację. I jeszcze raz.

16
00:01:01,766 --> 00:01:05,334
Po kilku powtórzeniach
otrzymasz coś takiego,

17
00:01:05,334 --> 00:01:09,185
chociaż w zasadzie trójkąt Pascala
ciągnie się w nieskończoność.

18
00:01:09,185 --> 00:01:15,094
Każdy jego rząd zawiera
tak zwane współczynniki dwumianu Newtona

19
00:01:15,094 --> 00:01:18,098
czyli (x+y)^n,

20
00:01:18,098 --> 00:01:21,027
gdzie n to numer rzędu,

21
00:01:21,027 --> 00:01:23,426
liczony od zera.

22
00:01:23,426 --> 00:01:26,382
Więc jeśli weźmiemy n = 2
i rozpiszemy wzór,

23
00:01:26,382 --> 00:01:30,347
wyjdzie (x^2) + 2xy + (y^2).

24
00:01:30,347 --> 00:01:33,943
Współczynniki,
czyli liczby przy zmiennych,

25
00:01:33,943 --> 00:01:38,187
odpowiadają liczbom
w n-tym rzędzie trójkąta Pascala.

26
00:01:38,187 --> 00:01:43,256
Przy n =3 wzór rozwija się tak.

27
00:01:43,256 --> 00:01:48,163
Dzięki trójkątowi można
łatwo i szybko sprawdzić współczynniki.

28
00:01:48,163 --> 00:01:49,907
Ale to dopiero początek.

29
00:01:49,907 --> 00:01:53,137
Spróbuj na przykład zsumować 
liczby w jednym rzędzie,

30
00:01:53,137 --> 00:01:56,039
a otrzymasz odpowiednią potęgę dwójki.

31
00:01:56,039 --> 00:02:00,851
Albo potraktuj każdą liczbę 
jako cyfrę w rozwinięciu dziesiętnym.

32
00:02:00,851 --> 00:02:07,455
Czyli w drugim rzędzie:
(1x1) + (2x10) + (1x100).

33
00:02:07,455 --> 00:02:11,601
To wynosi 121, czyli 11^2.

34
00:02:11,601 --> 00:02:15,572
Spójrz, co będzie,
kiedy zrobisz to samo z rzędem szóstym.

35
00:02:15,572 --> 00:02:24,576
Po przeliczeniu wychodzi
1,771,561, tj. 11^6, i tak dalej.

36
00:02:24,576 --> 00:02:27,560
Są też zastosowania w geometrii.

37
00:02:27,560 --> 00:02:29,331
Spójrz na rzędy po bokach.

38
00:02:29,331 --> 00:02:34,117
Dwa pierwsze są nieciekawe:
jedynki, potem całkowite liczby dodatnie,

39
00:02:34,117 --> 00:02:36,656
czyli liczby naturalne.

40
00:02:36,656 --> 00:02:40,517
Ale następny rząd
zawiera liczby trójkątne:

41
00:02:40,517 --> 00:02:42,783
kiedy weźmiesz tyle kropek,

42
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
możesz je ułożyć w trójkąt równoboczny.

43
00:02:46,389 --> 00:02:49,227
W następnym rzędzie są liczby piramidalne,

44
00:02:49,227 --> 00:02:54,372
czyli ilość kul, z których 
można ułożyć czworościan.

45
00:02:54,372 --> 00:02:57,996
Teraz zaciemnij 
wszystkie liczby nieparzyste.

46
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
Na małym trójkącie
nie wygląda to ciekawie,

47
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
ale kiedy wypełnisz tysiące rzędów,

48
00:03:03,298 --> 00:03:07,259
zobaczysz fraktal - trójkąt Sierpińskiego.

49
00:03:07,259 --> 00:03:10,756
Trójkąt jest nie tylko
matematycznym dziełem sztuki,

50
00:03:10,756 --> 00:03:12,522
ale też użytecznym narzędziem

51
00:03:12,522 --> 00:03:15,201
szczególnie przy obliczeniach 
prawdopodobieństwa i tych,

52
00:03:15,201 --> 00:03:18,046
które należą do dziedziny kombinatoryki.

53
00:03:18,046 --> 00:03:20,454
Powiedzmy, że chcesz mieć pięcioro dzieci

54
00:03:20,454 --> 00:03:22,510
i ciekawi cię prawdopodobieństwo

55
00:03:22,510 --> 00:03:26,250
wymarzonego układu
trzech dziewczynek i dwóch chłopców.

56
00:03:26,250 --> 00:03:28,388
Możesz to przedstawić dwumianem:

57
00:03:28,388 --> 00:03:31,606
(dziewczynka + chłopiec) ^5.

58
00:03:31,606 --> 00:03:33,660
A więc spójrzmy na rząd piąty,

59
00:03:33,660 --> 00:03:36,791
którego pierwsza liczba
odpowiada pięciu dziewczynkom,

60
00:03:36,791 --> 00:03:39,769
a ostatnia - pięciu chłopcom.

61
00:03:39,769 --> 00:03:42,692
Trzecia liczba to ta, której szukamy.

62
00:03:42,692 --> 00:03:46,322
Dziesięć szans spośród
wszystkich w rzędzie, to znaczy

63
00:03:46,322 --> 00:03:50,950
10/32, czyli 31,25%.

64
00:03:50,950 --> 00:03:55,076
A może losowo wybierasz 
pięć osób do gry w koszykówkę

65
00:03:55,076 --> 00:03:57,004
spośród dwanaściorga kolegów

66
00:03:57,004 --> 00:03:59,722
i chcesz wiedzieć, 
ile można utworzyć grup po pięć osób?

67
00:03:59,722 --> 00:04:04,882
W kombinatoryce nazywa się to 5-elementową
kombinacją ze zbioru 12-elementowego,

68
00:04:04,882 --> 00:04:07,237
i oblicza tym oto wzorem,

69
00:04:07,237 --> 00:04:11,518
ale równie dobrze można wziąć szósty
element z dwunastego rzędu trójkąta

70
00:04:11,518 --> 00:04:12,983
i gotowe.

71
00:04:12,983 --> 00:04:16,209
Wzory w trójkącie Pascala 
świadczą o elegancji,

72
00:04:16,209 --> 00:04:19,017
z jaką splatają się wątki 
w tkaninie matematyki.

73
00:04:19,017 --> 00:04:23,081
Po dziś dzień odkrywamy jego tajemnice.

74
00:04:23,081 --> 00:04:27,422
Całkiem niedawno matematycy odkryli,
jak rozszerzyć zastosowanie trójkąta

75
00:04:27,422 --> 00:04:29,769
na takie wielomiany.

76
00:04:29,769 --> 00:04:31,758
Co jeszcze odkryjemy?

77
00:04:31,758 --> 00:04:34,097
To już twoje zadanie.